广东省2014届高三数学一轮复习 试题选编13 椭圆 理

广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编13：椭圆
一、选择题
1 ．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,,
则方程22
221x y a b
+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为
（ ）
A ．
1
2
B ．
1532
C ．
1732
D ．
3132
【答案】B
分析:方程2
22
2
1x y a b 表示焦点在x 轴且离心率小于32的椭圆时,有22
2232a b c a b e a a ⎧>⎪
⎨-==
<⎪⎩
, 即2222
4a b a b
⎧>⎨<⎩,化简得2a b
a b >⎧⎨<⎩,又[1,5]a ∈,[2,4]b ∈, 画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示,
求得阴影部分的面积为
15
4
,故152432S P ==⨯阴影
2 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆
)
0(122
22>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300
的等
腰三角形,则m 的取值范围是
（ ）
A ．1 < m < 2
B ．m > 2
C ．1 < m <23
D ．m >23
【答案】A
3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
的离心率为
2
,双曲线22
1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为
.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 22
1205
x y += 【答案】B
4 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆2
2
1x my +=的焦点
在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）
A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．4
【答案】A 二、填空题
5 ．（2009高考(广东理)）巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为__________．
【答案】【解析】23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为
19
362
2=+y x . 三、解答题
6 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆
222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且
12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得
11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -
∵1212||||||2PC PC C C +=>=
∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为
2a =的椭圆, 1,1a c b =====
∴椭圆的方程为22
12x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212
x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.
(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-
由方程组2
212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得2222
(21)8820k x k x k +-+-=①
依题意2
8(21)0k ∆=-->
解得22
k -
<<
当22
k -
<<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,
方程①的解为221222884242k k x x k k +-==++ ,则2
12024221
x x k x k +==+
∴20022
42(2)22121k k
y k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭
要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-
∴222212114021
k
k k k k --+⋅=--+,即2102
k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2
102
k k -+=无解
所以不存在直线,使得11||||C C C D =
综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =
7 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22
221x y a b
+= (0a b >>)
的离心率为3
,
连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.
(1)求椭圆1C 的方程;
(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点
P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;
(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最
小值时点S 的坐标.
【答案】解:(1)解:
由e =得223a c =,再由222
c a b =-,
解得a =
由题意可知
1
222
a b ⋅⋅=,
即a b ⋅=
解方程组a ab ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
得a b ==所以椭圆C 1的方程是22
132
x y += (2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线, 所以点M 的轨迹2C 的方程为2
4y x =
(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )
所以222221*********()
()()()016
y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=
+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
所以22
1222256323264y y y =+
+≥=, 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS
===
因为2
1y ≥64,所以当2
1y =64即1y =±8时
,min OS =,
所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)
8 ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)
已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b
+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:2
4x y =的焦点,
点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15
||3
MF =
. (1)求椭圆C 1的方程;
(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】
9 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆
22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率3
2
e =为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.
【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F - 1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a B F AF
1
222==-∴b c a
又23=
e 4312
2
22
2=-==∴a
a a c e ,解得42
=a 14
22
=+∴y x 所求椭圆方程为：
(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2
200
+=
∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(2
2:00
++=
x x y y )28,
2(00+∴x y M )2
4,2(00
+∴x y N 4
22224200000
00
-=--+=∴x y x x y x y k QN
又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442
02
0=+y x ,所以 2
02
044y x -=-
2
002
0002424
2y x y y x x y x k QN -
=-=
-=
∴ ∴直线 QN 的方程:)(2200
0x x y x y y --
=- 化简整理得到:4422
02
000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x
x
y
O
l
A
B
P
Q M
N
H
•
1
F
所以 点O 到直线QN 的距离2442
2
0=+=
y x d
∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.
10．（广东省珠海市2013届高三5月综合考试（二）数学（理）试题）已知椭圆C 的方程为
22
221(0)x y a b a b
+=>>,点A B 、分别为其左、右顶点,点12F F 、分别为其左、右焦点,以点A 为圆心,1AF 为半径作圆A ;以点B 为圆心,OB 为半径作圆B ;
若直线:3
l y x =-
被圆A 和圆B 截得的
; (1)求椭圆C 的离心率;
(2)己知7=a ,问是否存在点P ,使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为3
4
;若存在,请求出所有的P 点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)
由l k =,得直线l 的倾斜角为150︒, 则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2
a d a =︒-︒=
, 故直线l 被圆A
截得的弦长为1L ==, 直线l 被圆B
截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒=,
据题意有
:126L L =
=
化简得:2
163270e e -+=,
解得:74e =
或1
4
e =,又椭圆的离心率(0,1)e ∈; 故椭圆C 的离心率为1
4
e =.
