假期辅导学案函数的简单性质(含答案)

函数的简单性质
一、知识梳理 1.函数的单调性 单调函数的定义
2.函数的最值
【知识拓展】 函数单调性的常用结论
(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.
(2)对勾函数y ＝x ＋a
x (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].
(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 3.函数的奇偶性
4.周期性
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.
【知识拓展】 1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 2.函数周期性常用结论
对f (x )定义域内任一自变量的值x ：
(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0). (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1
f (x )
，则T ＝2a (a >0). 二、诊断训练
1.(教材改编)函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为__[0，＋∞)________；单调减区间为__________. (－∞，0)
2.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为_____________.(－∞，1]
3.(教材改编)若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________.1
4.(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5
2＋f (2)＝________.－2 三、典型例题
例1.(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________.1 (2)函数f (x )＝x 2＋8
x －1(x >1)的最小值为________.8
例2.(2016·南通)已知函数f (x )＝－(x ＋1)2＋2|x ＋1|＋3. (1)试求函数f (x )的单调区间，并指出相应的单调性；
(2)若f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ≥－1时，
f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，
当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋4(x ≥－1)，
－(x ＋2)2
＋4(x <－1)， 其大致图象如图所示.
由图易知函数f (x )在区间(－∞，－2]，(－1，0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减. (2)易知2a 2＋a ＋1>0且3a 2＋2a ＋1>0恒成立，由(1)知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 故由f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)， 得2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1， 即a 2－3a <0，解得0<a <3， ∴a 的取值范围为{a |0<a <3}.
例3.（2014·常州高一期末）已知函数12()21
x
x f x -=+．
（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明； （2）当(1,)x ∈+∞时，求函数()f x 的值域． 解：（1）∵x ∈R ，
1
112212()()1211212x
x x x x
x
f x f x ---
---====-+++， ---------------------------4分
∴()f x 是奇函数． ---------------------------5分 （2）令2x t =，则12
()111
t g t t t -=
=-+
++． -------------------------7分 ∵(1,)x ∈+∞，∴2t >，∴2213,013t t +><
<+，∴1
1()3
g t -<<-， 所以()f x 的值域是1
(1,)3--． ---------------------------10分
例4.(2018·宿迁高一期末)已知函数||()x a f x x -=
(0)a >，且满足1
()12
f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f x
g x x =
，求()g x 在区间1
[,4]2
上的最大值； (1) 由1
|
|
12()=112
2
a f -=
，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|
()x f x x
-=
. …………………2分
当1x >时，11
()=1x f x x x
-=
-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，
则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=
-12212212(1)(1)=x x x x x x ---12
12
=x x x x -，………3分 因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，
所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分
（2）2
221
,1()|1|()==11,12
x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨
-⎪<⎪⎩≤≤4
≤， …………………6分 当1x ≤≤4时，222111111
()=()24
x g x x x x x -==---+，
因为1114x ≤≤，所以当11
=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分
当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1
=2x
时，max ()=2g x ；
综上，当1=2x 即1
=2
x 时，max ()=2g x . …………………10分
四、巩固训练
1.(2018·南京高一期末)若函数 f (x )＝cos x ＋|2x －a | 为偶函数，则实数a 的值是 ．0
2.(2016·连云港高一期末)函数f (x )＝12
log (x 2－4)的单调递增区间是______________.(－∞，－2)
3.(2016·盐城)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________.13
4.(教材改编)已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝____________.x 2－2
5.(2016·南通)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是______(13，2
3)____.
6.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 2
7.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫
12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.-10
8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))＝________.
答案 1
2
9.(2016·连云港)已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0，1]内有一个最大值－5，则a 的值为________.5
4
10.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3，x ≤0，
－x 2－2x ＋3，x >0，
不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是
________.(－∞，－2)
11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a x
，x >1，(4－a
2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________.[4，8) 12.(2018·盐城高一期末)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞， 当12≠x x 时，都有
112212
()()
0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为 ．()
()101-∞-，，
13.(2017·镇江高一期末)已知函数f （x ）=x |2a ﹣x |+2x ，a ∈R ． （1）若a=0，判断函数y=f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； 解：（1）函数y=f （x ）为奇函数． 当a=0时，f （x ）=x |x |+2x ， ∴f （﹣x ）=﹣x |x |﹣2x=﹣f （x ）， ∴函数y=f （x ）为奇函数； （2）f （x ）=
，
当x ≥2a 时，f （x ）的对称轴为：x=a ﹣1； 当x ＜2a 时，y=f （x ）的对称轴为：x=a +1； ∴当a ﹣1≤2a ≤a +1时，f （x ）在R 上是增函数， 即﹣1≤a ≤1时，函数f （x ）在R 上是增函数；
14.(2017·镇江)已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=2x
+x ﹣m （m 为常数）．
（1）求常数m 的值． （2）求f （x ）的解析式．
解：（1）∵f （x ）是奇函数，且定义域为R ； ∴f （0）=0；
∵当x ≥0时，f （x ）=2x
+x ﹣m （m 为常数）； ∴f （0）=1﹣m ，∴1﹣m=0； ∴m=1；
（2）由（1）知，m=1； ∴当x ≥0时，f （x ）=2x +x ﹣1；
设x ＜0，则﹣x ＞0，且f （x ）为奇函数，所以： f （﹣x ）=2﹣x ﹣x ﹣1=﹣f （x ）；
∴f （x ）=﹣2﹣x
+x +1；
∴；。