高考数学新一轮总复习 9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点突破课件 理
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• 故共有36个．
第十五页，共33页。
• 法二：分析个位(gèwèi)数字，可分以下几 类：
• 个位(gèwèi)是9，则十位可以是1,2,3，…， 8中的一个，故共有8个；
• 个位(gèwèi)是8，则十位可以是1,2,3，…， 7中的一个，故共有7个；
• 同理个位(gèwèi)是7的有6个；…个位(gèwèi) 是2的有1个．
方案中有mn种不同的方法，则完成这件事
情(shìqing)共m1＋有m2N＋＝…＋mn
种不
同的方法．
第四页，共33页。
(yǎn liàn)
• (1)从集合{1,2,3，…，10}中任意(rènyì)选出 三个不同的数，使这三个数成等比数列，这 样的等比数列的个数为
•(分类加法计数(jìshù)原理与 分步乘法计数(jìshù)原理
第一页，共33页。
• (一)考纲点击 • 1．理解(lǐjiě)分类加法计数原理和分步乘
法计数原理． • 2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数
原理分析和解决一些简单的实际问题．
第二页，共33页。
• (二)命题趋势 • 1．从考查内容看，对本节的考查主要侧重
• 答案：B
第三十页，共33页。
易错易混：题意(tíyì)理解有偏差
• 【典例】 (2014·湖南张家界二模)在航天 员进行的一项太空实验中，要先后实施6个 程序，其中程序A只能出现在第一或最后 一步(yī bù)，程序B和C在实施时必须相邻， 问实验顺序的编排方法共有
()
• A．34种
B．48种
第二十七页，共33页。
• 【归纳提升】 用两个计数(jìshù)原理解 决计数(jìshù)问题时，关键是明确需要分 类还是分步．
• (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别 对每一类进行计数(jìshù)，最后用分类加 法计数(jìshù)原理求和，得到总数．
• (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所 有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数(jì shù)原理，把完成每一步的方法数相乘，得 到总数．
第二十一页，共33页。
• 【解】 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不 同选法，由分步乘法计数(jìshù)原理，
• 知共有选法36＝729(种)． • (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一
个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选 法，由分步乘法计数(jìshù)原理，得共有报名方法6×5×4＝ 120(种)． • (3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选 出一人参赛，由分步乘法计数(jìshù)原理，得共有不同的报名方法 63＝216(种)．
• 答案：7 200
第十一页，共33页。
• 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解
决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类
加法计数原理中，完成一件事的方法(fāngfǎ)
属于其中一只属类于并(sh且ǔyú)
其中一类，简单的
说分类的标准不重是不“漏
，一步完成”．而
分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，
•( )
• A．14
B．13
• C．12
D．10
第七页，共33页。
• 解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0， 此时有序数(xùshù)对(0，－1)，(0,0)，(0,1)， (0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0， ab≤1，此时满足要求的有序数(xùshù)对为 (－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1， －1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上， 满足要求的有序数(xùshù)对共有13个，选B.
第二十五页，共33页。
题型三 两个原理的综合(zōnghé)应用
•
若一系列函数(hánshù)的解析式相
同，值域相同，但定义域不同，则称这些
函数(hánshù)为“孪生函数(hánshù)”，那
么函数(hánshù)解析式为y＝2x2＋1，值域
为{5,19}的“孪生函数(hánshù)”共有
•( )
在各个步骤中任取一种方法(fāngfǎ)，即是完
成这件事的一种方法(fāngfǎ)，简单的说步与
步相之互(间xiān的gh方ù)独法立(fāngfǎ)“
，多步完
成”．
第十二页，共33页。
题型一 分类加法(jiāfǎ)计数原理的应用
•
(1)三边(sān biān)长均为正整数，
且最大边长为11的三角形的个数是
• (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数(jì
第二十八页，共33页。
针对(zhēnduì)训练
• 3．(2013·山东(shān dōnɡ))用0,1，…，9十 个数字，可以组成有重复数字的三位数的 个数为
•( ) • A．243 • C．261
B．252 D．279
第二十九页，共33页。
• 解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，…， 9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个 数为9×10×10＝900，组成没有(méi yǒu) 重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648， 则组成有重复数字的三位数的个数为900－ 648＝252，故选B.