(2)假设存在,设P 点坐标为(,)m n ,过P 点的直线为L ; 当直线L 的斜率不存在时,直线L 不能被两圆同时所截; 故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-,
则点)0,7(-A 到直线L 的距离2
117k
n
km k D ++--=,
由(1)有14c e a =
=,得34A a r a c =-=
=4
21
, 故直线L 被圆A
截得的弦长为1'L =
则点)0,7(B 到直线L 的距离2
217k
n km k D ++-=
,
7=B r ,故直线L 被圆B
截得的弦长为2'L =
据题意有:
1234
L L =,即有2222
1216()9()A
B r D r D -=-,整理得1243D D =, 即
2
174k
n
km k ++-2
173k
n
km k ++-=
,两边平方整理成关于k 的一元二次方程得
07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ,
关于k 的方程有无穷多解,
故有:⎩⎨
⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧==+=++490100
70143500
343350722m n m n n mn n m m 或, 故所求点P 坐标为(-1,0)或(-49,0).
(注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分)
11．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为
e =
,直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;
(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂
足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;
(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅RS QR ,求||QS 的取值范围.
【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆2
2
2
x y b +=相切,
b =,
即b =
由e =,得22
2213b e a =-=,
所以a =所以椭圆的方程是22
1:132
x y C +=
(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42
=
(3)由(2),知(0,0)Q ,设22
1212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴22
2
121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由0=⋅RS QR ,得
()
()22
2121121016
y y y y y y -+-=
∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
,
∴2
22121256323264y y y =+
+≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又
||y QS ⎛== ,
∵2264y ≥,∴当2
264y =,即28y =±时,min |
|QS =故||QS 的取值范围是)
⎡+∞⎣
12．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线
033=+-y x 经过椭圆C :122
22=+b
y a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .
⑴求椭圆的标准方程;
⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标. 【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=
c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标
准方程为14
22
=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0
13142
2n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=13111338n m , 所求点P 为)1 , 0(-P 和)13
11
, 1338(-
P . 13．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题（word 版） ）在平面直角坐标系x o y 中,
点(,)(0)P a b a b >>为动点,12,F F 分别为椭圆22
221x y a b
+=的左右焦点.已知△12F P F 为等腰三角
形.(1)求椭圆的离心率e ;
(2)设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点,M 是 直线2P F 上的点,满足2A M B M =-, 求点M 的轨迹方程.
【答案】解:(1)设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,
由题意,可得212PF F F =,
2c =, 整理得22()10c c a
a
++=,得1c a
=-(舍)或12c a =,所以12
e =
(2)由(1)
知2,a c b ==,可得椭圆方程为222
3412x y c +=. 直线2PF
方程为),y x c =
-
,A B
两点的坐标满足方程组2
223412)
x y c y x c ⎧+=⎪⎨
=-⎪⎩,消去y 并整理得2
580,x cx -=
解得1280,,5x x c ==
得方程组的解
110,x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩2285x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩
不妨设8((0,)5
A c
B ,设M 的坐标为(,)x y 则
8(,5AM x c y =-
(,)BM x y =+,
由),y x c =-
得3
c x y =-
.
