河南省开封市高三年级第一次质量检测(理数)

数学试题（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟 .
2．请将第Ⅰ卷选择题的答案填用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷在各题后直接作答.
参照公式：
假如事件 A 、B 互斥，那么球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S 4 R2
假如事件 A 、B 互相独立，那么
P(A ·B)=P(A) ·P(B) 此中 R 表示球的半径
假如事件 A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式
P，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生k V球 4 R3
3
次的概率 P n ( k) C n k P k (1 P) n k 此中 R 表示球的半径
（ k=0， 1， 2，， n）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12 题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一
项是切合题目要求的）
1．设会合M { y | y x 2 }, P { x | y x 1}, 则 P M （）
A ．（1，+ ）B．[1, ) C．（ 0，+ ）D．[0, )
2．在复平面内，复数z i 对应的点位于（）
2 i
A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限
3．若( x 2 )n睁开式中二项式系数之和为64，则睁开式中常数项为（）x
A ．20 B．－ 160 C． 160 D ．— 270
4．函数y 3 x 1 ( 1 x 0) 的反函数是（）
A ．y 1 log 3 x( x 0) B．y 1 log 3 x(x 0)
C．y 1 log 3 x(1 x 3) D．y 1 log 3 x(1 x 3)
5．圆( x 1) 2 y 2 4 上的动点P到直线x+y－7=0的距离的最小值等于（）
A ．42 2
B ．4 2
C ．42 4
D ．42 2
2 a) 是奇函数，则 f ( x) 0 的解集为
（
）
6．设 f ( x) lg(
1 x
A ．（－ 1， 0）
B ．（ 0， 1）
C ．（－ ， 0）
D ．（－ ，0）∪（ 1，+ ）
7．两位到北京旅行的外国旅客要与
2008 奥运会的祥瑞物福娃（ 5 个）合影纪念，要求排成
一排，两位旅客相邻且不排在两头，则不一样的排法共有
（
）
A ．1440
B ． 960
C ． 720
D ．480
8．以下函数中，即在（ 0，
）上是增函数，又以 为最小正周期的偶函数的是
（
）
2
A ． y x 2 | cos x |
B ． y
cos2x C ． y | sin 2x | D ． y | sin x |
9．已知等比数列 { a n } 各项均为正数， 公比 q
1,设
P
a 2 a 3
,Qa 4 a 7 .则 P 与 Q 的大
2
小关系是
（
）
A ．P<Q
B ． P=Q
C ． P>Q
D ．没法确立
10．从 P 点出发三条射线 PA ， PB ， PC 两两成 60°，且分别与球
O 相切于 A ，B ，C 三点，
若球的体积为
4
，则 OP 的距离为
（
）
3
A ． 2
B ． 3
C ．
3
D ． 2
2
11．函数 f ( x) 的定义域为（ 0， + ）且 f ( x)
0, f ( x) 0, m 为正数，则函数
y ( x m) f (x
m)
（
）
A ．存在极大值
B ．存在极小值
C ．是增函数
D ．是减函数
12．设椭圆
x 2 y 2
1
， 右 焦 点 F （ c,0
a 2
1( a 0, b 0)的离心率 e
），方程
b 2
2
ax 2
bx c 0 的两个根分别为 x 1 ,x 2，则点 P （ x 1,x 2 ）在 （
）
A ．圆 x 2 y 2 2 内
B ．圆 x 2
y 2 2 上
C ．圆 x 2
y 2 2外
D ．以上三种状况都有可能
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）
2x 3y 6
13．已知x y 0 则 z 3x y 的最大值为。

y 0
14．在△ ABC 中， A=120 °， AB=5 ，BC=7 ，则sin B
的值为。

1
和 y sin C
15 ．曲线y x2 在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积
x
是。

16．已知直线二面角l 大小为100°，过空间一点 P 作直线 m，若 m 与, 所成角都为 40°，则这样的直线共有条数为。

三、解答题（本大题共有 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10 分）
设函数 f (x) a b,此中向量 a (2 cosx,1), b (cosx, 3 sin 2x), x R
（ 1）若f (x) 1 3,且 x [ , ]求 x;
3 3
（ 2）若函数y 2 sin 2x的图象按向量 c (m, n)(| m | ) 平移后获得函数y f ( x)
2
的图象，务实数m,n 的值。

18．（本小题满分12 分）
体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有 5 次投篮时机，若投中 3 次则“达标”；为节俭测试时间，同时规定：若投篮不到 5 次已达标，则停止投篮；若既使后边
投篮全中，也不可以达标（如前3 次投中0 次）则也停止投篮。