于两个原理的应用，主要题型为利用 (lìyòng)两个原理解决一些计数问题． • 2．从考查形式看，多以选择题、填空题的 形式出现，常与排列组合结合在一起命题， 属中档题．
第三页，共33页。
• 1．分类加法计数原理
• 完成一件事有n类不同的方案，在第一
类方案中有m1种不同的方法，在第二类方
案中有m2种不同的方法，……，在第n类
第二十四页，共33页。
• 解析：分两步安排这8名运动员． • 第一步：安排甲、乙、丙在人，共有(ɡònɡ
yǒu)1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排 方式有4×3×2＝24(种)． • 第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及 余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排 方式有5×4×3×2×1＝120(种)． • ∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)． • 答案：2 880
• (1)有不同颜色的四件衬衣(chènyī)与不同颜 色的三条领带，如果一条领带与一件衬衣 (chènyī)配成一套．则不同的配法种数是 ________．
• 答案：12
第十页，共33页。
• (2)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3 人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也 不同列，则不同的选法种数为________(用数字作 答)．
• C．96种
D．144种
第三十一页，共33页。
• 【规范解答】 本题是一个分步计数问题， 由题意知程序A只能出现在第一步或最后一 步，∴从第一个位置和最后一个位置中选 (zhòng xuǎn)一个位置把A排列，有A＝2种 结果．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴ 把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素 排列，注意B和C之间还有一个安排，共有 AA＝48种结果．根据分步计数原理知共有 2×48＝96种结果，故选C.
第十六页，共33页。
• 由分类加法计数原理知：符合条件的两位数 的个数共有(ɡònɡ yǒu)8＋7＋6＋5＋4＋3＋ 2＋1＝36(个)．故共有(ɡònɡ yǒu)36个．
• 【答案】 (1)36 (2)36
第十七页，共33页。
• 【归纳提升】 分类时，首先要根据问题 的特点确定一个适合它的分类标准，然后 在这个标准下进行分类；其次分类时要注 意满足一个基本要求，就是完成这件事情 的任何一种方法必须属于某一类，并且分 别属于不同种类的两种方法是不同的方法， 只有(zhǐyǒu)满足这些条件，才可以用分类 加法计数原理．
第五页，共33页。
• 解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9； • 以2为首项的等比数列为2,4,8； • 以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个． • 把这四个数列顺序颠倒(diāndǎo)，又得到4
个数列，故所求数列有8个． • 答案：D
第六页，共33页。
• (2)(2013·福建)满足(mǎnzú)a，b∈{－ 1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有 实数解的有序数对(a，b)的个数为
• 答案：B
第八页，共33页。
• 2．分步乘法(chéngfǎ)计数原理
• 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，
完成第一步有m1种不同的方法，完成第二
步有m2种不同的方法，……，完成第n步
有mn种不同的方法，那么完成这件事情共
有N＝
m1×m2×…×mn 种不同的方法．
第九页，共33页。
(yǎn liàn)
时，x只能取6，只有一个三角形． • 由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是：11＋9＋
7＋5＋3＋1＝36(个)，故共有36个．
第十四页，共33页。
• (2)法一：根据题意，将十位上的数字按 1,2,3,4,5,6,7,8的情况(qíngkuàng)分成8类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8 个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个．由分类加法计数原理知：符合条件的两 位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝ 36(个)．
第二十页，共33页。
题型二 分步乘法计数(jìshù)原理的应用
•
有六名同学报名(bào míng)参加三
个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少
种不同的报名(bào míng)方法？(不一定六
名同学都能参加)
• (1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
• (2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
• (3)每项限报一人，但每人参加的项目不 限．
• A．10个
B．9个
• C．8个
D．7个
第二十六页，共33页。
【解析】 令 y＝2x2＋1＝5，则 x＝± 2，令 y＝2x2＋1＝19 则 x ＝±3，那么函数解析式为 y＝2x2＋1，值域为{5,19}的“孪生函数” 的定义域就是从集合{3，－3}，{ 2，－ 2}中选出元素来构成的， 每个集合至少选一个元素． 当“孪生函数”的定义域有两个元素时，有 2×2＝4(个)， 当定义域有三个元素时，有 2＋2＝4(个)， 当定义域有四个元素时，有 1 个， 所以共有 4＋4＋1＝9(个)，选 B. 【答案】 B
• 解析：其中最先选出的一个(yī ɡè)人有30种方法， 此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一 个(yī ɡè)5行4列的队形，故选第二个人有20种方法， 此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个 (yī ɡè)4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种， 根据分步乘法计数原理，总的选法种数是 30×20×12＝7 200.