于是838
(
,),1555AM
x y =-(
)BM x =
由2AM BM =
-得38)(2
5
5
y x x y -⋅+=-,
化简得218150x --=,
将2y c x y =得2
10516x c x
+=,
由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是2
18150(0)x x --=>
14．（广东省惠州市2013届高三一调(理数)
）已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的离心率2e =,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程:
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B .已知点A 的坐标为(-a ,0),点Q (0,0y )在线段AB 的垂直平分线上
,且QA QB =4.求0y 的值. 【答案】(1)解:由e 2
c a =
=,得2234a c =,再由222
c a b =-,得2a b = 由题意可知,
1
224,22a b ab ⨯⨯==即解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩
得2,1a b == 所以椭圆的方程为2
214x y +=
(2)解:由(1)可知A(-2,0).设B 点的坐标为(x 1,,y 1),直线l 的斜率为k , 则直线l 的方程为(2)y k x =+,
于是A,B 两点的坐标满足方程组22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩由方程组消去y 并整理,
得2
2
2
2
(14)16(164)0k x k x k +++-=
由2121642,14k x k --=+得211
22
284,,1414k k
x y k k -==++从而 设线段AB 是中点为M,则M 的坐标为222
82(,)1414k k
k k -
++以下分两种情况: (1)当k=0时,点B 的坐标为(2,0).线段AB 的垂直平分线为y 轴,于是
000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →
→
→
→
=--=-±）由4，得=②当k 0≠时,线段AB 的垂直平分线方程为2
22
218()1414k k y x k k k --
=+++ 令x=0,解得02
614k
y k -=+ 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →→=--=-）
210102222
2(28)6462(()
14141414k k k k
QA QB x y y y k k k k →
→--=---++++++）=4222
4(16151)
4(14)
k k k +-=+=
整理得2
072,=75k k y ==±
±故
综上00==5
y y ±±
15．（广东省珠海市2013届高三9月摸底（一模）考试数学（理）试题）已知椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )
的右焦点为2(3,0)F ,离心率为e . (1)
若2
e =
求椭圆的方程; (2)设直线y kx =与椭圆相交于A ,B 两点,,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以
MN 为直径的圆上,且
2
322≤<e ,求k 的取值范围.
【答案】解:(1)
由题意得3c c a
=⎧⎪
⎨=
⎪⎩
得a =结合2
2
2
a b c =+,解得2
12a =,2
3b =
所以,椭圆的方程为13
122
2=+y x (2)由22
221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得222222
()0b a k x a b +-=.
设1122(,),(,)A x y B x y .
所以22
1212222
0,a b x x x x b a k
-+==+, 依题意,OM ON ⊥,
易知,四边形2OMF N 为平行四边形, 所以22AF BF ⊥,
因为211(3,)F A x y =-,222(3,)F B x y =-,
所以2
22121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++= [即 222222
(9)(1)
90(9)
a a k a k a --++=+-, 将其整理为 4222
4242
188181
11818a a k a a a a
-+==---+-. 因为
2
322≤<e ,
所以a ≤<2
1218a ≤< 所以2
1
8
k ≥
,
即2(,(,]44k ∈-∞-+∞ 16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心
率2
3
=
e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;
⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线
AP 的方程;若不存在,简要说明理由.
【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
椭圆C 的离心率2
3
=
e ,右焦点为)0 , 3( F ,
∴c c a =
=
, 222a b c =+,
∴2,1,a b c ===
,
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=
⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线
,
00(,1)OP OA x y +=+
,(FA =-,
∴
01
1
y +=
,
即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆22
14x y +=上,∴220014
x y += (2)
由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,
或001
7x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
, ∴(0,1)P -,
或1
()7
P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,
当点P
的坐标为1
()7
P 时,直线AP
440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =
440y -+=
17．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22
221(0,0)x y a b b a
+=>>的离
心率为
12,其左焦点E 与抛物线21
:4
C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的
右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则
(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得1
2
MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112
b =, 所以,2b =.由2221b a -=
求得a =因此,所求椭圆的方程为22
143
x y += (*)
(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为
k ,
① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;
② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入
24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线
的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.
(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆=
=1
12
y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩或22
14
31
x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,
求得x =此时满足条件的点M 有4个
: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭
. ②若点P 的坐标是(1,2)-,
则PF =点M 到直线:1y x =-+
于是有
11122MPF S y ∆==⨯-,从而1
12x y +-=±,
与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22
143112
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-
⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4
个:6579257,714⎛⎫
+-
⎪ ⎪⎝⎭,6579257,714⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫
- ⎪⎝
⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则22PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-的距离是
1
2
x y --,于
是有
111221222
MPF x y S x y ∆--==⨯⨯=--,从而1
12x y --=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22
143112
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-
⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M 有4个:
6579257,714⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭,6579257,714⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭,1115,714⎛⎫ ⎪⎝
⎭,31,2⎛⎫
-- ⎪⎝⎭. 综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M 共有12个.图上椭圆上的
12个点即为所求.
18．（广东省“六校教研协作体”2013届高三第二次（11月）联考数学（理）试题）已知椭圆
:C 22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为52
3
. (1)求椭圆C 的方程;
(2)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.
①若线段AB 中点的横坐标为1
2
-,求斜率k 的值; ②已知点7
(,0)3
M -,求证:MA MB ⋅为定值.
21.(本小题满分14分)
已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值. (1)求实数a 的值;
(2)若关于x 的方程()5
2
f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()2341
2ln 149n n n
+++++>+都成立.
