普陀高三数学二模

2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1. 计算：=⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→3
11lim n n .
2. 函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=x y 11log 2的定义域为 .
3. 若
παπ
<<2
，53sin =
α，则=2
tan α
.
4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z .
5. 曲线C ：⎩⎨
⎧==θ
θ
tan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .
概率为 （结果用最简分数表示）.
7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围
是 .
8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6
π,体积为π125,则此圆锥的高为 .
9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f -，则)3(1-f = .
10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，
4=AC ，3
π
=
∠BAC ，则球O 的表面积为 .
11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范
围是 .
12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2
BC MC MB +⋅的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（ ）
)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =
14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………
)A (充分非必要条件
()B 必要非充分条件
()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件
15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）
)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//
()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//
16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的
是……………………………………………………………（ ）
)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数
()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数
()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数
()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
在正方体1111D C B A ABCD 中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；
（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .
1A
1B
1C
1D
B
D
A C
E
F
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4
π
=x 时，)(x f 取得最
大值.
（1）计算⎪⎭
⎫
⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x f x g 4
)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分
8分
某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（5
4≤
≤v）从A港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（100
30≤
≤ω）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费()()y
x
P-
+
-
+
=8
5
3
100（单位：元）
（1）试用含有v、ω的代数式表示P；
（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用.x
y o
20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
已知曲线Γ：13
42
2=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点.
（1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；
（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；
（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.
21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P . （1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()n n n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；
2
若3
10
d，求正整数m的取值范围.
m
2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接
1.1
2. ()()+∞∞-,10,
3.3
4. i +-1
5.2
6.
169
1 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：
则()1,0,11B ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2
1
,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭
⎫
⎝
⎛1,21,0F ……1分
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
0,21,11FB ……2分
所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形
EDF B 1是平行四边形……3分
又因为⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=1,
21
,01B ,2
5
=
=……5分
故平行四边形EDF B 1是菱形……6分
（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=0,2
1,1DE ……8分
设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分
cos =
θ……10分()()15
15
2111110
121)1(112
2
222
2
=
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯-+⨯-=
……12分 所以15
15
arccos
=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为15
15
arccos
……14分
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中a
b
arctan =ϕ……2分
根据题设条件可得，2
24b a f +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛π 即
()222
2b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a ，即()02=-b a ，故
0=-b a ……………5分
所以()022
411cos 411sin
411=-=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分
故x a x a x a x f x g cos 22
sin 244
sin 24
)(=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=ππππ
所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分
对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
【解】（1）v x 50
=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω
300
=
y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分
()()y x P -+-+=853100⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+=ω30085053100v
所以ω
300150123--
=v P （其中204≤≤v ，
30≤≤ω（2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=
其中⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤≤≤≤+≤10
3225
10149y x y x ，……9分 令目标函数y x k +=3, 可行域的端点分别为()3,11，)10,4(，⎪⎭⎫ ⎝⎛10,2
5
，⎪⎭
⎫
⎝⎛
213,
25，()3,6 …12分
则当3,11==y x 时，36333max =+=k ，所以8736123min =-=P （元）,此时11
50
50=
=
x v ，1003
300
==
ω x
答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。

……14分
20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
【解】（1）232=+=m PC ，解得1±=m ………1分，所以点()0,1±P ………2分 由于122=-=b a c ，………3分
故Γ的焦点为()0,1±，所以P 在Γ的焦点上………4分.
（2）设()y x D ,，则⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=41322
x y ………5分
()324
1
22222
++-=+-=m mx x y m x PD （其中22≤≤-x ）………7分
对称轴m x 4=0>，所以当2-=x 时，PD 取到最大值3，………8分 故9442=++m m ，即0542=-+m m ，解得5-=m 或1=m ………9分 因为0>m ，所以1=m .………………10分
（3）l :03=+-ky x ,………11分,将直线方程与椭圆方程联立
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-134
032
2
y x ky x ，消去x 得，()03364322=--+ky y k ………12分 其中0>∆恒成立。

设()11,y x A ，()22,y x B ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=⋅+=+4334336221221k y y k k
y y ………13分
21321y y S AOB -⨯⨯=∆()
16
2491
36
42
3
242212
21+++=-+=
k k k y y y y 设132
+=k u ，令1624913242+++=k k k t ，则121
6
919
62
≤++=++=u
u u u u
t …14分 当且仅当3=u 时，等号成立，即36±
=k 时，12
1
max =t ………15分 故∆AOB 面积的最大值为312
1
6=⨯
.………………16分
21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
【解】（1）由3,1321===a a a 得，221=+a a ，432=+a a ……1分 根据题意，数列{}n a 具有性质P ，可得{}1++n n a a 为等比数列.
22
13
2=++a a a a ……2分，所以843=+a a ，1654=+a a ，故54=a ，115=a .……4分
（2）11=b ，52=b ……5分，故621=+b b ……6分
=+++++121n n n n b b b b ()()()()
=
-++-+-++-+++++++112
21
112121212n n n n n n n n 22326=⋅⋅n
n
（常数）……9分 所以数列{}1++n n b b 是以6为首项，2为公比的等比数列，故数列{}n b 具有性质P …10分
（3）21=c ，42=c ，所以223=-d d ，432=+d d ，得12=d ，33=d ，
22
13
2=++d d d d
数列{}n d 具有性质P ，所以{}1++n n d d 成等比数列，故n n n d d 21=++……13分
于是
21221211+⋅-=++n n n n d d ，即⎪
⎭⎫
⎝⎛--=-++312213
1211n n n n d d ，其中613121=-d ……14分 1
2161312
-⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯+=n n
n d ，即()3
121
--+=
n n n d ……15分
310>m d ()
3000
121
>-+⇔-m m ……16分
①
若m 为偶数，则3001log 2>m ，即12≥m ； ②
若m 为奇数，则2099log 2>m ，即13≥m ；
综上①②可得，m 的取值范围是13≥m 且*N m ∈.…………18分。