高中数学北师大必修1学案：第一章 1 集合的含义与表示

§1集合的含义与表示
预习课本P3～5，思考并完成以下问题
1．集合和元素的定义各是什么？
2．元素与集合之间有什么关系？如何用符号表示？
3．集合的表示方法有哪些？
4．集合中元素的特征有哪些？
[新知初探]
1．元素与集合
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．
(3)元素与集合间的关系：①若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A；②若a 不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A.
(4)常见数集：
(1)构成集合的对象必须是“确定”的，即给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了．这个特征是不能模棱两可的．
(2)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物．
2．集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．符号表示为{，…，}，如{x1，x2，…，x n}．
(2)描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}．
[点睛]
(1)使用列举法表示集合应注意以下问题：
①元素之间用“，”隔开；
②元素不能重复；
③元素没有顺序．
(2)使用描述法表示集合应注意以下问题：
①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)；
②说明该集合中元素的性质；
③不能出现未说明的字母；
④所有描述的内容都写在集合括号内，用于描述的语句要力求简洁、准确．3．集合的分类
按照集合中元素的多少，集合可以分为有限集和无限集．
(1)含有有限个元素的集合叫作有限集；
(2)含无限个元素的集合叫作无限集．
(3)不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅.
[点睛]{0}和∅不是同一个集合，{0}中含有一个元素0，而∅中没有任何元素．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”
(1)著名的科学家能构成一个集合．()
(2)留长发的女生构成一个集合．()
(3)2016年央视春晚的所有表演节目构成一个集合．()
(4)视力差的男生构成一个集合．()
(5)－2∈N.()
★答案☆：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()
A．0∈A B．a∉A
C．a∈A D．a＝A
★答案☆：C
3．集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为()
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：选B{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}．
4．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()
A．方程y＝2x－1 B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
★答案☆：D
5．用符号“∈”或“∉”填空
－2______R，－3______Q，－1______N，π______Z.
★答案☆：∈∈∉∉
集合的含义
[典例]下列每组对象能构成一个集合的是________．(填序号)：
①某校2016年在校的所有高个子同学；
②不超过20的非负数；
③帅哥；
④直角坐标系平面内第一象限的一些点；
⑤3的近似值的全体．
[解析]“高个子”没有明确的标准，因此①不能构成集合．②任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；③“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；④“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；⑤“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以⑤不能构成集合．
[★答案☆]②
判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．[活学活用]
下列能构成集合的是()
A．中央电视台著名节目主持人
B．2016年里约奥运会比赛的所有项目
C．上海世博园中所有漂亮的展馆
D．世界上的高楼
★答案☆：B
集合的表示方法
[典例]用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2＞6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝3，
x －y ＝5的解集．
[解] (1)∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}．
(2){x |x ＝2n ＋1，且x ＜1 000，n ∈N}． (3){x |x ＞8}． (4){1,2,3,4,5,6}．
(5)集合用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
(x ，y )⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝3，x －y ＝5. 解方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝－1，
故集合用列举法表示为{(4，－1)}．
(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．
(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．
[活学活用]
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{y |(y －1)2＝0} C ．{x ＝1}
D ．{1}
解析：选C 由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C.
2．有下面六种表示方法
①{x ＝－1，y ＝2}；②⎩
⎪⎨⎪
⎧ (x ，y )
|
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ＝－1，y ＝2；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}．
其中，能正确表示方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号)．
解析：
序号判断原因分析
①否①中含两个元素，且都是方程，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点
②能②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同
③否③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素
④否④没有用花括号“{}”括起来，不表示集合
⑤能⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等
⑥否⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号()，条件中“或”也要改为“且”
集合中元素的性质及其应用
题点一：已知元素与集合的关系求参数
1．已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为()
A．2B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
解析：选B由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．
题点二：判断集合中元素的个数
2．由实数x，－x，|x|，x2及－3
x3所组成的集合，最多含有()
A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素
解析：选A法一：因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3
x3＝－x，所以不论x取何值，最多只
能写成两种形式：x，－x，故集合中最多含有2个元素．
法二：令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．
题点三：已知集合中元素的个数求参数
3．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
所以x＝2，此时集合A＝{2}；
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．
此类问题既要讨论元素的确定性，又要利用元素的互异性检验解的正确与否．元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中未知的元素．另外，此类问题常涉及分类讨论的数学思想．
层级一学业水平达标
1．有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体．
其中能构成集合的个数是()
A．2B．3
C．4 D．5
解析：选A①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．
2．下面几个命题中正确命题的个数是()
①集合N*中最小的数是1；
②若－a∉N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
解析：选D 集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.
