2019年高二数学北师大版必修5 第三章3.2 基本不等式与最大(小)值 作业 Word版含解析

[学业水平训练]
1．已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( ) A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值0
解析：选A.这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.
2．若x >4，则函数y ＝x ＋1
x －4
( )
A ．有最大值－6
B ．有最小值6
C ．有最大值－2
D ．有最小值2 解析：选B.∵x >4，∴x －4>0，∴y ＝x ＋1x －4＝(x －4)＋1
x －4
＋4≥2＋4＝6.当且仅当x －4
＝1x －4
，即x ＝5时，取“＝”号． 3．已知x 、y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.116
D.132
解析：选C.∵x 、y 为正实数，∴x ·y ＝14x ·4y ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝1
16，当且仅当x ＝4y 且x ＋4y ＝
1，即x ＝12，y ＝1
8
时取等号．
4．点P (x ，y )是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( ) A ．最大值8 B ．最小值8 C ．最小值6 D ．最大值6 解析：选C.∵点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.
∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥23x ·33y ＝2
3x ＋3y ＝232＝6.当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝1
3
时，
等号成立．∴代数式3x ＋27y 有最小值6.
5．将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A ．6.5 m
B ．6.8 m
C ．7 m
D ．7.2 m
解析：选C.设两直角边分别为a 、b ，直角三角形的框架的周长为l ，则1
2ab ＝2，l ＝a ＋
b ＋
a 2＋
b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m )．故选C. 6．已知x ，y 都是正数，
(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．
解析：(1)因为x ，y 都是正数，且xy ＝15，由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝215.当且仅当x ＝y ＝15时，取等号．
(2)因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝15，由基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭
⎫1522＝225
4.当且仅当x ＝y ＝7.5时，取等号．
答案：(1)215 (2)2254
7．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭
⎫v
202
千米，那么这批物资全部到
达灾区，最少需要________小时．
解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间y ＝400
v ＋25×⎝⎛⎭⎫v 202
v
＝400
v
＋25v 400
≥2400v ×25v
400＝10.当且仅当v ＝80时，等号成立．
答案：10
8．有下面四个推导过程： ①∵a ，b ∈(0，＋∞)， ∴b a ＋a b
≥2b a ·a
b
＝2； ②∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0， ∴4
a
＋a ≥24
a
·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，xy <0， ∴x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2
⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭
⎫－y x ＝－2.
其中正确推导过程的序号为________． 解析：从基本不等式成立的条件考虑．
∵a ，b ∈(0，＋∞)，
∴b a ，a
b
∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①推导正确； 虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0，1)时，lg x 是负数，y ∈(0，1)时，lg y 是负数， 故②的推导过程是错误的；
③的推导过程中a ∈R ，不符合基本不等式的条件， 故4
a
＋a ≥24
a
·a ＝4是错误的． 对于④，由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋y
x 提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y ，⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件．故正确．
答案：①④
9．设x >0，求证：x ＋22x ＋1≥3
2
.
证明：∵x >0，∴x ＋12>0，∴x ＋22x ＋1＝x ＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋
12－1
2≥2
⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋
12
－12
＝32.当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，即x ＝1
2
时等号成立． 10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h 米，盖子边长为a 米．
(1)求a 关于h 的解析式；
(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？并求出V 的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)
解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设，得
⎩⎨⎧a 2＋4·1
2
h ′a ＝2，
h 2
＋1
4a 2
＝h
′2
，消去h ′，
解得a ＝
1h 2
＋1
(a >0)．
(2)由V ＝13a 2h ＝h
3（h 2＋1）(h >0)，
得V ＝13⎝⎛⎭
⎫h ＋1h .而h ＋1
h ≥2
h ·1
h
＝2. 所以V ≤16，当且仅当h ＝1
h ，即h ＝1时，等号成立．
故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为1
6
立方米．
[高考水平训练]
1．在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与g (x )＝x 2
＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
12，2上的最大值是( )
A.13
4 B ．4 C ．8
D.54
解析：选B.g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1
x ＋1≥3，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时
取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2.再把(1，3)代入即得c ＝4.所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在⎣⎡⎦⎤
12，2上的最大值是f (2)＝4－4＋4＝4.
2．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋
b ，2a ＋2b ＋2
c ＝2a
＋b ＋c
，则c 的最大值是__________．
解析：∵2a ＋2b ＝2a ＋b ， ∴2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ，即2a ＋b ≥22a ＋b .
∴2a ＋b ≥4.
又∵2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，
∴2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，即2c ＝2a ＋b ()
2c
－1. ∴2c 2c －1＝2a ＋b ≥4，即2
c 2c －1≥4，∴4－3×2c 2c －1
≥0， ∴2c ≤43，∴c ≤log 24
3＝2－log 23，
∴c 的最大值为2－log 23.
答案：2－log 23
3．(1)若x 、y ∈R ＋
，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值；
(2)若x >－1，求y ＝x 2＋3x ＋3
x ＋1的最小值．
解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∵x 、y ∈R ＋，∴2y ＋8
x
＝1，
∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x
y ＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×24y x ·x
y
＝18. 当且仅当4y x ＝x
y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，
∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18. (2)法一：y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1＝（x ＋1）2＋x ＋2
x ＋1
＝（x ＋1）2＋（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1
x ＋1＋1.
∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝(x ＋1)＋
1
x ＋1
＋1≥2＋1＝3. 当且仅当x ＋1＝1
x ＋1，即x ＝0时，函数有最小值3.
法二：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1.
∴y ＝x 2＋3x ＋3x ＋1＝（t －1）2＋3（t －1）＋3t
＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1
t ＋1.
∵x >－1，∴t ＝x ＋1>0. ∴y ＝t ＋1
t
＋1≥2
t ·1
t
＋1＝3. 当且仅当t ＝1
t
，即t ＝1，即x ＝0时，函数有最小值3.
4．某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200 m 2，高度一定的三段污水处理池(如图)．由于受地形限制，其长、宽都不能超过16 m ，如果池的外壁的建造费单价为400元/m ，池中两道隔墙的建造费单价为248元/m ，池底的建造费单价为80元/m 2，试设计水池的长x 和宽y (x >y )，使总造价最低，并求出这个最低造价．
解：设污水池长为x m ，则宽y ＝200x m ，且0<x ≤16，0<200x ≤16，x >200
x
，设总造价为
Q (x )，则Q (x )＝400(2x ＋2×
200x )＋248×2×200x ＋80×200＝800(x ＋324
x
)＋16 000≥1 600 x ·324x ＋16 000＝44 800.当且仅当x ＝324
x (x >0)，即x ＝18时取等号，∴44 800不是最小值． 又∵0<x ≤16，0<200x ≤16，x >200x
，
∴102<x ≤16，而Q (x )在(102，16]上单调递减， ∴Q (x )≥Q (16)＝800(16＋324
16
)＋16 000＝45 000(元)．
故水池长为16 m ，宽为12.5 m 时，其总造价最低，最低造价为45 000元．。