2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级(上)开学数学试卷祥细答案与解析

2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1. 下列方程一定是一元二次方程的是( )
−1=0 B.5x2−6y−3=0
A.3x2+2
x
C.ax2+bx+c=0
D.3x2−2x−1=0
2. 某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据
表述错误的是（）
A.众数是80
B.方差是25
C.平均数是80
D.中位数是75
3. 菱形的两条对角线的长分别为60cm和80cm，那么边长是（）
A.60cm
B.50cm
C.40cm
D.80cm
4. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(−1, 0)，点C的坐标是(2, 4)，则BD的长是
( )
A.6
B.5
C.3√3
D.4√2
5. 如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE的长
为（）
A.8
B.6
C.4
D.2
6. 如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25∘，则∠AED的度数为（）
A.60∘
B.65∘
C.70∘
D.75∘
7. 二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
9. 若m是方程x2−2x−1＝0的根，则1+m−1
2
m2的值为（）
A.1
2B.1 C.3
2
D.2
10. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）
A.255分
B.84分
C.84.5分
D.86分
11. 已知A(x1, y1)，B(x2, y2)是二次函数图象上y＝ax2−2ax+a−c(a≠0)的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）
A.−c
B.c
C.−a+c
D.a−c
12. 已知二次函数y＝−x2+mx+m（m为常数），当−2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（）
A.−19或31
5B.6或31
5
或−10
C.−19或6
D.6或31
5
或−19
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
已知函数关系式：y=√x−1，则自变量x的取值范围是________．
已知x1，x2是方程x2+x−1＝0的两根，则x2
x1+x1
x2
=________．
将直线y＝2x+1平移后经过点(5, 1)，则平移后的直线解析式为________．
某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056
张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )
A.x(x+1)=1056
B.x(x−1)=1056
C.x(x+1)=1056×2
D.x(x−1)=1056×2
如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为
________．
如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1
2
, 0)，对称轴为直线x=1，下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+
b≤m(am+b)．其中正确的结论为________．（注：只填写正确结论的序号）
三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24
题各9分，第25、26题各10分）
已知一个二次函数的图象经过点A(−1， 0)，B(3， 0)和C(0， −3)三点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．
解一元二次方程：
（1）x2+4x+1＝0（配方法）；
（2）用公式法解方程：2x2+3x−1＝0．
某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是________，中位数是________．
（2）求这10名学生的平均成绩．
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？
如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)若四边形DEBF是菱形，则需增加的一个条件是________．试说明理由．
(3)在(2)的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”
的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源
和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−4
3
x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，
点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=1
2
S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可
在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国
内销售量x（万件）的函数关系式为y1={80(0≤x≤1)
−x+81(1<x≤6)若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．
（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．
（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？
（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m≤10)元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．
如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是________三角形；
（2）若抛物线y＝−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y＝−x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
（4）若抛物线y＝−x2+4mx−8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
利用与一元二次方程定义进行分析即可．
【解答】
解：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程；
−1=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；
A，含有分式，3x2+2
x
B，含有2个未知数，5x2−6y−3=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C，当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D，3x2−2x−1=0是一元二次方程，故此选项符合题意.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
方差
众数
算术平均数
中位数
【解析】
根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．
【解答】
A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；
B、方差是：1
×[3×(80−80)2+(90−80)2+2×(80−75)2]＝25，正确，不符合
6
题意；
C、平均数是(80+90+75+75+80+80)÷6＝80，正确，不符合题意；
D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．
3.
【答案】
B
【考点】
菱形的性质
【解析】
由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．
【解答】
解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，
∴该菱形的边长为√302+402=50(cm).
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
求坐标系中两点间的距离
矩形的性质
【解析】
利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长．
【解答】
解：∵点A的坐标是(−1, 0)，点C的坐标是(2, 4)，
∴线段AC=√(4−0)2+(2+1)2=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝5.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12，AD // BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．
【解答】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12，AD // BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝BC−BE＝4．
6.
