湘教八年级数学上册《4.2不等式的基本性质》课件

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湘教版 SHUXUE 八年级上
本章内容
4.2
1 什么是不等式？ 用不等号(“>” “ < ”“ ≥ ”“ ≤ ” “ ≠ ” )连 接的式子叫做不等式 2 等式有哪些性质？
• 等式的性质1: 等式两边同时加(或减)同一个数 （或式子），结果仍相等。
• 等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同 一个不为0的数，结果仍相等。
做一做 我们知道三角形任意两边之和大于第三边，
即如图4-2所示，在△ABC中，有AB+BC>AC， BC+AC>AB，AC+AB>BC．那么，三角形中两
边之差与第三边又有怎样的关系呢？
解：根据不等式基本性质1，我们可以 把不等式AB+BC>AC中的BC移到右边，
于是得到AB>AC-BC，即AC-BC<AB． 同理，AB-AC<BC，BC-AB<AC．
由不等式基本性质2，得 3a > 3b
判断用不等式基本性质2
由不等式基本性质3，得
-a < -b 判断用不等式基本性质3
（3）已知
a<b，则 -
a 3
+
2
>
-
b 3
+
2
.
解：因为 a<b，两边都除以-3，
因，由由不为不等-等式a3式基>基本-本b3性性，质质两13，边，得都得加-上a-3 a32>+-2b3 >；-b3+2.
(1) a+2＜_____b+2；(2) a-3＜______b-3；(3) -2a＞_____-2b；
2．若x<y<0，则(1)-x__＞___-y；(2)|x|__＞___|y|．
3．已知x<y，要得到-ax>-ay，那么a应满足的条件是_a_>．0
4．有理数a，b在数轴上的对应点分别在原点两侧，且a
>ac
.
b c
不等式基本性质3 不等式的两边都乘（或 除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a>b，c <0，那么
ac < bc,
<ac
.
b c
例3 用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，
则3a > 3b ；
（2）已知 a>b，则-a < -b .
解:因为 a>b，两边都乘3， 解：因为 a>b，两边都乘-1，
由此可得，三角形任意两边之差小于 第三边．
探究
1. 用不等号填空：
（1）18 > 12；
18×2 > 12×2； 18×(-2) < 12×(-2)； 18÷3 > 12÷3 . 18÷(-3) < 12÷(-3) .
（2）-2 > -4；
-2×2 > -4×2； -2÷2> (-4)÷2.
-2×(-2) < -4×(-2)； -2÷(-<2) (-4)÷(-2).
解：(１)因为a>b，两边都加上3， 由不等式基本性质1，得a+3>b+3． (２)因为a<b，两边都减去5， 由不等式基本性质1，得a-5<b-5．
例2．把下列不等式化为x>a或x<a的形式：
(１)x+6>5；
(２) 3x<2x-2．
解：(１)不等式的两边都减去6， 由不等式基本性质1，得x+6-6>5-6，即x>-1．
(２)不等式的两边都减去2x， 由不等式基本性质1，得3x-2x<2x-2-2x，即x<-2．
由(２)可以看出，运用不等式基本性质1对3x<2x-2进行
化简的过程，就是对不等式3x<2x-2作了如下变形：
3x<2x-2
3x-2x<-2．
从变形前后的两个不等式可以看出， 这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边， 我们把这种变形称为移项．
解：A、∵a>b，c是任意实数，∴a+c>b+c，故本选项错误； B、∵a>b，c是任意实数，∴a-c>b-c，故本选项正确； C、当a>b，c<0时，ac<bc，而此题c是任意实数，故本选项错误 D、当a>b，c>0时，ac>bc，而此题c是任意实数，故本选项错误
故选B．
2、如图，a、b、c三种物体的质量的大小关系是a>b>c．.
