内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二数学上学期9月质量检测考

内蒙古杭锦后旗奋斗中学2015—2016学年高二9月质量检测考试数学
试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题：共10题 每题5分 共50分
1、设A 、B 是两个非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I ，已知
2{|2}A x y x x ==-，{|2,0}x
B y y x ==>，则A B ⨯=（ ）
A 、[0,1](2,)+∞U
B 、[0,1)(2,)+∞U
C 、[0,1]
D 、[0,2]
2．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x -y ＋2＝0，则f′(1)＝ A.4
B.-4
C.-2
D.2
3、已知函数()y f x =的定义域为()1,3-，则在同一坐标系中，函数()f x 的图像与直线2x =的交点个数为（ ）
A ）0个
B ）1个
C ）2个
D ）0个或多个
4．若M(2,-1)为圆(x-1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A.x-y-3=0
B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0
D.2x-y-5=0
5．已知tan(错误!未找到引用源。

)=错误!未找到引用源。

，tan(错误!未找到引用源。

)=，那么tan(错误!未找到引用源。

)=
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

6．已知圆C :(x -a )2
+(y -b )2
=1，设平面区域错误!未找到引用源。

，若圆心C 错误!未找到引用源。

,且圆C 与x 轴相切，则a 2
+b 2
的最大值为 A.5
B.29
C.37
D.49
7．已知圆错误!未找到引用源。

与圆错误!未找到引用源。

，则两圆的公共弦长为 A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.2
D.1
8．函数f (x )=Asin (
)的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈(错误!
未找到引用源。

)，且f (x 1)=f (x 2)(x 1错误!未找到引用源。

x 2) ，则f (x 1+x 2)=
A.1
B.错误!未找到引用
源。

C.错误!未找到引用
源。

D.错误!未找到引用
源。

9．经过直线错误!未找到引用源。

和的交点，并且过原点的直线方程为
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用
源。

C.错误!未找到引用
源。

D.错误!未找到引用
源。

10．偶函数f(x)满足f(1-x)=f (1+x)，且在错误!未找到引用源。

［0,1］时，f(x)=错误!未找到引用源。

，若直线kx-y+k=0(k＞0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是
A.(错误!未找到引用源。

)
B.(错误!未找到引用
源。

)
C.(错误!未找到引用
源。

)
D.(错误!未找到引用
源。

)
第II卷（非选择题）
二、填空题：共5题每题5分共25分
11．已知点A(﹣2，4)，B(4，2)，直线l:ax-y+8-a=0，若直线l与直线AB平行，则a=
_________ .
12．已知△ABC的周长为错误!未找到引用源。

+1,且sin A+sin B=错误!未找到引用源。

sin C,BC·AC=错误!未找到引用源。

,则错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

= . 13．已知变量x,y满足约束条件错误!未找到引用源。

，若z=kx+y的最大值为5，则实数
k= .
14．已知圆C:x2+y2-6x-8y=0，a1,a2,…,a11是该圆过点P(3，5)的11条弦的长度，若数列
a1,a2,…,a11是等差数列，则数列a1,a2,…,a11的公差的最大值为 . 15．已知圆M:错误!未找到引用源。

，直线l:y=kx，给出下面四个命题：
①对任意实数k和错误!未找到引用源。

，直线l和圆M有公共点；
②对任意实数k，必存在实数错误!未找到引用源。

，使得直线l与和圆M相切；
③对任意实数错误!未找到引用源。

，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；
④存在实数k与错误!未找到引用源。

，使得圆M上有一点到直线l的距离为3.
其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)
三、解答题：共6题 每题12分 共72分
16．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a =2b sin a . (1)求B 的大小；
(2)求cos A +sin C 的取值范围.
17．已知等比数列错误!未找到引用源。

的各项均为正数，且错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

.
(1) 求数列错误!未找到引用源。

的通项公式； (2) 设
，求数列
的前n 项和错误!未找到引用源。

.
18．三角形的三个顶点是A (4,0),B (2，4)，C (0，3). (1)求AB 边的中线所在直线l 1的方程； (2)求BC 边的高所在直线l 2的方程； (3)求直线l 1与直线l 2的交点坐标.
19．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和错误!未找到引用源。

，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；
(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5，2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程.
20．已知函数32)(2-+=x x x f
集合M =错误!未找到引用源。

，集合N =错误!未找到引用源。

. (1)求集合M 错误!未找到引用源。

N 对应区域的面积; (2)若点P (a ,b )∈M 错误!未找到引用源。

N ，求
的取值范围.
21．已知双曲线x 2
-y 2
=2的右焦点为F,过点F 的动直线与双曲线相交于A,B 两点,点C 的坐标是(1,0).
(1)求证:错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