【答案】
C
【考点】
正方形的性质
【解析】
先证明△ABE≅△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90∘−25∘＝65∘，在△ADE中利用三角形内角和180∘可求∠AED度数．
【解答】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90∘，DC＝DA，∠ADE＝∠CDE＝45∘．
又DE＝DE，
∴△ADE≅△CDE(SAS)．
∴∠DAE＝∠DCE＝90∘−25∘＝65∘．
∴∠AED＝180∘−45∘−65∘＝70∘．
7.
【答案】
D
【考点】
二次函数的图象
一次函数图象与系数的关系
【解析】
可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】
<0，b<0，
解：由二次函数图象，得出a<0，−b
2a
A、根据一次函数图象，得a>0，b>0，故A错误；
B、根据一次函数图象，得a<0，b>0，故B错误；
C、根据一次函数图象，得a>0，b<0，故C错误；
D、根据一次函数图象，得a<0，b<0，故D正确.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的判定
矩形的判定
正方形的判定
菱形的判定
中点四边形
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90∘，则这个四边形为矩形．
【解答】
如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF // AC，GH // AC，EH // BD，FG // BD（三角形的中位线平行于第三边），∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵AC⊥BD，EF // AC，EH // BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90∘，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90∘，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
9.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】
∵m是方程x2−2x−1＝0的根，
∴m2−2m−1＝0，
∴m2−2m＝1，
∴1+m−1
2m2＝1−1
2
(m2−2m)＝1−1
2
=1
2
，
10.
【答案】
D
【考点】
加权平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵85×2+80×3+90×5
2+3+5
=86,
∴ 小王的成绩为86分.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与系数的关系
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，则可判断A(x1, y1)和B(x2, y2)关于直线x＝1对称，所以x2−1＝1−x1，即x1+x2＝2，然后计算自变量为2对应的函数值即可．
【解答】
抛物线的对称轴为直线x=−−2a
2a
=1，
∵x1≠x2且y1＝y2，
∴A(x1, y1)和B(x2, y2)关于直线x＝1对称，
∴x2−1＝1−x1，
∴x1+x2＝2，
当x＝2时，y＝ax2−2ax+a−c＝4a−4a+a−c＝a−c．
12.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
二次函数的最值
【解析】
根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，从而可以解答本题．
【解答】
∵二次函数y＝−x2+mx+m＝−(x−m
2)2+m2
4
+m，
∴抛物线的对称轴为x=m
2
，
∴当m
2
<−2时，即m<−4，
∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，
∴当x＝−2时，−(−2)2−2m+m＝15，得m＝−19；
当−2≤m
2
≤4时，即−4≤m≤8时，
∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，
∴当x=m
2时，m
2
4
+m＝15，得m1＝−10（舍去），m2＝6；
当m
2
>4时，即m>8，
∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，
∴当x＝4时，−42+4m+m＝15，得m=31
5
（舍去）；由上可得，m的值是−19或6；
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）【答案】
x≥1
【考点】
函数自变量的取值范围
【解析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】
根据题意得，x−1≥0，
解得x≥1．
【答案】
−3
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据根与系数的关系得到x1+x2＝−1，x1x2＝−1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】
根据题意得x1+x2＝−1，x1x2＝−1，
所以x2
x1+x1
x2
=x22+x12
x1x2
=(x1+x2)2−2x2x1
x1x2
=1+2
−1
=−3．
【答案】
y＝2x−9
【考点】
一次函数图象与几何变换
【解析】
直接利用一次函数平移的性质假设出解析式进而得出答案．
【解答】
设平移后的解析式为：y＝2x+b，
∵将直线y＝2x+1平移后经过点(5, 1)，
∴1＝10+b，
解得：b＝−9，
故平移后的直线解析式为：y＝2x−9．
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程．
【解答】
解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x−1)张.
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x−1)=1056．
故选B.