【答案】解:(1)因为22221(0)x y a b a
b
+=>>满足222
a b c =+
, 3c a =
122b c ⨯⨯=解得22
55,3
a b ==,则椭圆方程为
221553
x y += (2)①将(1)y k x =+代入
22
155
3x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>,2
122631
k x x k +=-+
因为AB 中点的横坐标为1
2
-,所以
2261312k k -=-+,解得k =
②由(1)知2122631k x x k +=-+,212235
31
k x x k -=+
所以112212127777
(,)(,)()()3333
MA MB x y x y x x y y ⋅=+
+=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++422
2
316549319k k k k ---=+++49
= 21.解:(1)()'1
21,f x x x a
=
--+ 0x =时,()f x 取得极值,
()'00,f ∴=
故
1
2010,0a
-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意 (2)由1a =知()()2
ln 1,f x x x x =+--
由()52f x x b =-
+,得()23
ln 10,2
x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()5
2
f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于
()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根
()()()()
'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=
-+=++
当[]0,1x ∈时,()'
0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增; 当(]1,2x ∈时,()'
0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减
依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430
b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪
⎪
=+-+->⎨⎪
⎪=+-+-≤⎩, 分
解得,1
ln 31ln 2.2
b -≤<+
(3) ()()2
ln 1f x x x x =+--的定义域为{}
1x x >-,由(1)知()()
()
'231x x f x x -+=
+,
令()'
0f
x =得,0x =或3
2
x =-
(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;
当0x >时, ()'
0f
x <,()f x 单调递减.
()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. ()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)
对任意正整数n ,取10x n =
>得,2111
ln 1,n n n
⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 211
ln n n n n
++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.
故()234134
1
2ln 2ln ln ln
ln 149
23
n n n n n
++++++
>++++=+
19．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右
顶点分别为(2,0),(2,0)A B -,
离心率e =
.过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴,垂足为Q ,点C 在QP 的延长线上,且||||QP PC =.
(1)求椭圆的方程; (2)求动点C 的轨迹E 的方程;
(3)设直线AC (C 点不同于,A B )与直线2x =交于点R ,D 为线段RB 的中点,试判断直线CD 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.
【答案】解析:(1)由题意可得2a =
,c e a ==
,∴c =∴2
2
2
1b a c =-=,
所以椭圆的方程为2
214
x y += (2)设(,)C x y ,00(,)P x y ,由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩,即0012
x x
y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩,
又2
2
0014x y +=,代入得221()142
x y +=,即224x y +=. 即动点C 的轨迹E 的方程为22
4x y += (3)设(,)C m n ,点R 的坐标为(2,)t , ∵,,A C R 三点共线,∴//AC AR ,
而(2,)AC m n =+,(4,)AR t =,则4(2)n t m =+, ∴42
n
t m =
+, ∴点R 的坐标为4(2,
)2n m +,点D 的坐标为2(2,)2
n
m +, ∴直线CD 的斜率为222(2)22244
n
n m n n mn m k m m m -
+-+=
==---, 而224m n +=,∴22
4m n -=-,
∴2
mn m
k n n
=
=--, ∴直线CD 的方程为()m
y n x m n
-=-
-,化简得40mx ny +-=, ∴圆心O 到直线CD 的距离
2d r ==
==, 所以直线CD 与圆O 相切
20．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,
若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.
(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.
【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N , ∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =-
由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴2
2
2
(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故2
2
3412x y +=,即22
143
x y +=, ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;
评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-
由22341220
x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得22
42120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(1642
2
=--m m ,故2
16m =,解得4m =±.
当4m =时,直线
1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离5d =
=.
当4m =-时,直线
1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d =
=
<,故曲线C 上的点Q 到直线l
当4m =-时,方程(*)化为2
4840x x -+=,即2
(1)0x -=,解得1x =.
由1240y +-=,得32y =,故3
(1,)2
Q . ∴曲线C 上的点3
(1,
)2
Q 到直线l 的距离最小 21．（广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、
坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点M 的坐标是(0,1),线段MN 是曲线1C 的短轴,并且是曲线2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与曲线1C 交于A,D 两点(A 在D 的左侧),与曲线2C 交于B,C 两点(B 在
C 的左侧).
(1)当m
5
4
时,求椭圆12,C C 的方程; (2)若OC AN ⊥,求m 的值.