________．
• (2)在所有的两位数中，个位数字大于十 位数字的两位数的个数为________．
第十三页，共33页。
• 【解析】 (1)用x，y表示(biǎoshì)另两边长，且不妨设 1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.
• 当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形； • 当y取值10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；…当y取值6
第二十二页，共33页。
• 【归纳提升】 利用分步乘法计数原理解 决问题：①要按事件发生的过程合理分步， 即分步是有先后顺序的；②各步中的方法 (fāngfǎ)互相依存，缺一不可，只有各个步 骤都完成了才算完成这件事．
第二十三页，共33页。
针对(zhēnduì)训练
• 2．(2014·内蒙古呼和浩特二模)奥运选手选 拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其 中甲、乙、丙三人必须(bìxū)在1、2、3、4、 5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则 安排这8名运动员比赛的方式共有________ 种．
第十八页，共33页。
针对(zhēnduì)训练
1．方程xm2＋yn2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其中 m∈{1,2,3,4,5}， n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？
第十九页，共33页。
• 解：以m的值为标准分类，分为五类． • 第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择； • 第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择； • 第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择； • 第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择； • 第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择． • ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法(fāngfǎ)， • 即有20个符合题意的椭圆．
第十五页，共33页。
• 法二：分析个位(gèwèi)数字，可分以下几 类：
• 个位(gèwèi)是9，则十位可以是1,2,3，…， 8中的一个，故共有8个；
• 个位(gèwèi)是8，则十位可以是1,2,3，…， 7中的一个，故共有7个；
• 同理个位(gèwèi)是7的有6个；…个位(gèwèi) 是2的有1个．
方案中有mn种不同的方法，则完成这件事
情(shìqing)共m1＋有m2N＋＝…＋mn
种不
同的方法．
第四页，共33页。
(yǎn liàn)
• (1)从集合{1,2,3，…，10}中任意(rènyì)选出 三个不同的数，使这三个数成等比数列，这 样的等比数列的个数为
•(分类加法计数(jìshù)原理与 分步乘法计数(jìshù)原理
第一页，共33页。
• (一)考纲点击 • 1．理解(lǐjiě)分类加法计数原理和分步乘
法计数原理． • 2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数
原理分析和解决一些简单的实际问题．
第二页，共33页。
• (二)命题趋势 • 1．从考查内容看，对本节的考查主要侧重
• 答案：B
第三十页，共33页。
易错易混：题意(tíyì)理解有偏差
• 【典例】 (2014·湖南张家界二模)在航天 员进行的一项太空实验中，要先后实施6个 程序，其中程序A只能出现在第一或最后 一步(yī bù)，程序B和C在实施时必须相邻， 问实验顺序的编排方法共有
()
• A．34种
B．48种
第二十七页，共33页。
• 【归纳提升】 用两个计数(jìshù)原理解 决计数(jìshù)问题时，关键是明确需要分 类还是分步．
• (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别 对每一类进行计数(jìshù)，最后用分类加 法计数(jìshù)原理求和，得到总数．
• (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所 有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数(jì shù)原理，把完成每一步的方法数相乘，得 到总数．
第二十一页，共33页。
• 【解】 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不 同选法，由分步乘法计数(jìshù)原理，
• 知共有选法36＝729(种)． • (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一
个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选 法，由分步乘法计数(jìshù)原理，得共有报名方法6×5×4＝ 120(种)． • (3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选 出一人参赛，由分步乘法计数(jìshù)原理，得共有不同的报名方法 63＝216(种)．
• 答案：7 200
第十一页，共33页。
• 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解
决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类
加法计数原理中，完成一件事的方法(fāngfǎ)
属于其中一只属类于并(sh且ǔyú)
其中一类，简单的
说分类的标准不重是不“漏
，一步完成”．而
分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，
•( )
• A．14
B．13
• C．12
D．10
第七页，共33页。
• 解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0， 此时有序数(xùshù)对(0，－1)，(0,0)，(0,1)， (0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0， ab≤1，此时满足要求的有序数(xùshù)对为 (－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1， －1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上， 满足要求的有序数(xùshù)对共有13个，选B.