【答案】
√26
2
【考点】
勾股定理
【解析】
根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
根据勾股定理，AB=√12+52=√26，BC=√22+22=2√2，
AC=√32+33=3√2，
∵AC2+BC2＝AB2＝26，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴CD=1
2AB=1
2
×√26=√26
2
．
【答案】
②⑤
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c<0，故abc>0，故①错误，不符合题意；
②将点(−1
2
, 0)代入函数表达式得：a−2b+4c=0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x=−b
2a
=1，即b=−2a，故2a+b=0，故③错误，不符合
题意；
④由②③得：a−2b+4c=0，b=−2a，则c=−5a
4，故2c−3b=7a
2
>0，故④错
误，不符合题意；
⑤当x=1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m(am+b)+c，故⑤正确，符合题意. 故答案为：②⑤.
三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）
【答案】
解：(1)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x−3)，
∵抛物线过点C(0， −3)，
∴−3=a(0+1)(0−3)，
解得：a=1，
∴y=(x+1)(x−3)，
∴二次函数的解析式y=x2−2x−3.
(2)由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1， −4)．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的性质
(1)根据A 与B 的坐标设出抛物线的解析式，把C 坐标代入确定出即可；
(2)把解析式化成顶点式即可求得．
【解答】
解：(1)设二次函数解析式为y =a(x +1)(x −3)，
∵ 抛物线过点C(0， −3)，
∴ −3=a(0+1)(0−3)，
解得：a =1，
∴ y =(x +1)(x −3)，
∴ 二次函数的解析式y =x 2−2x −3；
(2)由y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，
∴ 对称轴是直线x =1，顶点坐标是(1， −4)．
【答案】
∵ x 2+4x +1＝0，
∴ x 2+4x +4＝3，
∴ (x +2)2＝3，
∴ x +2＝±√3，
∴ x 1＝−2+√3，x 2＝−2−√3；
∵ a ＝2，b ＝3，c ＝−1，
∴ △＝32−4×2×(−1)＝17>0，
则x =−3±√174
． ∴ x 1=−3+√174，x 2=−3−√174．
【考点】
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-公式法
【解析】
（1）利用配方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】
∵ x 2+4x +1＝0，
∴ x 2+4x +4＝3，
∴ (x +2)2＝3，
∴ x +2＝±√3，
∴ x 1＝−2+√3，x 2＝−2−√3；
∵ a ＝2，b ＝3，c ＝−1，
∴ △＝32−4×2×(−1)＝17>0，
则x =−3±√174
． ∴ x 1=−3+√174，x 2=−3−√174．
7环,7环
这10名学生的平均成绩为7.5环
全年级500名学生中有100名是优秀射手
【考点】
众数
中位数
加权平均数
用样本估计总体
【解析】
（1）根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可，
（3）样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．
【解答】
射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，
故答案为：7环，7环．
6+7×5+8×2+9×2
10
=7.5环，
答：这10名学生的平均成绩为7.5环．
500×2
10
=100人，
答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ DF//BE,
∴ ∠OFD=∠BEO，∠FDO=∠EBO.
∵ 点O是对角线BD的中点，
∴ OB=OD.
在△DOF和△BOE中，
{∠OFD=∠OEB,∠FDO=∠EBO, OD=OB,
∴ △DOF≅△BOE(AAS)，
∴ OE=OF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
DE=BE或EF⊥BD
(3)解：∵ AB=8，AD=6，
∴ BD=√AD2+AB2=10.
∵ 由(2)知四边形DEBF是菱形，
∴ OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，
在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，
∴x2=(8−x)2+62，
解得x=25
4，即BE=25
4
，
∴ OE=√BE2−OB2=15
4
，
∴ EF=2OE=15
2
.
【考点】
全等三角形的性质与判定
矩形的性质
菱形的判定
菱形的性质
平行四边形的判定
勾股定理
【解析】
(1)根据已知条件及矩形ABCD的性质，判定△DOF≅△BOE，从而证明OE=OF，再由OB=OD即可得到四边形DEBF是平行四边形；
(2)由(1)可知四边形DEBF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到答案；
(3)首先根据已知条件和勾股定理求得BD=10，再根据(2)的条件可知OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得到方程，解方程求出BE，进一步根据勾股定理及菱形的性质即可得到EF的长. 【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ DF//BE,
∴ ∠OFD=∠BEO，∠FDO=∠EBO.
