高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型讲义教案 新人教A版必修1

学习资料
3。

2 函数模型及其应用3.2。

1几类不同增长的函数模型
学
习目标核心素养
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点）
2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点）
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。

三种函数模型的性质
y＝a x(a>1）y＝log a x(a〉1)y＝x n（n>0）在（0，＋∞)上的增
减性
增函数增函数增函数
图象的变化趋势随x增大逐渐近似与
y轴平行
随x增大逐渐近似与
x轴平行
随n值而不同
增长速度①y＝a x(a〉1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y ＝x n(n〉0)的增长速度，y＝log a x（a〉1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0,当x>x0时，有a x>x n>log a x
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(）A．y减少1个单位B．y增加1个单位
C．y减少2个单位D．y增加2个单位
C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（)
A．y＝e x B．y＝ln x C．y＝x2D．y＝e－x
A[结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确．] 3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③[结合图象可知②③正确，故填②③.]
几类函数模型的增长差异
A．y＝2 019x B．y＝x2 019
C．y＝log2 019x D．y＝2 019x
（2）下面对函数f(x)＝log错误!x，g（x）＝错误!错误!与h(x)＝x错误!在区间(0，＋∞）上的递减情况说法正确的是(）
A．f(x）递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f（x)递减速度越来越快，g(x）递减速度越来越慢，h（x)递减速度越来越快
C．f（x）递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h（x)递减速度越来越慢
D．f(x）递减速度越来越快，g（x)递减速度越来越快，h（x）递减速度越来越快
（1）A（2）C［(1)指数函数y＝a x，在a〉1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A。

(2）观察函数f(x）＝log错误!x,g(x）＝错误!错误!与h(x）＝x错误!
在区间(0，＋∞）上的图象(如图）可知：
函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢；在
区间(1，＋∞）上，递减较慢,且越来越慢，同样,函数g(x）的图象在区
间(0，＋∞）上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h（x）的图象在区间(0，1）上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．］
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型,线性函数模型y＝kx＋b(k〉0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型，指数函数模型y＝a x(a〉1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型,对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型，幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间。

错误!
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 151015202530
y1226101226401626901
y2232 1 02437 768 1.05×1063。

36×1071。

07×109 y32102030405060
y424。

3225。

322 5.907 6.322 6.6446。

907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
y2［以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化,且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
1
y1），B(x2，y2）,且x1＜x2.
(1）请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数；
（2)结合函数图象，判断f(6），g(6），f(2 019），g（2 019)的大小．
［解］（1)C1对应的函数为g（x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。

(2）∵f(1）＞g(1),f(2)＜g（2），f(9)＜g（9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2,2 019＞x2。

从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，
f（x）＜g(x），
∴f(6）＜g（6)；
当x＞x2时，f(x）＞g（x），
∴f（2 019）＞g（2 019)．
又g(2 019）＞g(6）,
∴f（2 019）＞g(2 019)＞g（6)＞f（6)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
错误!
2．函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数;
(2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f(x）,g（x)的大小进行比较）．［解］(1）C1对应的函数为g(x）＝0。

3x－1，C2对应的函数为f（x)＝lg x.
（2)当x<x1时，g(x)〉f(x）；当x1<x〈x2时，f（x)>g（x)；当x〉x2时，g(x)〉f(x);当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g(x)．
需选择函数模型的实际问题
1．一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？
提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢．
2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型?
提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．
【例3】（1）某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x 的关系,可选用（)
A．一次函数B．二次函数
C．指数型函数D．对数型函数
(2）某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1。

3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x,产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
思路点拨：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解．
（1)D［结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.］
(2)解：由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1），B（2，1.2)，C（3,1.3）,D （4,1.37）这4个数据．
①设模拟函数为y＝ax＋b时,
将B，C两点的坐标代入函数式，
得错误!解得错误!
所以有关系式y＝0.1x＋1.
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的．
②设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式,得
错误!解得错误!
所以有关系式y＝－0。

05x2＋0。

35x＋0。

7.
结论为：由此法计算4月份的产量为1。

3万双,比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．
③设模拟函数为y＝ab x＋c时，
将A，B，C三点的坐标代入函数式，
得错误!
由①，得ab＝1－c,代入②③，
得错误!
则错误!解得错误!则a＝错误!＝－0。

8。

所以有关系式y＝－0。

8×0.5x＋1.4。

结论为：当把x＝4代入得y＝－0。

8×0.54＋1。

4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势．
因此选用指数型函数y＝－0。

8×0。

5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
不同函数模型的选取标准，不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律。

,因此，需抓住题中蕴含的数学
信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
［跟进训练］
3．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0。

5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1）下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b;③y＝log a x＋b；④y＝a x＋b(x表示人均GDP，单位:千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L）．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
（2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
［解](1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②,③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
（2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2;x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx,得错误!解得a＝－错误!，b＝错误!，所以函数解析式为y＝－错误!x2＋错误!x。

(x∈[0.5,8］）∵y＝－错误!x2＋错误!x＝－错误!错误!错误!＋错误!，∴当x＝错误!时，年人均A饮料的销售量最多是错误!L。

1．核心要点：对于直线y＝kx＋b（k≥0)、指数函数y＝a x(a〉1）、对数函数y＝log b x(b>1），当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
2．数学思想：根据散点图判断或选择函数模型也是常用的方法，这体现了数形结合的思想．
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(）
(2)当a>1，n〉0时，在区间(0，＋∞）上，对任意的x，总有log a x<x n<a x成立．
(3)函数y＝log错误!x衰减的速度越来越慢．()
[答案］（1）×(2)×（3）√
2．下列函数中，随x的增大,增长速度最快的是()
A．y＝1B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
C［结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知（图略），随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x。

]
3．某人投资x元，获利y元,有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙:y ＝1.005x,则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．] 4．画出函数f(x）＝错误!与函数g（x)＝错误!x2－2的图象,并比较两者在［0，＋∞）上的大小关系．
［解］函数f（x)与g(x）的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x〈4时，f(x）>
g(x）;
当x＝4时,f（x)＝g(x)；
当x〉4时，f(x）〈g（x）．。