第二十五页，共33页。
题型三 两个原理的综合(zōnghé)应用
•
若一系列函数(hánshù)的解析式相
同，值域相同，但定义域不同，则称这些
函数(hánshù)为“孪生函数(hánshù)”，那
么函数(hánshù)解析式为y＝2x2＋1，值域
为{5,19}的“孪生函数(hánshù)”共有
•( )
在各个步骤中任取一种方法(fāngfǎ)，即是完
成这件事的一种方法(fāngfǎ)，简单的说步与
步相之互(间xiān的gh方ù)独法立(fāngfǎ)“
，多步完
成”．
第十二页，共33页。
题型一 分类加法(jiāfǎ)计数原理的应用
•
(1)三边(sān biān)长均为正整数，
且最大边长为11的三角形的个数是
• (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数(jì
第二十八页，共33页。
针对(zhēnduì)训练
• 3．(2013·山东(shān dōnɡ))用0,1，…，9十 个数字，可以组成有重复数字的三位数的 个数为
•( ) • A．243 • C．261
B．252 D．279
第二十九页，共33页。
• 解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，…， 9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个 数为9×10×10＝900，组成没有(méi yǒu) 重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648， 则组成有重复数字的三位数的个数为900－ 648＝252，故选B.
于两个原理的应用，主要题型为利用 (lìyòng)两个原理解决一些计数问题． • 2．从考查形式看，多以选择题、填空题的 形式出现，常与排列组合结合在一起命题， 属中档题．
第三页，共33页。
• 1．分类加法计数原理
• 完成一件事有n类不同的方案，在第一
类方案中有m1种不同的方法，在第二类方
案中有m2种不同的方法，……，在第n类
第二十四页，共33页。
• 解析：分两步安排这8名运动员． • 第一步：安排甲、乙、丙在人，共有(ɡònɡ
yǒu)1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排 方式有4×3×2＝24(种)． • 第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及 余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排 方式有5×4×3×2×1＝120(种)． • ∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)． • 答案：2 880
• (1)有不同颜色的四件衬衣(chènyī)与不同颜 色的三条领带，如果一条领带与一件衬衣 (chènyī)配成一套．则不同的配法种数是 ________．
• 答案：12
第十页，共33页。
• (2)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3 人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也 不同列，则不同的选法种数为________(用数字作 答)．
• C．96种
D．144种
第三十一页，共33页。
• 【规范解答】 本题是一个分步计数问题， 由题意知程序A只能出现在第一步或最后一 步，∴从第一个位置和最后一个位置中选 (zhòng xuǎn)一个位置把A排列，有A＝2种 结果．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴ 把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素 排列，注意B和C之间还有一个安排，共有 AA＝48种结果．根据分步计数原理知共有 2×48＝96种结果，故选C.