【答案】解:(1)解:设曲线C 1的方程为2221x y a +=,C 2的方程为22
21x y b +=(1,01a b ><<)
∵C 1 ,C 2的离心率相同,∴22
2
11a b a -=-,∴1ab =, 3,2
m =
∴令y =,则2
2311,.42A
x x a a +=∴=- 2
231
1,42
C x x b b +
=∴=. ∴当
m 时
,A (2a -
,C 1(2a 又∵54AC =,115224b a ∴+=.由521a b ab ⎧
+=⎪⎨⎪=⎩
,且1,01a b ><<,解得212a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴C 1 ,C 2的方程分别为2
214
x y +=,2241x y +=
(2)令m y =代入曲线方程,2221x y a +=,得,12m a x A --= 2
221x y b +=,得21m b x C -=
由于1=ab ,所以
A (-,m),
C ,m)
22．（广东省惠州市2013届高三10月第二次调研考试数学（理）试题）已知直线10x y +-=与椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点,M 是线段AB 上的一点,AM BM =-,且点M 在直线1
:2
l y x =
上. (1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆2
2
1x y +=上,求椭圆的方程. 【答案】解:设A 、B 两点的坐标分别为11(,)A x y ,22(,)B x y
(1)由AM BM =-知M 是AB 的中点,
由2222101
x y x y a
b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得:2222222()20a b x a x a a b +-+-= 212222a x x a b +=+,2
121222
2()2b y y x x a b +=-++=+ M ∴点的坐标为22
2222(,)a b a b a b ++
又M 点在直线上:22
2
222
20a b a b a b ∴-=++ 222222()a b a c ∴==- 222a c ∴=
2c e a ∴=
=
(2)由(1)知b c =,不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b , 设(,0)F b 关于直线 1
:2
l y x =
的对称点为00(,)x y ,
则有000001122022
y x b x b y -⎧=-⎪-⎪⎨+⎪-⨯=⎪⎩解得:003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
由已知22001x y +=, 2234()()155
b b +=, 2
1b ∴=
所求的椭圆的方程为2
212x y +=
23．（2012年广东理）20.在平面直角坐标系
xOy 中,已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率e =
且椭圆C 上的
点到(0,2)Q 的距离的最大值为3; (1)求椭圆C 的方程;
(2)在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆2
2
:1O x y +=相交于不同的 两点,
A B ,且AOB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及相对应的AOB ∆
的面积; 若不存在,请说明理由.
【答案】【解析】(1)设c 由2223c e c a a =
=⇒=,所以222213
b a
c a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y a
b +=,
所以22222
2(1)3y x a a y b
=-=-
||PQ ==
=
当1b ≥
时,当1y =-时,||
PQ 3=,
可得a =
所以1,b c ==当1b <时,3PQ <
= 不合题意
故椭圆C 的方程为:2
213
x y += (2)AOB ∆中,1OA OB ==,11sin 22AOB S OA OB AOB ∆=
⨯⨯⨯∠≤ 当且仅当90AOB
︒
∠=时,AOB S ∆有最大值
12
,
90AOB ︒∠=
时,点O
到直线AB 的距离为2
d =
22222d m n =
⇔=⇔+=
又222
231
33,22
m n m n +=⇒=
=,
此时点(2M ± 24．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A 、
()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为3
4
-.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程;
(2)过点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值
范围.
【答案】(1)依题意,有3224
PA PB y y k k x x ⋅=
⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22
143
x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------
(2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有 22
22
()()143
()()14
3x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩, 两式相减,得
4430
01
4342
EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=
-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1
m k
=
),则 22
22
2(68)211806830
x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即
1
8k
≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. ---------------------------
25．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>
,
. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l 的距离为3
2
,求AOB △面积的最大值.
【答案】
(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.
26．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)
是椭圆C:
2
2
2
y
x
=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.
(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;
(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由椭圆得:2
2(1)y x =-,'y =122
2(22)x x ---
切线的斜率为02
22x -,所以,直线l 1的方程为:20000
22)x y y x x --=
-,
与y 轴交点纵坐标为2
022x -2
022x -2
022x -
因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,2
00222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时
l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:2
0y ≤≤
,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:2222
y -
≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)
由(1)得点P 的坐标(22
0000
222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1
所以存在点T(0,1)满足条件.
27．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐
标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()
20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线
22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .
(1) 求椭圆1C 的方程;
(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点
P 的坐标); 若不存在,说明理由.
【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)
(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>,
依题意: 222222231,4.
