初中数学 九年级 相似三角形-学案

第二十七章 相似
相似三角形
知识点一：相似形的概念
概念：具有相同形状的图形叫相似图形．
谈重点：
⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
典例精析
例1.下列两个图形一定相似的是（ ）
A.两个矩形
B.两个等腰三角形
C.两个五边形
D.两个正方形
【变式1】下列判断不正确的是（
） A.所有等腰直角三角形都相似
B.所有直角三角形都相似
C.所有正六边形都相似
D.所有等边三角形都相似
【变式2】在比例尺为 1:50000 的地图上量得甲、乙两地的距离为 10cm ，则甲、乙两地的实际距离是（ ）
A.500km
B.50km
C.5km
D.0.5km
知识点二：平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．
推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
例
【变式2】如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
两角对应相等，两三角形相似．
拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似.
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似.
典例精析
例1.在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F.
（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长.
【变式】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点
D ，交A
E 于点G ，弦CE 交AB 于点
F ，求证：AC 2=A
G •AE.
例2.（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.
求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2.
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
典例精析
例1.△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
）A
【变式3】在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD与BE相交于点F，
求证：（1）DE AD
；（2）△BCE∽△ADM；（3）AM⊥BE.
=
CE CD
例.如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
基础训练
1.如图，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 交AD 于点F ，则图中与△AEF 相似的三角形的个数是（ ）
E
3725：
A.∠ABD=∠ACB
B.∠ADB=∠ABC
C.AB ²=AD ·AC
D.
BC
AB AB AD
5.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC²=AD·AB，则（）
A.△ADC∽△ACB
B.△BDC∽△BCA
C.△ADC∽△CDB
D.无相似三角形
6.
A.
B.
C.
D.
7.
8.
与
9.
10.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ACB相似，应添加的条件是 .（写出一个即可）
11.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列条件中：①∠A+∠B=90°；②AB ²=AC ²+BC ²；③BD
CD AB AC =；④CD ²=AD ·BD.能证明△ABC 是直角三角形的有 .
12.如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD= 时，图中的两个直角三角形相似.
13.如图，∠1=∠2，∠B=∠D ，AB=DE=5，BC=4。

（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）求AD 的长.
14.如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BD CD CD AD =.
（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小.
15.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm。

球目前在点E的位置，AE=60cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置.
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长.
16.已知,如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1,线段MN的两端在BC、CD上滑动,在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长.
巩固提高
1.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°,∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（）
A.b²=ac
B.b²=ce
C.be=ac
D.bd=ae
2.如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重
3456
x
A
5.已知，如图，□ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上延长线上，且OE=OB，连接DE。

求证：（1）DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：△CED∽△DEB.
6.如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且
已知：如图，。

求证：Rt△ABC∽Rt△A＇B＇C＇.
8.如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长.
尖子培优
1.如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。

（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P.
①如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；
②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由.
2.如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a cm(a>3)。

动点M、N同时从点B出发，分别沿
运动，速度是1cm/s。

过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。

（1）若a=4cm，t=1s，则PM= cm；
（2）连接PD、PB，若a=5cm，求运动时间t,命名△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围.
知识点六：相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
③相似三角形周长的比等于相似比．
④相似三角形面积的比等于相似比的平方．
典例精析
例1.(1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为
_______.
(2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若S ΔDOE :S ΔCOB =9:16则AD:DB=_________.
(3)如图，已知AB ∥CD,BO:OC=1:4,点E 、F 分别是OC ，OD 的中点，则EF:AB 的值为 .
(4)如图，已知DE ∥FG ∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABC
A.1:9:36
B.1:4:9
C.1:8:27
D.1:8:36
例2. 如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于点D ，交EH 于点M ，BC ＝20㎝，
AM ＝8㎝，S △ABC ＝100㎝2。

求矩形EFGH 的面积. B C D
E A
O
第（3）题
C
E
F O
B
A
D 第(4)题 B G F
E D
A
C
基础训练
1.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们周长的比为__________.
2．若x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为____________.
3.如图，∠APD ＝90°，AP ＝PB ＝BC ＝CD ，则下列结论成立的是（ ）
A.ΔPAB ∽ΔPCA
B.ΔPAB ∽ΔPDA C .ΔABC ∽ΔDBA D.ΔABC ∽ΔDCA
4.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为_______.
5.如图，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，若AC ＝3，BC ＝2，则△MCD 与△BND 的面积比为 .
P A
B C D A
B
C D E F M H
G
6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB ＝1:9，则S △DOC :S △BOC ＝ .
1. △
2.
3.已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且AE BD EC BE ,,2
1=
相交于F 点． (1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；
(2)若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2，求△AFD 的面积S △AFD ．
4.已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．
(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；
(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．
5.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C 重合），连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶EC=5∶3，如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.
60°
A
E
P
D
C
B
6.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C。

求证：（1）∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）AB²=AE·AC.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，且∠D=∠BAC。

求证：AC²=AD·BC.
°
知识点六：相似的实际应用
典例精析
例1.如图是小玲设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米.
【变式】如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=CD）测量零件的内孔直径AB。

若OC：OA=1：2,量得CD=10mm，则零件的厚度x= mm.
基础训练
1.某一时记得，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长为5m，则该旗杆的高度是（）
A、1.25m
B、10m
C、20m
D、8m
2.如图,放映幻灯时,通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（）
A、12m
B、18m
C、24m
D、30m
3.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测出AB=6m，则池塘的宽DE为（）
A．25m B.30m C.36m D.40m
4.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，若标杆BE的高为1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则楼高CD为 m.
5.如图，小明在A时测得某树的影长为2m，在B时又测得该树的影长8m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为 m.
6．某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为________米.
7.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图所示，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。

（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长.
巩固提高
1.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D、E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①∠DBM=∠CDE；②S△BDE<S四边形BMFE；③CD·EN=BE·BD；
④AC=2DF。

其中正确结论的个数是（）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻直立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，别一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为米.
3.某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩在截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥GH，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是 cm.
4.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
5.如图，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM.
尖子培优
1.某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH(点C，E，G在一条直线上).
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（1）求小明原来的速度.。