为常数;
(2)若动点M 满足错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

(O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程.
参考答案
1.A
2.D
【解析】由导数的几何意义知
错误!未找到引用源。

，故选D. 3.B 4.A
【解析】本题主要考查圆的有关知识.设圆心为C(1,0),则AB ⊥CM,k CM =-1,∴k AB =1,∴直线AB 的方程为y-(-1)=1·(x -2),即x-y-3=0,故选A. 【备注】无 5.C
【解析】本题考查三角函数的化简与求
值.tan()tan[()()]44ππααββ+=+--tan()tan()
34221tan()tan()4
π
αββπαββ+-+=
=++-+.
【备注】三角函数的求值运算,要注意角的拼凑,这样可以更加直接的使用公式. 6.C
【解析】本题考查线性规划的应用.作出平面区域Ω如下图阴影部分所示；因为圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，故1b =；由图形可知，当6,1a b ==时，22a b +有最大值，最大值为37，故选C.
【备注】无
7.B
【解析】本题主要考查圆圆的位置关系.依题意，圆错误!未找到引用源。

与圆错误!未找到引用源。

作差可知公共弦所在直线为y =-1,利用圆错误!未找到引用源。

与y =-1相交，可知公共弦长为24123-=,故选B. 【备注】无 8.D
【解析】本题考查三角函数的图像与性质.由条件可知A=1,最小正周期为2()36T ππ
π
=+=,故2ω=,由()06f π-=可得03πϕ-+=,故3πϕ=,由条件可得
126x x π
+=
,代入可得f (x 1+x 2)=错误!未找到引用源。

.
【备注】无 9.C
【解析】本题考查了直线系方程的应用.过直线043:1=+-y x l 和052:2=++y x l 的交点的直线系方程是()34250,x y x y λ-++++=又因为所求直线过原点，所以把()0,0代入上述直线系方程，求得4
5
λ=-，再代入()34250x y x y λ-++++=中，化简得0193=+y x .即为所求. 【备注】无 10.A
【解析】本题考查函数的图像与性质、直线与圆的位置关系.由(1)(1)f x f x -=+，得到函数()f x 关于1x =对称，因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)(1)f x f x f x -=+=-,即
(2)()f x f x +=,所以函数的周期是2．由
,得22(1)1x y -+=(0)y ≥,作出函
数()f x 和直线y =k (x +1)的图象，
当直线kx -y +k =0(k ＞0)与圆22
(1)1x y -+=相切时,由
2||
11k k k +=+可得33
k =;
当直线kx -y +k =0(k ＞0)与圆22
(3)1x y -+=相切时,由
2|3|
11k k k +=+可得1515
k = 要使直线kx -y +k =0(k ＞0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则由图象可知：
153
153
k <<
． 【备注】无 11.1
3
-
【解析】本题考查两条直线的位置关系.由条件可得直线AB 的斜率为421
243
k -=
=---,故
1
3
a =-.
【备注】无
12.错误!未找到引用源。

【解析】本题综合考查余弦定理及平面向量的知识.由题意及正弦定理得AB+BC+AC=错误!未找到引用源。

+1,BC+AC=错误!未找到引用源。

AB,两式相减,得AB=1,则BC+AC=错误!未找到引用源。

.由余弦定理的推论,得cos C=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,所以错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=BC ·AC·cos C=错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

. 【备注】无 13.－1或
1
2
【解析】本题考查线性规划的应用.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为
z =kx +y 的最大值为5,即y =－kx +z 在y 轴上的截距为5.当0k >时,目标函数z =kx +y 经过
3y ⎨
=⎩
的交点B(－2,3)时,有5=(－2)k +3,故k =－1;当0k ≤时,目标函数z =kx +y 经过13
x y y -=⎧⎨
=⎩的交点A(4,3)时,有5=4k +3,解之得1
2k =.
【备注】无 14.
526
5
- 【解析】本题考查圆的方程与等差数列.因为32+52-6×3-8×5=-24<0,所以点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,圆的方程可化为(x-3)2
+(y-4)2
=25,因此,过(3,5)的弦中最长为10,最短为46,故公差最大为1046526
1115
d --==
-. 【备注】无 15.①
【解析】本题考查直线与圆的位置关系.因为圆恒过原点O(0,0),直线l :y =kx 也恒过原点O(0,0),所以①正确;圆心M (cos ,sin )θθ-到直线的距离为错误!未找到引用源。

,所以,对任意实数k 和θ,直线l 与圆M 相切或相交.故②③④都是错误的. 【备注】无
16.(1)由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =
，
由为锐角三角形得错误!未找到引用源。