同学甲投篮命中率为
2
且
3
每次投篮互不影响。

（1）求同学甲测试达标的概率。

（2）设测试中甲投篮次数记，求的散布列及希望E。

19．（本小题满分12 分）
如图 PA⊥平面 ABCD ，四边形ABCD 是矩形， E、 F 分别是 AB ，PD 的中点。

（ 1）求证： AF// 平面 PCE ；
（ 2）若二面角 P — CD — B 为 45°， AD=2 ， CD=3 ，求点 F 到平面 PCE 的距离。

20．（本小题满分 12 分）设 f (x)
1
e x ( 2x 2 4ax 4a).
3
（ 1）求 a 的值，使 f ( x) 的极小值为 0；
（ 2）证明：当且仅当 a=3 时， f (x) 的极大值为 4。

x 2 y 2
1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为
F 1、 F 2， O
21．（本小题满分 12 分）双曲线
b 2
a 2
为坐标原点，点 A 在双曲线的右支上，点 B 在双曲线左准线上，
F 2O AB, OF 2 OA OA OB.
（ 1）求双曲线的离心率 e ；
（ 2）若此双曲线过 C （ 2， 3 ），求双曲线的方程；
（ 3）在（ 2）的条件下， D 1、 D 2 分别是双曲线的虚轴端点（ D 2 在 y 轴正半轴上），过 D 1
的直线 l 交双曲线 M 、 N ， D 2 M
D 2 N, 求直线 l 的方程。

22．（本小题满分 12 分）
函数 f ( x) 对随意 x R 都有 f ( x) f (1
x) 1 .
2
（ 1）求 f (1
)和 f ( 1
)
f (
n 1
)(n N) 的值；
2 n
n
1
2 n 1
（ 2）数列 { a n } 知足 a n
f (0)
) f (1), 求数列 { a n } 的通
f ( f ( ) f ( )
n
n
n
项公式。

（ 3）令 b n
4 ,T n
b 12 b 22 b 32
b n 2 , S n 32 16 试比较 T n 与 S n 的大小。

4a n 1
n
河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检测
数学试题（理科）参照答案
一、选择题 1— 12 BCBDA ABDCB CA
二、填空题
13． 9
14．
三、解答题：
3 3 15．
16． 3
5
4
17．解：（ 1） f ( x)
2cos 2 x 3 sin 2x
1 2 sin(2x
) 1 3
6
sin( 2x
) 3
2
6
3
x
3 5
2x
2 6 6
2x
即 x
4
6
3
（ 2）函数 y 2 sin 2x 的图明按向量 c (m, n) 平移后得 y 2 sin 2(x m) n
而 f ( x)
2 sin 2( x
) 1
12
| m |
2
m
, n 1
12
18．解：（ 1）同学甲测试达标的概率
P ( 2)
3
C 31(
1)( 2)3
C 42
(1)2 (2
) 3
64
3 3 3
3
3
81
（ 2） 的取值为 3， 4， 5
P(
3)
( 2)3 (1 )3
1
3
3
3
P(
4) C 31 (
1)( 2) 3
C 31(
2 )( 1
) 3 10
3 3
3 3 27
P(
5) C 42
(1)
2
(3)2 8
3
3
27
的散布列
3
4 5
P
4
10 8
27
27
27
E
3
9 4 10 5 8 107
27 27 27 27
19．证：（ 1）取 PC 中点 M ，连 ME ， MF
∵ FM//CD ， FM= 1 CD ， AE//CD ， AE= 1
CD
2
2
∴ AE//FN ，且 AE=FM ，即四边形 AFME 是平行四边形
∴ AE//EM ， ∵ AF
平面 PCE
AF// 平面 PCE
解：（ 2）∵ PA ⊥平面 AC ， CD ⊥ AD ， ∴ CD ⊥PD
∴∠ PDA 是二面角 P —CD — B 的平面角， ∴∠ PDA=45 °
∴△ PAD 是等腰 Rt ∠，而 EM//AF 。

又∵ AF ⊥CD
∴ AF ⊥面 PCD ，而 EM//AF
∴ EM ⊥面 PCD
又 EM 面 PEC ，∴面 PEC ⊥面 PCD
在面 PCD 内过 F 作 FH ⊥PC 于 H 则 FH 为点 F 到面 PCE 的距离 由已知 PD= 2 2, PF
1
PD
2, PC
17
2
∵△ PFH ∽△ PCD ∴ FH
CD
PF
PC
∴ FH
3 34
17
20．解：（ 1） f (x)
(4x 4a) 1 e x 1
e x (2x 2 4ax 4a) 1
e x [2 x 2
3 3
(4a 4) x],
3
令 f (x)
0解得 x 0或 x 2 2a,当2
2a 0,即 a 1时，无极
值。