4．将集合⎩
⎪⎨⎪
⎧ (x ，y )
|
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ＋y ＝5，2x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{x ＝2，y ＝3}
D ．(2,3)
解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，y ＝3.所以表示成列举法为{(2,3)}．
5．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}
C ．{x ＝1}
D ．{x 2－2x ＋1＝0}
解析：选B 方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．
6．已知①5∈R ；②1
3∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z.正确的个数为
________．
解析：①②⑥是正确的，③④⑤是错误的． ★答案☆：3
7．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于________． 解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. ★答案☆：3
8．用适当的符号填空：
已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B .
解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A .
令3k ＋2＝－5得，k ＝－7
3∉Z.
所以－5∉A .
令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈B .
★答案☆：∈ ∉ ∈
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1＞5的解集．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z}． (6){1,2}． (7){x |2x －1＞5}．
10．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则1
1－a ∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所
有元素．
解：∵2∈A ，由题意可知，
1
1－2
＝－1∈A ； 由－1∈A 可知，11－(－1)＝1
2∈A ；
由12∈A 可知，11－
1
2
＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，1
2，2.层级二 应试能力达标
1．下列命题不．正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；
②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，6
4，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R}是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析：选D ①的元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，
⎪⎪⎪⎪
－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点，所以①②③④都
不正确．
2．下面四个判断，正确的个数是( ) (1)0∈∅； (2){0}是空集；
(3)⎩
⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪
⎪
x ＋y ＝1
2x ＋2y ＝－2是空集； (4){x 2＋y ＋1＝0}是空集； A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．4个
解析：选B 由空集的定义知(3)正确，(1)、(2)、(4)错误．
3．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4
D ．0
解析：选B 若a ＝2，则6－a ＝6－2＝4∈A ，符合要求； 若a ＝4，则6－a ＝6－4＝2∈A ，符合要求； 若a ＝6，则6－a ＝6－6＝0∉A ，不符合要求． ∴a ＝2或a ＝4.
4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝xx ＝k 4＋1
2，k ∈Z ，若x 0∈M ，则x 0与N 的
关系是( )
A ．x 0∈N
B ．x 0∉N
C ．x 0∈N 或x 0∉N
D ．不能确定
解析：选A M ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫xx ＝
2k ＋1
4，k ∈Z ， N ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫xx ＝
k ＋2
4，k ∈Z ， ∵2k ＋1(k ∈Z)是一个奇数，k ＋2(k ∈Z)是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.
5．已知集合C ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x 63－x ∈Z ，x ∈N *，用列举法表示C ＝________.
解析：由题意知3－x ＝±1，±2，±3，±6， ∴x ＝0，－3,1,2,4,5,6,9.
又∵x ∈N *，∴C ＝{1,2,4,5,6,9}． ★答案☆：{1,2,4,5,6,9}
6．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B
的所有元素之和为________．
解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6.
★答案☆：6
7．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，求a .
解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，
∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，
不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．
当a ＝－32时，a －2＝－72
， 2a 2＋5a ＝－3，满足题意．
∴a ＝－32.
8．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a 2，b a ，a ，若0∈A 且1∈A ，求a 2 016＋b 2 016的值． 解：由0∈A ，“0不能做分母”可知a ≠0，故a 2≠0，所以b a
＝0，即b ＝0.又1∈A ，可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时，
得a 2＝1，由集合元素的互异性，知a ＝1不合题意．
当a 2＝1时，得a ＝－1或a ＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a ＝－1，b ＝0，所以a 2 016＋b 2 016的值为1.。