第十六页，共33页。
• 由分类加法计数原理知：符合条件的两位数 的个数共有(ɡònɡ yǒu)8＋7＋6＋5＋4＋3＋ 2＋1＝36(个)．故共有(ɡònɡ yǒu)36个．
• 【答案】 (1)36 (2)36
第十七页，共33页。
• 【归纳提升】 分类时，首先要根据问题 的特点确定一个适合它的分类标准，然后 在这个标准下进行分类；其次分类时要注 意满足一个基本要求，就是完成这件事情 的任何一种方法必须属于某一类，并且分 别属于不同种类的两种方法是不同的方法， 只有(zhǐyǒu)满足这些条件，才可以用分类 加法计数原理．
第五页，共33页。
• 解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9； • 以2为首项的等比数列为2,4,8； • 以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个． • 把这四个数列顺序颠倒(diāndǎo)，又得到4
个数列，故所求数列有8个． • 答案：D
第六页，共33页。
• (2)(2013·福建)满足(mǎnzú)a，b∈{－ 1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有 实数解的有序数对(a，b)的个数为
• 答案：B
第八页，共33页。
• 2．分步乘法(chéngfǎ)计数原理
• 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，
完成第一步有m1种不同的方法，完成第二
步有m2种不同的方法，……，完成第n步
有mn种不同的方法，那么完成这件事情共
有N＝
m1×m2×…×mn 种不同的方法．
第九页，共33页。
(yǎn liàn)
时，x只能取6，只有一个三角形． • 由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是：11＋9＋
7＋5＋3＋1＝36(个)，故共有36个．
第十四页，共33页。
• (2)法一：根据题意，将十位上的数字按 1,2,3,4,5,6,7,8的情况(qíngkuàng)分成8类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8 个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个．由分类加法计数原理知：符合条件的两 位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝ 36(个)．
第二十页，共33页。
题型二 分步乘法计数(jìshù)原理的应用
•
有六名同学报名(bào míng)参加三
个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少
种不同的报名(bào míng)方法？(不一定六
名同学都能参加)
• (1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
• (2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
• (3)每项限报一人，但每人参加的项目不 限．
• A．10个
B．9个
• C．8个
D．7个
第二十六页，共33页。
【解析】 令 y＝2x2＋1＝5，则 x＝± 2，令 y＝2x2＋1＝19 则 x ＝±3，那么函数解析式为 y＝2x2＋1，值域为{5,19}的“孪生函数” 的定义域就是从集合{3，－3}，{ 2，－ 2}中选出元素来构成的， 每个集合至少选一个元素． 当“孪生函数”的定义域有两个元素时，有 2×2＝4(个)， 当定义域有三个元素时，有 2＋2＝4(个)， 当定义域有四个元素时，有 1 个， 所以共有 4＋4＋1＝9(个)，选 B. 【答案】 B
• 解析：其中最先选出的一个(yī ɡè)人有30种方法， 此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一 个(yī ɡè)5行4列的队形，故选第二个人有20种方法， 此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个 (yī ɡè)4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种， 根据分步乘法计数原理，总的选法种数是 30×20×12＝7 200.
________．
• (2)在所有的两位数中，个位数字大于十 位数字的两位数的个数为________．
第十三页，共33页。
• 【解析】 (1)用x，y表示(biǎoshì)另两边长，且不妨设 1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.
• 当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形； • 当y取值10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；…当y取值6
第二十二页，共33页。
• 【归纳提升】 利用分步乘法计数原理解 决问题：①要按事件发生的过程合理分步， 即分步是有先后顺序的；②各步中的方法 (fāngfǎ)互相依存，缺一不可，只有各个步 骤都完成了才算完成这件事．
第二十三页，共33页。
针对(zhēnduì)训练
• 2．(2014·内蒙古呼和浩特二模)奥运选手选 拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其 中甲、乙、丙三人必须(bìxū)在1、2、3、4、 5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则 安排这8名运动员比赛的方式共有________ 种．
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针对(zhēnduì)训练
1．方程xm2＋yn2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其中 m∈{1,2,3,4,5}， n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？
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• 解：以m的值为标准分类，分为五类． • 第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择； • 第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择； • 第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择； • 第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择； • 第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择． • ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法(fāngfǎ)， • 即有20个符合题意的椭圆．