（ 1）当 2 2a 0,即a
1时 , f ( x), f ( x) 的变化状况以下表（一）
x （－ ,0）
（ 0，2－ 2a ）
2－2a
（ 2－ 2a,+ ）
f (x) －0 + 0 －
f ( x) ↘极小
↗极大值↘值
此时应有 f ( x) 0, 得a 0 1
（ 2）当2 2a 0,即a 1时 , f ( x), f ( x) 的变化状况以下表（二）
x （－,2－
2－ 2a （ 2－ 2a， 0）0 （ 0+ ）2a）
f (x) －0 + 0 －
f ( x) ↘极小值↗极大值↘此时应有 f (2 2a) 0,即
1 e (
2 2a) 0
3
[ 2(2 2a)2 4a(2 2a) 4a] 0即 a 2 1.
综上所述，当a=0 或 a=2 时，f (x)的极小值为 0。

（ 2）由表（一）（二）知 f (x) 取极大值有两种可能。

由表（一）应有 f (2 2a) 4 ，
即1
e ( 2 2a) [2(2 2a) 2 4a(2 2a) 4a] 4 3
e2a 2 (2 a) 3, 设 g(a) (2 a)e2a 2 ,
则 g ( a) e2a 2 2e2 a 2 (2 a) e2a 2 (3 2a),
a 1,
g (a) 0.此时g（a）为增函数，
a 1时 , g (a) g(1) 3.即 e2 a 2 (2 a) 3 不可以建立。

若 a>1，由表（二）知，应有 f (0) 4,即a 3. 综上所述，当且仅当a=3 时，f (x)有极大值4。

21．（ 1） F 2 O AB,
四边形 F 2ABO 是平行四边形
OA(OF 2 OB) 0,即OA BF 2 0
OA BF 2,
∴四边 形 F 2ABO 是菱形 .
∴
| AB | | F 2 A | | F 2O | c.
由双曲线定义得 | AF 1 |
2a
c,e
| AF 1 | 2a c
2 |AB|
c
1,
e
e 2 e
2 0,
e 2(e 1舍去)
（ 2） e 2
c ,
a
c 2a,b 2 3a 2 ，双曲线方程为 x 2
y 2
1,
a 2 3a 2
把点 C (2,
3) 代入有
4
3 1. a 2
3,
a 2 3a 2
∴双曲线方程 x
3
y 2
1.
3
9
（ 3）D 1（ 0，－ 3）， D 2（ 0， 3），设 l 的方程为 y kx 3, M ( x 1 , y 1 ), N (x 2 , y 2 )
y kx 3
2
2
则由
x 2
y 2
(3
k ) x 6 18 0
1
kx
3
9
因 l 与与双曲线有两个交点，
k
3.
x 1 x 2
6k , x 1 x 2
18 3 k 2
k 2
3
y 1
y 2
k( x 1 x 2 ) 6
18 2 , y 1 y 2 k 2 x 1 x 2 3k (x 1 x 2 ) 9 9
3 k
D 2 M ( x 1 , y 1 3), D 2 N ( x 2 , y 2 3), D 2 M D 2 N,
x 1 x 2 y 1 y 2 3( y 1
y 1 ) 9 0
3 18 9 3 18 9 0.即 k 2
5,
k 2 3 k 2
k 5. 故所求直线 l 方程为 y
5x 3或
y
5x
3
22．解：（ 1）令 x
1 的 f (1
) 1
2 2
4
令 x
1
得 f ( 1
) f (1 1) 1 f ( 1
) f ( n 1
)
n n
n 2
n n （ 2）
a n
f (0)
f ( 1
)
f (
n
1) f (1)
n
n
又
a n
f (1)
f (
n
1 ) f ( 1 ) f (0) ，两式相加
n
n
2a n
[ f (0)
f (1)] [ f ( 1
)
f (
n 1
)]
[ f (1) f (0)]
n
n
n 1
2 a n
n
1
(n
N *)
4
a
n 1
a n
1
, 故数列 { a n } 是等差数列
4
（ 3） b n 4 4
4a n
1 n
T n
b 12
b 22
b n 2
16(1
1
1 1
2 2 32
n 2
16[1
1 1 1
)
1 2
2 3
n(n
1)
16[1 (1 1) ( 1
1)
( 1
1
)]
1 2 2 3 n 1 n
16( 2 )
n 16
32
S n
n
T n
S n。