北师大版高中数学高一2.1.5平面直角坐标系中的距离公式

【预习评价】
(1)当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点 间距离公式还适用吗？ 提示 适用．当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两 点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
(2)已知点A(－2，－1)，B(a,3)且|AB|＝5，则a等于 ( )
A．1
B．－5
|222×＋2－－51|2＝
1 5.
答案 A
知识点三 两平行直线间的距离 1．概念：夹在两条平行直线间的 公垂线段 的长度就是两条平
行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0
之间的距离 d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
【预习评价】 (1)两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应 有什么要求？ 提示 两条平行直线的方程都是一般式，并且 x，y 的系数分别 对应相等．
＝
|6a＋a23＋＋11|，
解得 a＝－13或－79.
答案 －13或－79
题型三 两平行线间的距离 【例 3】 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直
线的方程． 解 方法一 设所求直线的方程为 5x－12y＋m＝0， ∵两直线间的距离为 2，∴ 52|＋6－－m|122＝2， ∴m＝32 或 m＝－20. ∴所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
1.5 平面直角坐标系中的距离公式
学习目标 1.了解坐标法及利用坐标法解决简单的几何问题； 2.理解点到直线的距离公式的推导过程；会用点到直线的距 离公式求距离并推导两平行线距离(难点)；3.掌握两点间距 离公式及点到直线距离公式，能用两点间距离公式及点到直 线距离公式解决实际问题(重点)．
知识点一 两点间的距离公式 1．两点间的距离
试判断△ABC 的形状． 解 方法一 ∵|AB|＝
3＋32＋－3－12＝2 13， |AC|＝ 1＋32＋7－12 ＝2 13，
又|BC|＝ 1－32＋7＋32 ＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 且|AB|＝|AC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23， 则 kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
将直线 3x＋y－3＝0 化为 6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式得：
|－612＋＋262|＝
5＝ 40
10 4.
(2)设直线 l 的方程为 2x－y＋c＝0，
由题意知： |32－2＋c1| 2＝ |c2＋2＋11| 2，
得 c＝1，
∴直线 l 的方程为 2x－y＋1＝0.
答案
10 (1) 4
【训练2】 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________. (2)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相 等，则实数a的值为________. 答案 (1)13，331
(2) 解 析
由
题
意
及
点
到
直
线
的
距
离
公
式
得
|－3a－4＋1| a2＋1
(2)两条平行线 l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0 间的距离等
于
()
77 42 A.5 B.15 C.15 D.3
解析 l1 的方程可化为 9x＋12y－6＝0， 由平行线间的距离公式得 d＝|－962＋＋11202|＝145.
答案 C
题型一 两点间距离公式的应用 【例 1】 已知△ABC 三顶点坐标 A(－3,1)、B(3，－3)、C(1，7)，
1 A.3
1 B.2
C．3
D．2
解析 由两点间的距离公式，
得|AC|＝ [3－－1]2＋4－02＝4 2，
|CB|＝ 3－52＋4－62＝2 2，
故||ACCB||＝42 22＝2. 答案 D
题型二 点到直线的距离 【例 2】 求过点 P(1,2)且与点 A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直
(2)2x－y＋1＝0
考查 方向
题型四 距离公式的综合应用
方向 1 利用距离公式求最值 【例 4－1】 (1)已知实数 x，y 满足 6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1
的最小值为________．
解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12，
∴上式可看成是一个动点 M(x，y)到定点 N(0,1)的距离，
【训练 3】 (1)两直线 3x＋y－3＝0 和 6x＋my－1＝0 平行，则它们
之间的距离为________．
(2)已知直线 l 与两直线 l1：2x－y＋3＝0 和 l2：2x－y－1＝0 的距 离相等，则 l 的方程为________________．
解析 (1)由题意得63＝m1 ，∴m＝2.
规律方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一 般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是 这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． (3)几种特殊情况的点到直线的距离： ①点P0(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|； ②点P0(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
规律方法 (1)点关于直线对称的点的求法
点 N(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)可由方程
组Ayx－ －·x＋yx200·x0－＋ABB·＝y＋－2 y10＋ACB≠＝00，，
求得．
(2)直线关于直线的对称的求法
求直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称的直线 l2 的方程的方法是转化为点关于直线对称，在 l1 上任取两点 P1 和 P2， 求出 P1、P2 关于直线 l 的对称点，再用两点式求出 l2 的方程．
即为点 N 到直线 l：6x＋8y－1＝0 上任意一点 M(x，y)的距离，
∴|MN|的最小值应为点 N 到直线 l 的距离，
即|MN|min＝ |86－2＋18| 2＝170.
