陕西省西工大附中高三第十一次模拟考试数学理试题

y 2.5 t 4 4.5
x 3 4 5 6陕西省西工大附中 2012届高三第十一次模拟考试
数学（理）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I （ ） A.{}0 B.{}0,1 C. {}0,3 D. {}1,3 2．抛物线2
2y x =-的准线方程是（ ）
A.12x =
B. 18x =
C.12y =
D. 1
8
y = 3．由曲线x x y 22
-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．32
B ．65
C ．31
D ．6
1
4．若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4
π
θ-的值为（ ）
A.-7
B.17-
C.7
D.7-或1
7-
5. 已知命题11
2:≤-x x
p ，命题0)3)((:<-+x a x q ，若p 是q 的充分不必要条件，
则实数a 的取值范围是（ ）
A.(]1,3--
B.[]1,3--
C.()+∞,1
D. (]3,-∞-
6.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为
0.70.35y x ∧
=+，那么表中t 的值为 （ ）
A ．3
B ．3.15
C ．3.5
D ．4.5
7．若变量,a b 满足约束条件6321a b a b a +≤⎧⎪
-≤-⎨⎪≥⎩
，23n a b =+，则
n 取最小值时，
21n
x ⎛⎫
⎪⎝
⎭二项展开式中的常数项为 （ ） A ． -80 B ．80 C ．40 D ．-20
8．已知P 是△ABC 所在平面内一点，20PB PC PA u u u r u u u r u u u r v
++=，现将一粒黄豆随机撒在△
ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
9．函数2
(4)|4|()(4)x x f x a x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
，若函数2)(-=x f y 有3个零点，则实数a 的值为
（ ）
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．不存在
10．已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且ο120=∠AOC ，
设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R u u u r u u u r u u u r
则等于 （ ）
A ．1-
B ．2
C ．1
D ．2-
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11. 已知P 是双曲线
)0(1y 4x 22
2>=-b b
上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于
12.某算法的程序框图如右边所示，则输出的S 的值为 13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
()37712012(1)1a a -+-=，()3
2006200612012(1)1a a -+-=-，则
2012S =
14. 四棱锥ABCD P -的三视图如右图所示,四棱锥
ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分
别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得 的线段长为22，则该球表面积为 .
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A ．（几何证明选讲选做题）如如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，
PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若PA PE =，60ABC ︒
∠=，1PD =，9PB =，则EC =_____．
B.(极坐标与参数方程选讲选做题) P 为曲线C 1：1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩，（θ为参
数）上一点，则它到直线C 2：122
x t
y =+⎧⎨
=⎩（t 为参数）距离的最小值为____。

C.（不等式选讲选做题）不等式|x 2
-3x-4|＞x+1的解集为________
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. (本小题满分12分〉在△ABC中，角A ，B,C 的对边为a ，b, c ，点（a,b)在直线(sin sin )sin sin x A B y B c C -+=上.
(I)求角C 的值； (II)若，求ΔABC 的面积.
17.(本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
5
3
，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才
能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
18．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，
CD AD ⊥，AB ∥CD ,22
1
===CD AD AB ,点M 在线段EC 上.
（I ）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平
面ADEF ；
（II ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为
6
6时，求三棱锥BDE M -的体积. 19．（本小题满分13分）如图,已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P(2,1),且与x 轴交于点A,O 为坐标原点,点B 的坐标为(2,0),
(1)若动点M 满足0||2=+⋅,求点M 的轨迹C;
(2)若过点B 的直线l ′(斜率不等于零）与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E,F(E 在B,F 之间)试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
20.（本小题满分13分）设函数2
()(1)21(1)f x x n x =+-+.
（1）若在定义域内存在x 0，而使得不等式0()f x m -≤0能成立，求实数m 的最小值； （2）若函数2
()()g x f x x x a =---在区间[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分13分）
已知集合{}
21,N A x x n n *==--∈,{}63,N B x x n n *==-+∈，设n S 是等差数列{}
n a 的前n 项和,若{}n a 的任一项B A a n I ∈,首项1a 是A B I 中的最大数, 且
10750300S -<<-.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）若数列{}n b 满足139n a n n b +-=，令n T =246224()n b b b b ++++L ，试比较n T 与4821
n
n +的大小.
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
D
D
A
C
A
A
C
C
C
二、填空题:（每小题5分，共25分）
11．
27 12. 2012
4025
13. 20122012S = 14. π12 15．A ． 4 B. 1 C. ｛x|x ＞5或x ＜-1或-1＜x ＜3｝
234
17.(本小题满分12分)
（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．
35
310C 1(15)C 12P X =-==； 21
55310C C 5(0)C 12
P X ===；
1255310C C 5(15)C 12P X ===； 3
5310C 1
(30)C 12
P X ===． ………4分
乙得分的分布列如下：
X
15- 0 15 30 P
121 125 125 12
1
155115
(15)01530121212122
EX =
⨯-+⨯+⨯+⨯=． ………6分 （Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .
则 223332381()C ()()()555125P A =+=
， ……8分 511
()12122
P B =+=． ……10分
故甲乙两人至少有一人入选的概率441103
1()11252125
P P A B =-⋅=-⨯=
． ……12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系，则)0,0,2(A ，)0,2,2(B )0,4,0(C ，)2,0,0(E ，所以)1,2,0(M . ∴)1,0,2(-=BM ————————2分
又，)0,4,0(=OC 是平面ADEF 的一个法向量. ∵0=⋅OC BM 即OC BM ⊥
∴BM ∥平面ADEF ——————4分 （2）设),,(z y x M ，则)2,,(-=z y x EM ， 又)2,4,0(-=EC
设10(<<=λλEC EM ，则，λλ22,4,0-===z y x 即)22,4,0(λλ-M .—6分
设),,(111z y x n =是平面BDM 的一个法向量，则
02211=+=⋅y x n OB 0)22(411=-+=⋅z y n OM λλ
取11=x 得 λ
λ-=-=12,111z y 即 )12,1,1(λλ
--=n
又由题设，)0,0,2(=OA 是平面ABF 的一个法向量，——————8分 ∴ 2
1
66)1(4222|
||||,cos |2
2
=
⇒=-+
=
⋅=
><λλλn OA n OA ——10分 即点M 为EC 中点，此时，2=DEM S ∆，AD 为三棱锥DEM B -的高，
∴ =-BDE M V 3
4
2231=⋅⋅=
-DEM B V ——————————12分 19.（本小题满分13分）解：（I ）由22414x y y x ==得， .2
1x y ='∴
∴直线l 的斜率为1|2='=x y ，故l 的方程为1-=x y ，
∴点A 坐标为（1，0）设),(y x M 则),1(),,2(),0,1(y x AM y x BM AB -=-==， 由0||2=+
⋅AM BM AB 得 .0)1(20)2(22=+-⋅+⋅+-y x y x 整理，得
.12
22
=+y x
∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆
（II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k(x －2) (k ≠0)①
将①代入12
22
=+y x ，整理，得
0)28(8)12(222
2
=-+⋅-+k x k x k ，
由△>0得0<k 2<0.5. 设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822
212221k k x x k k x x ② 令|
|||,BF BE S S OBF OBE ==
∆∆λλ则，
由此可得.10,2
2,21<<--=⋅=λλλ且x x 由②知,1
24)2()2(221+-=-+-k x x
1212122
2
2
222222)(2)2()4.
21
2141,(1)8(1)21411
0,0,332(1)22x x x x x x k k k k l l l l l l l -?=-++=
++\
==-++<<\<-<-<++Q （即解得 01,l <<Q 又 1223<<-∴λ.
∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－22，1） 20（本小题满分13分） 20、答案：（1）要使得不等式0()f x m -≤0能成立，只需m ≥min ()f x .
求导得12(2)
'()2(1)211
x x f x x x x +=+-⋅=
++， Q 函数()f x 的定义域为（－1，+∞）， 当(1,0)x ∈-时'()f x ＜0，
∴函数()f x 在区间（－1，0）上是减函数； 当(0,)x ∈+∞时'()f x ＞0，
∴函数()f x 在区间（0，+∞）上是增函数. ∴min ()(0)1f x f ==，
∴m ≥1,故实数m 的最小值为1. （2）由2()(1)21(1)f x x n x =+-+得
22()(1)21(1)()121(1)g x x n x x x a x n x a =+-+-++=+-+-.
由题设可得方程(1)21(1)x n x a +-+=在区间[0，2]上恰有两个相异实根.
设21
()(1)21(1),'()111
x h x x n x h x x x -=+-+=-=
++.
，
(0)h ∴＞(2)h .
从而有max min ()1,()2212h x h x n ==-.
画出函数()h x 在区间[0，2]上的草图，易知要使方程()h x =a 在区间[0，2]上恰有两个相异实根，只需2－21n 2＜a ≤3－21n 3，
即(2212,3213]a n n ∈--
.
21．（本小题满分13分）
解: （Ⅰ）根据题设可得: 集合A 中所有的元素可以组成以3-为首项,2-为公差的递减等差数列；集合B 中所有的元素可以组成以3-为首项,6-为公差的递减等差数列.
由此可得,对任意的*∈N n ,有B B A =I
A B I 中的最大数为3-,即13a =- ……………………2分
设等差数列{}n a 的公差为d ,则3(1)n a n d =-+-,1101010()
45302
a a S d +==-
因为10750300S -<<-, ∴7504530300d -<-<-,即616-<<-d
由于B 中所有的元素可以组成以3-为首项,6-为公差的递减等差数列
所以)0,(6≠∈-=m Z m m d ,由1666m -<-<-2m ⇒=，所以12-=d …5分 所以数列{}n a 的通项公式为912n a n =-（*∈N n ） ……………6分 （Ⅱ）13922(22
n a n n n b +-== 246211
[1()]
12224()2424(1)1212
n n n n T b b b b -=++++=⨯=--L …………8分 48244824(221)24212212(21)
n n n n n n n T n n n ---=--=+++
于是确定n T 与4821
n
n +的大小关系等价于比较2n 与21n +的大小
由2211<⨯+，22221<⨯+，32231>⨯+，42241>⨯+，⋅⋅⋅
可猜想当3n ≥时，221n n >+ ………………………………10分 证明如下： 证法1：（1）当3n =时，由上验算可知成立. （2）假设n k =时，221k k >+，
则12222(21)422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=⋅>+=+=+++->++ 所以当1n k =+时猜想也成立 根据（1）（2）可知 ，对一切3n ≥的正整数，都有221n n >+
∴当1,2n =时，4821n n T n <+，当3n ≥时4821
n n
T n >+ ………13分
证法2：当3n ≥时
0110112(11)2221n n n n n n
n n n n n n n n C C C C C C C C n n --=+=++⋅⋅⋅++≥+++=+>+
∴当1,2n =时，4821n n T n <
+，当3n ≥时4821
n n
T n >+ ……………13分。