∵ 点O是对角线BD的中点，
∴ OB=OD.
在△DOF和△BOE中，
{∠OFD=∠OEB,∠FDO=∠EBO, OD=OB,
∴ △DOF≅△BOE(AAS)，
∴ OE=OF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
(2)解：DE=BE或EF⊥BD.
理由：由(1)知四边形DEBF是平行四边形. ∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴ 当EF⊥BD时，四边形DEBF是菱形；∵邻边相等的平行四边形也是菱形，
∴当DE=BE时，四边形DEBF是菱形. 故答案为：DE=BE或EF⊥BD.
(3)解：∵ AB=8，AD=6，
∴ BD=√AD2+AB2=10.
∵ 由(2)知四边形DEBF是菱形，
∴ OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，
在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，
∴x2=(8−x)2+62，
解得x=25
4，即BE=25
4
，
∴ OE=√BE2−OB2=15
4
，
∴ EF=2OE=15
2
.
【答案】
设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元，
根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2＝95，
解得：x＝−3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．
∴该种植户每年投资的增长率为50%；
2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3＝67.5（万元）．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x．根据题意2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元．根据题意得方程求解；
（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．
【解答】
设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元，
根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2＝95，
解得：x＝−3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．
∴该种植户每年投资的增长率为50%；
2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3＝67.5（万元）．
【答案】
令x＝0得：y＝4，
∴B(0, 4)．
∴OB＝4
令y＝0得：0=−4
3
x+4，解得：x＝3，
∴A(3, 0)．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．
∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C(8, 0)．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即(x+4)2＝x2+82，解得：x＝6，∴D(0, −6)．
存在，理由如下：
∵S△PAB=1
2
S△OCD，
∴S△PAB=1
2×1
2
×6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴1
2BP⋅OA＝12，即1
2
×3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为(0, 12)或(0, −4)．
【考点】
一次函数图象与几何变换
【解析】
（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB 的长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D(0, −6)．
（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P 的坐标．
【解答】
令x＝0得：y＝4，
∴B(0, 4)．
∴OB＝4
令y＝0得：0=−4
3
x+4，解得：x＝3，
∴A(3, 0)．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．
∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C(8, 0)．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即(x+4)2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D(0, −6)．
存在，理由如下：
∵S△PAB=1
2
S△OCD，
∴S△PAB=1
2×1
2
×6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴1
2BP⋅OA＝12，即1
2
×3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为(0, 12)或(0, −4)．
【答案】
w＝y1⋅x+71(6−x)
={80x+426−71x(0≤x≤1)
−x2+81x+426−71x(1<x≤6)
={9x+426(0≤x≤1)
−x2+10x+426(1<x≤6)
∴w={9x+426(0≤x≤1)
−x2+10x+426(1<x≤6)
由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；
当1<x≤6时，−x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，
451>435
∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．
∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件
∴该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1
则总利润w＝(80−2m)x+(71−m)(6−x)＝(9−m)x+426−6m
显然当10≥m≥9时，w的值小于393，
当5≤m<9时，9−m>0，当x＝1时，令w＝(9−m)×1+426−6m＝393
解得m＝6，
当x＝0时，令w＝426−6m＝393，解得m＝5.5
∵从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m≤10)元给希望工程
∴x＝0不符合题意．
∴m＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，化简可得解；
（2）结合（1）分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；
（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件
则该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1
则总利润w＝(80−2m)x+(71−m)(6−x)＝(9−m)x+426−6m
按照x值的范围代入，结合最大利润为393万元，可分析求得．