答案
7 10
(2)两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕 着点 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d. ①求 d 的取值范围；②求当 d 取最大值时，两条直线的方程． 解 ①设经过 A 点和 B 点的直线分别为 l1、l2， 显然当ll12⊥⊥AABB， 时， l1 和 l2 的距离最大， 且最大值为|AB|＝ －3－62＋－1－22＝3 10， ∴d 的取值范围为(0,3 10]；
②由①知 dmax＝3 10，此时 k＝－3， 两直线的方程分别为 3x＋y－20＝0 或 3x＋y＋10＝0.
方向 2 对称问题 【例 4－2】 求点 P(－5,13)关于直线 l：2x－3y－3＝0 的对称点 P′
的坐标． 解 设 P′的坐标为(x0，y0)， 则线段 PP′中点 Q 的坐标为(x0－2 5，y0＋2 13)． ∵Q 在直线 l 上， ∴2·x0－2 5－3·y0＋2 13－3＝0， 即 2x0－3y0－55＝0.①
d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
【预习评价】
(1)在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要
求？
提示 点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．
(2)点(2,5)到直线 y＝2x 的距离为
()
1
2
3
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
解析 直线 y＝2x 可化为 2x－y＝0，由点到直线的距离公式得
规律方法 (1)针对这种类型的题目一般有两种思路： ①利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线 上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两条平行直线间距离公式 d＝ |CA1－2＋CB22| . (2)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两直线都与 x 轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2， 则 d＝|x2－x1|； ②两直线都与 y 轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2， 则 d＝|y2－y1|.
设底边 AC 上任意一点为 P(x,0)(－a≤x≤a)，则点 P 到 AB 的距离|PE| ＝|bxa－2＋abb2|＝ baa2－＋xb2，点 P 到 BC 的距离|PF|＝|bxa＋2＋abb2|＝ baa2＋＋xb2， 点 A 到 BC 的距离 h＝|baa＋2＋abb2|＝ a22a＋b b2， 所以|PE|＋|PF|＝ baa2－＋xb2＋ baa2＋＋xb2＝ a22a＋b b2＝h. 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的 高．
C．1或－5
D．－1或5
解析 由两点间距离公式得，(a＋2)2＋(3＋1)2＝52，∴(a＋
2)2＝9，∴a＝1或a＝－5，故选C.
答案 C
知识点二 点到直线的距离公式
1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该
点到直线的距离．
2．公式：点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离
(3)解决最值问题的关键是理解式子表示的几何意义 ，将 “数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (4)用解析法解题，即用坐标表示有关量，然后进行代数运算， 最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．用解析法解题 的关键是建立适当的平面直角坐标系，注意利用图形的对称 性建系，简化运算过程．
又∵PP′⊥l，∴kl·kPP′＝－1， 即23·yx00－＋153＝－1， 即 3x0＋2y0－11＝0.② 联立①②解得xy00＝ ＝1－1，11， ∴P′的坐标为(11，－11)．
方向 3 在解析法中的应用 【例 4－3】 建立适当的平面直角坐标系，证明：等腰三角形底边
上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 解 设△ABC 是等腰三角形，以底边 CA 所在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直于 CA 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如 图所示． 设 A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则 C(－a,0)． 直线 AB 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0， 直线 BC 的方程为－xa＋by＝1，即 bx－ay＋ab＝0，
规律方法 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法， 大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角 的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边 的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
【训练 1】 已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则||ACCB||的值为( )
线 l 的方程． 解 方法一 由题意知 kAB＝－4，线段 AB 的中点为 C(3，－1)， 所以过点 P(1,2)与直线 AB 平行的直线方程为 y－2＝－4(x－1)， 即 4x＋y－6＝0.此直线符合题意．过点 P(1,2)与线段 AB 中点 C(3，－1)的直线方程为－y－1－22＝3x－－11， 即 3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线 l 的方程为 4x＋y－6＝0 或 3x＋2y－7＝0.
平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 .
2．两点间距离的特殊情况
(1)原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2 . (2)当 P1P2∥x 轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝ |x2－x1| . (3)当 P1P2∥y 轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝ |y2－y1| .
方法二 显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为 y＝kx＋b，
2＝k＋b， 根据条件得|2k－k23＋＋1b|＝|4k＋k25＋＋1b|， 化简得kk＋＝b－＝42，， 或k3＋k＋b＝b＋2，1＝0， 所以kb＝＝－6，4， 或kb＝＝－72. 32，
所以所求直线 l 的方程为： y＝－4x＋6 或 y＝－32x＋72， 即 4x＋y－6＝0 或 3x＋2y－7＝0.
方法二 设所求直线的方程为 5x－12y＋c＝0. 在直线 5x－12y＋6＝0 上取一点 P00，12， 点 P0 到直线 5x－12y＋c＝0 的距离为： d＝－521＋2×－12＋12c2＝|c－136|， 由题意得|c－136|＝2，则 c＝32 或 c＝－20. ∴所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.