（转）全网最!详!细!tarjan算法讲解

（转）全⽹最!详!细!tarjan算法讲解
全⽹最详细tarjan算法讲解，我不敢说别的。

反正其他tarjan算法讲解，我看了半天才看懂。

我写的这个，读完⼀遍，发现原来tarjan这么简单！
tarjan算法，⼀个关于图的联通性的神奇算法。

基于DFS（迪法师）算法，深度优先搜索⼀张有向图。

！注意！是有向图。

根据树，堆栈，打标记等种种神（che）奇（dan）⽅法来完成剖析⼀个图的⼯作。

⽽图的联通性，就是任督⼆脉通不通。

的问题。

了解tarjan算法之前你需要知道：
强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是⼀种形式。

了解即可）
不知道怎么办
神奇海螺～：嘟噜噜～！
强连通(strongly connected)：在⼀个有向图G⾥，设两个点 a b 发现，由a有⼀条路可以⾛到b，由b⼜有⼀条路可以⾛到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图：如果在⼀个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量strongly connected components)：在⼀个有向图G中，有⼀个⼦图，这个⼦图每2个点都满⾜强连通，我们就叫这个⼦图叫做强连通分量［分量：：把⼀个向量分解成⼏个⽅向的向量的和，那些⽅向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］
举个简单的栗⼦：
⽐如说这个图，在这个图中呢，点1与点2互相都有路径到达对⽅，所以它们强连通.
⽽在这个有向图中，点1 2 3组成的这个⼦图，是整个有向图中的强连通分量。

解答树：就是⼀个可以来表达出递归枚举的⽅式的树（图），其实也可以说是递归图。

反正都是⼀个作⽤，⼀个展⽰从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。

“过程！”
神奇海螺结束
tarjan算法，之所以⽤DFS就是因为它将每⼀个强连通分量作为搜索树上的⼀个⼦树。

⽽这个图，就是⼀个完整的搜索树。

为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进⾏。

每个点都有两个参数。

1，DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是第⼏个被搜索到的。

％每个点的时间戳都不⼀样％。

2，LOW［］作为每个点在这颗树中的，最⼩的⼦树的根，每次保证最⼩，like它的⽗亲结点的时间戳这种感觉。

如果它⾃⼰的LOW［］最⼩，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量⼦树的根节点。

ps：每次找到⼀个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。

⽽为了存储整个强连通分量，这⾥挑选的容器是，堆栈。

每次⼀个新节点出现，就进站，如果这个点有出度就继续往下找。

直到找到底，每次返回上来都看⼀看⼦节点与这个节点的LOW值，谁⼩就取谁，保证最⼩的⼦树根。

如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个LOW［］值是这个强连通分量⾥最⼩的。

）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈⾥，⽐此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成⼀个全新的强连通分量。

先来⼀段伪代码压压惊：
tarjan(u){
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压⼊栈中
for each (u, v) in E // 枚举每⼀条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点u还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中⼀个顶点
print v
until (u== v)
}
⾸先来⼀张有向图。

⽹上到处都是这个图。

我们就⼀点⼀点来模拟整个算法。

从1进⼊ DFN［1］＝LOW［1］＝＋＋index －－－－1
⼊栈 1
由1进⼊2 DFN［2］＝LOW［2］＝＋＋index －－－－2
⼊栈 1 2
之后由2进⼊3 DFN［3］＝LOW［3］＝＋＋index －－－－3
⼊栈 1 2 3
之后由3进⼊ 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4
⼊栈 1 2 3 6
之后发现嗯？ 6⽆出度，之后判断 DFN［6］＝＝LOW［6］
说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点出栈。

栈： 1 2 3
之后退回节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW［3］还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝LOW［3］
说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点出栈。

栈： 1 2
之后退回节点2 嗯？！往下到节点5
DFN［5］＝LOW［5］＝＋＋index －－－－－5
⼊栈 1 2 5
ps：你会发现在有向图旁边的那个丑的（划掉）搜索树⽤红线剪掉的⼦树，那个就是强连通分量⼦树。

每次找到⼀个。

直接。

⼀剪⼦下去。

半个⼦树就没有了。

结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。

就不管它。

继续 5往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。

DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。

Low[5] = min(Low[5], DFN[1])
确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要⽐1节点出现的晚。

所以5是1的⼦节点。

so
LOW［5］＝ 1
由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW［2］＝1；
由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])
LOW［1］还是 1
1还有边没有⾛过。

发现节点4，访问节点4
DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6
⼊栈 1 2 5 4
由节点4，⾛到5，发现5被访问过了，5还在栈⾥，
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW［4］＝5
说明4是5的⼀个⼦节点。

由4回到1.
回到1，判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW［1］还是 1 。

判断 LOW［1］＝＝ DFN［1］
诶？！相等了说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。

将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈。

栈：（⿁都没有了）
这个时候就完了吗？！
你以为就完了吗？！
然⽽并没有完，万⼀你只⾛了⼀遍tarjan整个图没有找完怎么办呢？！所以。

tarjan的调⽤最好在循环⾥解决。

like 如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan⼀遍。

因为这样好让每个点都被访问到。

来⼀道裸代码。

输⼊：
⼀个图有向图。

输出：
它每个强连通分量。

这个图就是刚才讲的那个图。

⼀模⼀样。

input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
output:
6
5
3 4 2 1
代码
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 #include<string.h>
4using namespace std;
5struct node {
6int v,next;
7 }edge[1001];
8int DFN[1001],LOW[1001];
9int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
10void add(int x,int y)
11 {
12 edge[++cnt].next=heads[x];
13 edge[cnt].v = y;
14 heads[x]=cnt;
15return ;
16 }
17void tarjan(int x)//代表第⼏个点在处理。

递归的是点。

18 {
19 DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。

20 stack[++index]=x;//进站
21 visit[x]=1;//表⽰在栈⾥
22for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next)
23 {
24if(!DFN[edge[i].v]) {//如果没访问过
25 tarjan(edge[i].v);//往下进⾏延伸，开始递归
26 LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来，⽐较谁是谁的⼉⼦／⽗亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量⼦树最⼩根的事情。

27 }
28else if(visit[edge[i].v ]){ //如果访问过，并且还在栈⾥。

29 LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//⽐较谁是谁的⼉⼦／⽗亲。

就是链接对应关系
30 }
31 }
32if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量⼦树⾥的最⼩根。

33 {
34do{
35 printf("%d ",stack[index]);
36 visit[stack[index]]=0;
37 index--;
38 }while(x!=stack[index+1]);//出栈，并且输出。

39 printf("\n");
40 }
41return ;
42 }
43int main()
44 {
45 memset(heads,-1,sizeof(heads));
46int n,m;
47 scanf("%d%d",&n,&m);
48int x,y;
49for(int i=1;i<=m;i++)
50 {
51 scanf("%d%d",&x,&y);
52 add(x,y);
53 }
54for(int i=1;i<=n;i++)
55if(!DFN[i]) tarjan(i);//当这个点没有访问过，就从此点开始。

防⽌图没⾛完
56return0;
57 }。