那么不等式是否有和等式类似的性质呢？
探究
小实验
操作：在“( )”内按要求填数字，在“ ”上填“>”、“<”或“
不等式
两边加上同一个数 两边减去同一个数
5＋(4) >3＋(4 ) 5-(4) >3-(4 )
5>3
5＋(0) > 3＋(0 ) 5-(0)>3-(0 )
5＋(-2) >3＋(-2) 5-(-2) >3-(-2)
比b距离原点远，则式子(a+b)(a-b)__＞____0．
解：∵有理数a，b在数轴上的对应点分别在原点两侧， 且a比b距离原点远，∴|a|>|b|，∴原式=a2-b2>0．
5．下列结论：①若a>b，则ac2>bc2；②若ac>bc，则a>b； ③若a>b，且c=d，则ac>bd；④若ac2>bc2，则a>b．其中正 确的有____④__．____(填序号)．
-1<3
自主 设计 -2>-5
结论
-1+( 4 ) < 3+( 4) -1+(0 )< 3+(0 ) -1+(-2 ) < 3+(-2)
-2+3>-5+3
-1-( 4 ) < 3-(4) -1-( 0 ) < 3-(0 ) -1-(-2 ) < 3-(-2)
-2-4>-5-4
发现:当不等式两边加或减去同一个数 (正数或负数)时,不等号的方向不变。
观察：不等号的前后变化规律
结论 一般地，不等式具有如下性质：
不等式基本性质1：不等式的两边都加上(或减去) 同一个数(或式)，不等号的方向不变．
即，如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c.
例1．用“＞”或“＜”填空：
(１)已知a>b，则a+3_＞___b+3； (２)已知a<b，则a-5_＜____b-5．
运用不等①式不的等基式本两性边质不可能以同比乘较0，代否数则式不的等大式小就关变系成. 了
等式0=0；也不能同除以0，因为没有意义；
②在利用不等式的基本性质进行变形时，当不
等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表
什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性
质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向
性质1：等式两边加上（或减 去）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
性质2：不等式两边都乘以
（或除以）同一个正数，不 等号的方向不变；
性质2：等式两边乘以同一个 数，或除以同一个不为0的数
性质3：不等式两边都乘以 ，结果仍相等。
（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变。
小知识
不等式的分类：
①严格不等式：用“>”或“<”连接的不等式称严格不等 式。
2.已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是 b元/kg，且a > b. 小李各买了3kg苹果和梨，则买哪种水果花钱较多？
用不等号填空： 3a > 3b.
结论 一般地，不等式还有如下性质：
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或 除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a>b,c>0，那么 ac > bc,
小知识
不等式的其它基本性质：
①对称性：如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y． ②传递性：如果x>y，y>z；那么x>z．
③加法单调性：即同向不等式可加性．
④同向正值不等式可乘性：如果x>y>0，m>n>0，那 么xm>yn． ⑤正值不等式可乘方：如果x>y>0，那么xn>yn．
1．已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：
说一说
下面是某同学根据不等式的性质做的一道题 ：
在不等式 -4x+5>9的两边都减去5，得 -4x > 4
在不等式-4x> 4的两边都除以 -4，得
x > -1
请问他做对了吗？如果不对，请改正.
x < -1
不对
说一说
不等式的性质
等式的性质
性质1：不等式两边都加上
（或减去）同一个数（或式 子），不等号的方向 不变；
②广义不等式：用 “≥”或“≤”连接的不等式称为非 严格不等式，或称广义不等式．
③绝对不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值 不等式都成立，这样的不等式叫绝对不等式．
④矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许 值不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式．
⑤条件不等式：不等式中对于字母所能取的某些允许值 不等式能成立面对字母所能取的另外一些允许值不等式不能 成立，这样的不等式叫条件不等式．……
解：①若c=0，则ac2=bc2，错；②若c<0，则a<b，错；③若 c=d=0，则ac=bd，错；④若ac2>bc2，则c不为0，所以 a>b．
故选④．
中考 试题
1、已知a>b，若c是任意实数，则下列不等式中
总是成立的是（B ）
A. a+c<b+c B. a-c<b-c C.ac<bc D.ac>bc
的问题；
③运用不等式基本性质3时，要变两个号，一
个性质符号，另一个是不等号．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
解：∵2a=3b，∴a>b， ∵2b>3c，∴b>c， ∴a>b>c． 故答案为：a>b>c．
本节课我们都学习了那些知识？
1.不等式的三个基本性质；
小结
Hale Waihona Puke 2.等式与不等式的基本性质对比.不等式的基本性质需要注意哪些方面？
不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号要改变方向
.
不等式的基本性质有什么作用？