计量经济学基础知识梳理(超全)

3.指数函数
考虑方程 log y 0 1 x
此处log（y）是x的线性函数，但是怎样写出y本身作为
x
x的一个函数呢？指数函数给出了答案。
我们把指数函数写为y=exp（x），有时也写为 y e ，
但在我们课程中这个符号不常用。 指数函数的两个重要的数值是exp（0）=1和exp（1）
是非常重要的。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很
方便，而对数函数能帮助我们设定这样的模型。如果我们 对x和y都使用对数近似计算，弹性就近似等于
log y logx
因此，一个常弹性模型可近似描述为方程
1 为y对x的弹性（假定x，y>0）。 式中，
log y 0 1 logx
y 0 1 x
例：线性住房支出函数
假定每月住房支出和每月收入的关系式是 Housing=164+0.27income 那么，每增加1元收入，就有0.27元用于住房支出， 如果家庭收入增加200元，那么住房支出就增加 0.27×200=54元。 机械解释上述方程，即时一个没有收入的家庭也有 164元的住房支出，这当然是不真实的。对低收入水平家 庭，这个线性函数不能很好的描述housing和income之间 的关系，这就是为什么我们最终还得用其他函数形式来描 述这种关系。
换言之，对数“解除了”指数，反之亦然。对数函数和指数 函数互为反函数。
指数函数的两个有用性质是
exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2） 和 exp﹝c· log（x）﹞=xc
4.微分学
记忆：经济学中常用的一些函数及其导数有
y 0 1x 2 x2 ; dy dx 1 22 x y 0 1 x ; dy dx 1 x2
=2.7183（取4位小数）。
3.指数函数
y
y expx
x
图2.1.4 y=exp（x） 的图形
3.指数函数
从上图可以看出，exp（x）对任何x值都有定义，而且
总大于零。 指数函数在如下意义上是对数函数的反函数：对所有x，
都有log﹝exp（x）﹞=x，而对x>0，有exp﹝log（x）﹞=x。
2.自然对数
在经验研究工作中还经常出现使用对数函数的其他可 能性。假定y>0，且
则 log y 1x ，从而 100 log y 100 1 x。 由此可知，当y和x有上述方程所示关系时，
log y 0 1 x
%y 100 1x

变化率的定义如下式：
X t X t 1 (t 2,3, n) X t 1

五、几何平均
几何平均是n个数据连乘积的n次方根 ，其定义如下式：
G n X 1 X 2 X n
六、线性函数
如果两个变量x和y的关系是： 我们便说y是x的线性函数：而 0 和 1 是描述这一关 0 为截距（Intercept），1 为斜率。 系的两个参数， 一个线性函数的定义特征在于，y的改变量总是x y 1x 的改变量的 1倍： 其中，表示“改变量”。换句话说，x对y的边 1 的常数。 际效应是一个等于
例： 对数工资方程
假设小时工资与受教育年数有如下关系： 根据前面所述方程，有
logwage 2.78 0.094edu
%wage 100 0.094edu 9.4edu
由此可知，多受一年教育将使小时工资增加约9.4%。
通常把%△y/△x称为y对x的半弹性，半弹性表示当x增加 一个单位时y的百分数变化。在上述模型中，半弹性是个常 数并且等于 100 ，在上述例子中，我们可以方便的把工 1 资和教育的关系概括为：多受一年教育——无论所受教育的 起点如何——都将使工资提高约9.4%。这说明了这类模型 在经济学中的重要作用。
2
x2
2 是 x 2 对y的偏效应。 因此，
例： 对CD的需求
假定大学生每月对CD的需求量与CD的价格和每个月
的零花钱有如下关系：
quantity 120 9.8 price 0.03income
式中，price为每张碟的价格，income以元计算。需求
曲线表示在保持收入（和其他因素）不变的情况下， quantity和price的关系。
于x2。y对x1的偏导数记为 若
y ，就是把x2看做常数时方程对 x1 y x1的普通导数。类似的， 就是固定x1时方程对x2的导数。 x 2
y 0 1 x1 2 x2
则
这些偏导数可被视为经济学所定义的偏效应。
y y 1， 2 x1 x2
例： 含交互项的工资方程
然对数，或简称为对数函数，记为
y logx
还有几种不同符号可以表示自然对数，最常用的是 lnx
或 loge x 。当对数使用几个不同的底数时，这些不同的
都用 logx 表示自然对数。
符号是有作用的。目前，只有自然对数最重要，因此我们
2.自然对数
y
y logx
x
图2.1.4 y=log（x） 的图形
第一章
计量经济学基础知识
高数知识
主 要 内 容
概率论基础
数理统计基础
第一节 高数知识
一、求和
如果 x i：i 1， 表示n个数的一个序列，那么我 2， ， n 们就把这n个数的总和写为：
x
i 1
n
i
x1 x 2 x n
二、算术平均
算术平均（arithmetic mean）就是我们日 常生活中使用的普通的平均数，其定义如 下式：
的初始值。
1.二次函数
刻画报酬递减规律的一个简单方法，就是在线性关系
中添加一个二次项。 考虑方程式
y 0 1 x 2 x
2
1和 2为参数。当 2 0时，y和x之间的关 式中， 0 ，
系呈抛物线状，并且可以证明，函数的最大值出现在
x 1 22
1.二次函数
例：劳动供给函数
假定一个工人的劳动供给可描述为
式中，wage为小时工资而hours为每周工作小时数，于是， 由方程可得：
hours 33 45.1logwage
hours 45.1 logwage 45.1 100%wage 0.451%wage
换言之，工资每增加1%，将使每周工作小时增加约0.45或 略小于半个小时。若工资增加10%，则 hours 0.451 10 4.51 或约四个半小时。 注意：不宜对更大的工资百分数变化应用这个近似计算。
换言之，y对x的弹性就是当x增加1%时y的百分数变化。 若y是x的线性函数： y 0 1 x ，则这个弹性是
y x x x 1 1 x y y 0 1 x 它明显取决于x的取值（弹性并非沿着需求曲线保持不变）。
2.自然对数
不仅在需求理论中，在许多应用经济学领域，弹性都
X1 X 2 X n X X n n
三、加权算术平均