. (2)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫
+=+π-
- ⎪6⎝
⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
13cos cos sin 22
A A A =++3sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.
由ABC △为锐角三角形知，
2336
A πππ
<+<， 所以
13sin 232A π⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭.由此有333sin 3232A π⎛⎫<+<⨯ ⎪⎝
⎭，
所以，cos A +sin C 的取值范围为3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，. 【解析】本题考查正弦定理的应用及三角函数、和差角公式及辅助角公式的应用与三角函数的性质.解题思路如下:(1)由正弦定理把已知等式化为与三角形内角有关的等式,再化简即可;(2)把所给三角函数式化为sin()A x ωϕ+的形式,再利用三角函数的图像和性质即可解题. 【备注】无
17.(1) 设等比数列的公比为q ，有123
11424
a q a q a q =⎧
⎨+=⎩， 解得12,2a q ==，所以2n n a =；
(2) 由(1)知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，
从而21
(1)
(222)(12)222
n n n n n T n ++=+++++++=+
-L L . 【解析】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的求和.解题思路如下:(1)根据已知条件建立公比与首项的方程组即可;(2)先求出b n 的通项公式,再利用等差数列的求和公式即可. 【备注】无
18.(1)线段AB 的中点为(3,2),则AB 直线l 1的斜率为1321
033
k -=
=--,则l 1的方程为1
33
y x =
+,即390x y -+=;
(2)直线BC 的斜率为341
022
BC k -=
=-,故直线l 2的斜率为－2,故l 2的为2(4)y x =--,即280x y +-=;
(3)由390280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解之得157
26
7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,即直线l 1与直线l 2的交点坐标为1526(,)77.
【解析】本题考查直线方程的求解、两直线的垂直关系与直线交点的求解.解题思路如下:(1)先求出AB 中点,再求出直线l 1的斜率即可;(2)先求出直线BC 的斜率,再有互相垂直直线的斜率关系,再求出斜率,进而求出方程;(3)把两直线方程联立,解方程组即可求出交点坐标. 【备注】无
19.(1)设圆心E (0，b)，由EB =E C 得b=1， 所以圆的方程22(1)10+-=x y
(2)设P(x ，y),则M (2x-5,2y-2)，带入22(1)10+-=x y ，化简得
22535
()()222
-+-=x y
【解析】本题考查圆的方程的求解,轨迹方程的求解.这类问题常见命题形式有:①根据所给条件求出圆的方程;②根据圆的方程求圆的半径或圆心. 【备注】无
20.(1)集合M 即为：错误!未找到引用源。

，集合N 即为：错误!未找到引用源。

，其对应图形面积等于半圆面积π4.
(2)错误!未找到引用源。

即点P 与(3,0)连线的斜率，
由图可知，当直线经过点A (1，1)时，斜率最小为错误!未找到引用源。

， 当直线与圆相切于点B 时，斜率有最大值错误!未找到引用源。

，
所以错误!未找到引用源。

的取值范围是[错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

]
【解析】本题考查线性规划的应用、数形结合法的应用.这类题目常见的命题形式有:①根据不等式组判断平面区域的形状;②根据不等式组求平面区域的面积;③根据条件求目标函数的最值或取值范围;④简单的应用问题.
【备注】无
21.证明:由条件知F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)当AB与x轴垂直时,可知点A,B的坐标分别为(2,错误!未找到引用源。

),(2,-错误!未找到引用源。

),此时错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=(1,错误!未找到引用源。

)·(1,-错误!未找到引用源。

)=-1.
当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1),
代入x2-y2=2,有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.
则x1,x2是上述方程的两个实根,所以x1+x2=错误!未找到引用源。

,x1x2=错误!未找到引用源。

, 于是错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)·(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1
=错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

+4k2+1
=(-4k2-2)+4k2+1=-1.
综上所述,错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

为常数-1.
(2)设M(x,y),则错误!未找到引用源。

=(x-1,y),错误!未找到引用源。

=(x1-1,y1),
错误!未找到引用源。

=(x2-1,y2),错误!未找到引用源。

=(-1,0),由错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

得
错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

, ①
当AB不与x轴垂直时,由(1)有x1+x2=错误!未找到引用源。

. ②
y1+y2=k(x1+x2-4)=k(错误!未找到引用源。

-4)=错误!未找到引用源。

. ③
由①、②、③得x+2=错误!未找到引用源。

. ④
y=错误!未找到引用源。

. ⑤
当k≠0时,y≠0,由④、⑤得,错误!未找到引用源。

=k,将其代入⑤有
y=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,整理得x2-y2=4.
当k=0时,点M的坐标为(-2,0),满足上述方程.
当AB与x轴垂直时,x1=x2=2,求得M(2,0),也满足上述方程.
故点M的轨迹方程是x2-y2=4.
【解析】解答双曲线的综合题时,应根据其几何特征,将问题熟练地转化为数量关系(如方程、函数),再结合代数方法求解,这就要求学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及方程根与系数之间的关系综合思考,重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用.
【备注】无。