【解答】
w＝y1⋅x+71(6−x)
={80x+426−71x(0≤x≤1)
−x2+81x+426−71x(1<x≤6)
={9x+426(0≤x≤1)
−x2+10x+426(1<x≤6)
∴w={9x+426(0≤x≤1)
−x2+10x+426(1<x≤6)
由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；
当1<x≤6时，−x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，
451>435
∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．
∵ 该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件 ∴ 该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x ≤1
则总利润w ＝(80−2m)x +(71−m)(6−x)＝(9−m)x +426−6m 显然当10≥m ≥9时，w 的值小于393，
当5≤m <9时，9−m >0，当x ＝1时，令w ＝(9−m)×1+426−6m ＝393 解得m ＝6，
当x ＝0时，令w ＝426−6m ＝393，解得m ＝5.5
∵ 从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m ≤10)元给希望工程
∴ x ＝0不符合题意．
∴ m ＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．
【答案】
等腰
当抛物线y ＝−x 2+bx(b >0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点( b 2, b 24)，满足b 2=
b 24(b >0)．
则b ＝2．
存在．
如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形． 当OA ＝OB 时，平行四边形ABCD 是矩形，
又∵ AO ＝AB ，
∴ △OAB 为等边三角形．
∴ ∠AOB ＝60∘，
作AE ⊥OB ，垂足为E ，
∴ AE ＝OEtan∠AOB =√3OE ．
∴ b ′24=√3×b ′2(b >0)．
∴ b′＝2 √3．
∴ A( √3, 3)，B(2√3, 0)．
∴ C(−√3, −3)，D(−2√3, 0)．
设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2+nx ，则
{12m −2√3n =03m −√3n =−3
， 解得 {m =1n =2√3
， 故所求抛物线的表达式为y ＝x 2+2√3x ．
由−x 2+4mx −8m +4＝3，x =4m±√16m 2−4(8m−1)2=2m ±√4m 2−8m +1，
当x 为整数时，须 4m 2−8m +1为完全平方数，设 4m 2−8m +1＝n 2 （n 是整数）整理得：
(2m −2)2−n 2＝3，即 (2m −2+n)(2m −2−n)＝3
两个整数的积为3，∴ {2m −2+n =12m −2−n =3 或{2m −2+n =32m −2−n =1 或{2m −2+n =−12m −2−n =−3
或{2m −2+n =−32m −2−n =−1
解得：{m =2n =−1 或{m =2n =1 或{m =0n =1 或{m =0n =−1
， 综上，得：m ＝2或m ＝0；
根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，
当m＝2时，抛物线方程为y＝−x2+8x−12＝−(x−4)2+4，满足抛物线三角形的底
边长等于这边的中线长；
当m＝0时，抛物线方程为y＝−x2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；∴抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．
（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0，那么其顶点在第
一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标
相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．
（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA＝OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′
的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．
（4）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定m的整数值．
【解答】
如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．
故答案为：等腰．
当抛物线y＝−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
该抛物线的顶点( b
2, b2
4
)，满足b
2
=b2
4
(b>0)．
则b＝2．
存在．
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO＝AB，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB＝60∘，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴ AE ＝OEtan∠AOB =√3OE ．
∴ b ′24=√3×b ′2(b >0)．
∴ b′＝2 √3．
∴ A( √3, 3)，B(2√3, 0)．
∴ C(−√3, −3)，D(−2√3, 0)．
设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2+nx ，则
{12m −2√3n =03m −√3n =−3
， 解得 {m =1n =2√3
， 故所求抛物线的表达式为y ＝x 2+2√3x ．
由−x 2+4mx −8m +4＝3，x =4m±√16m 2−4(8m−1)
2=2m ±√4m 2−8m +1，
当x 为整数时，须 4m 2−8m +1为完全平方数，设 4m 2−8m +1＝n 2 （n 是整数）整理得：
(2m −2)2−n 2＝3，即 (2m −2+n)(2m −2−n)＝3
两个整数的积为3，∴ {2m −2+n =12m −2−n =3 或{2m −2+n =32m −2−n =1 或{2m −2+n =−12m −2−n =−3
或{2m −2+n =−32m −2−n =−1
解得：{m =2n =−1 或{m =2n =1 或{m =0n =1 或{m =0n =−1
， 综上，得：m ＝2或m ＝0；
根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长， 当m ＝2时，抛物线方程为y ＝−x 2+8x −12＝−(x −4)2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；
当m ＝0时，抛物线方程为y ＝−x 2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长； ∴ 抛物线与直线y ＝3交点的横坐标均为整数时m ＝2或m ＝0．。