加权平均是将各数据先乘以反映其重要性的权 数（w），再求平均的方法。其定义如下式：
w1 X 1 w2 X 2 wn X n wi X i Xw w1 w2 wn w
四、变化率
y 0 1 x1 2 x2
x2 若 不改变，即 ，则有 x y 1x1，x2 2 0 因此 是关系式在 坐标上的斜率： x1 1
y 1x1 2 x2
0
y 1 ，x2 0 x1
线性函数的性质
因为它度量了保持 x 2 固定时，y如何随 x1 而变，所 以常把 1 叫做 x1 对y的偏效应。由于偏效应涉及保持其他 因素不变，所以它与其他条件不变（Ceteris Paribus）的 概念有密切联系，参数 2 可作类似解释：即若 x1 0 ， 则 y
例如，若y=6+8x-2x2。（从而 1=8且 2 =-2），则y
的最大值出现在x*=8/4=2处，并且这个最大值是6+8×22×（2）2=14。
y 16
14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4
x
1.二次函数
对方程式
2 0 意味着x对y的边际效应递减，这从图中清晰可
见，应用微积分知识，也可以通过求这个二次函数的一阶 导数得出。 斜率=
2.自然对数
另一种关系式在应用经济学中也是有意义的：
y 0 1 logx
其中，x>0。若取y的变化，则有 y 1 logx ，这又可以 写为 y 1 100100 logx 。 利用近似计算，可得
y 1 100%x
当x增加1%时，y变化 1 100 个单位。
程右端是此二次函数对x的导数。 函数的图形就呈U行，函数的最小值出现在点 x 1 2 2 处。 同样， 2 0 则意味着x对y的边际效应递增，二次
2.自然对数
在计量经济分析中起着最重要作用的非线性函数是自
多于两个变量的线性函数： x1 有一般形式的关系： x2 假定y与两个变量 和 由于这个函数的图形是三维的，所以相当难以想象， 不过 0仍然是截距（即 x1=0和 x 2=0时y的取值），且1和 2 都是特定斜率的度量。由方程（A.12）可知，给定 x1 和 x2 的改变量，y的改变量是
七、若干特殊函数
线性函数的基本性质：
不管x的初始值是什么，x每变化一个单位都导致y同样
的变化。x对y的边际效应是常数，这对许多经济关系来说多 少有点不真实。例如，边际报酬递减这个重要的经济概念就
不符合线性关系。
为了建立各种经济现象的模型，我们需要研究一些非线 性函数。
非线性函数的特点是，给定x的变化，y的变化依赖于x
如果我们用100乘以上述方程，并记 logx logx1 logx0 那么，对x的微小变化，便有
100 logx %x
“微小”的含义取决于具体情况。
2.自然对数
近似计算的作用：
定义y对x的弹性（elasticity）为
y x % y x y % x
y 0 1logx; dy dx 1 x

y 0 1 x ; dy dx 1 2x1 2
y exp0 1x; dy dx 1 exp0 1x
4.微分学
当y是多元函数时，偏导数的概念便很重要。假定y=f
（x1，x2），此时便有两个偏导数，一个关于x1，另一个关
2.自然对数
有如下性质： 1. log（x）可正可负：log（x）<0，0<x<1； log（1）=0；log（x）>0，x>1
2.一些有用的性质（牢记）：
log（x1· x2）=log（x1）+log（x2），x1，x2>0 log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x2>0
log（xc）=c· log（x），x>0，c为任意实数
2.自然对数
对数可用于计量经济学应用中的各种近似计算。
1.对于x≈0，有log（1+x）≈x。这个近似计算随着x变
大而越来越不精确。 2.两对数之差可用作比例变化的近似值。令x0和x1为两
个正数，可以证明（利用微积分），对x的微小变化，有
logx1 logx0 x1 x0 x0 x x0
这类模型在经验经济学中扮演着重要角色。目前，式 中的 1 只是接近于弹性这一事实并不重要，可以忽略。
例：常弹性需求函数
若q代表需求量而p代表价格，并且二者关系为
logq 4.7 1.25log p
则需求的价格弹性是-1.25.初略地说，价格每增加1%，将 导致需求量下降1.25%。
把工资与受教育年数和工作经验（以年计）相联系的一
个函数是 wage 3.10 0.41educ 0.19exp er 0.004exp er 2 0.007educ exp er