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
解得: 2
2
16,
12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为
22
11612
x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>,
根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ∵2c =, ∴22212b a c =-=
∴ 椭圆1C 的方程为
2211612
x y += (2)解法1:设点)41,
(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(4
1,(212212x x x x BC --=, )4
13,2(2
11x x BA -
-=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()
()()22
2211211
113244
x x x x x x ⎛⎫--
=-- ⎪⎝⎭,
化简得:12122
12x x x x ()+-=. ① 由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-
,即2114
1
2x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 2
224
12x x x y -=
. ③
设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 2
224
12x x x -, 而21x x ≠,则 )(2
1
21x x x += 代入②得 214
1
x x y =
, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点
∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2
11
1x x x y y -=
-, 即211121
2x y x x y -+=
∵2
114
1x y =
, ∴112y x x y -= .
∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101
02
y x x y -=
. ① 同理, 202
02
y x x y -=
. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x
y -=002
∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x x
y -=
002
, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y
若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点
∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个
解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()
23y k x =-+,
由()2234y k x x y ,,
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=
设()()
1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=
-,即21112
1
2x y x x y -+= ∵2
114
1x y =
, ∴211124x y x x =-.
同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为2
22124
x y x x =
- 由2
1
1222124124
x y x x x y x x ,,
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
∴()
223P k k ,-
∵1212PF PF AF AF +=+,
∴点P 在椭圆22
111612
x y C :
+=上 ∴
()()2
2
223116
12
k k -+
=.
化简得2
71230k k --=.(*)
由()
2124732280Δ=-⨯⨯-=>,
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个 28．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知中心在原点O ,焦点在x 轴上,
的椭圆过点
). (1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O 的直线与该椭圆交于P 、Q 两点,满足直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的取值范围.
【答案】解:(1)由题意可设椭圆方程为22
221x y a b
+=(0)a b >>,
则22211
2c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, , 解的21a b =⎧⎨=⎩,
所以,椭圆方程为2214
x y +=
(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,
故可设直线的方程为(0)y kx m m =+≠,1,12,2(),()P x y Q x y ,
由22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得222
(14)84(1)0k x kmx m +++-=, 则22
22
2
2
2
6416(14)(1)16(41)0k b k b b k m ∆=-+-=-+>,
且122814km x x k -+=+,2122
41
14m x x k -=+
故2
2
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,
所以,2221121222112()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==,即222
2
8014k m m k
-+=+, 又0m ≠,所以2
14k =
,即1
2
k =± 由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且△>0,得2
02m <<且2
1m ≠. 设d 为点O 到直线的距离,
则1211
22
OPQ S d PQ m x x ∆=⋅=⋅-=, 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)
29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动
点P
到两点(0)
,0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.
(1)求曲线C 的轨迹方程;
(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.
【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C
是以(0)
,0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.
故曲线C 的方程为2
214
x y += (Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值
因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).
则22
1,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
整理得 2
2
(4)230m y my +--= 由2
2
(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.
解得
1y =
2y =.
则
21||y y -=
因为1212
AOB S OE y y ∆=⋅-
= 设1
()g t t t
=+
,t =
t ≥.
则()g t
在区间)+∞上为增函数.
所以()g t ≥
.
所以AOB S ∆≤
当且仅当0m =时取等号,
即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆
30．（广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学（理）试题）已知点P 是圆16)1(2
2=++y x 上的动
点,圆心为B ,)0,1(A 是圆内的定点;PA 的中垂线交BP 于点Q .
(1)求点Q 的轨迹C 的方程;
(2)若直线l 交轨迹C 于N M ,MN (与x 轴、y 轴都不平行)两点,G 为MN 的中点,求OG MN k k ⋅的值(O 为坐标系原点).
【答案】(1)解:由条件知:QP QA =
4=+QP QB 4=+∴QA QB
42<=AB
所以点Q 的轨迹是以A B ,为焦点的椭圆
322,422=∴==b c a
所以点Q 的轨迹C 的方程是13
42
2=+y x (2)解:设),)(,(),,(21212211y y x x y x N y x M ≠≠,则)2
,2(
2
121y y x x G ++ 13
4,1342
2222121=+=+∴y x y x
0)(3
1)(4122212221=-+-∴y y x x 4
3
2
2212221-=--∴x x y y 2
12
12121,x x y y k x x y y k OG MN ++=--=
4
3
2
2212
221-=--=⨯∴x x y y k k OG
MN 或解:设),)(,(),,(21212211y y x x y x N y x M ≠≠,直线MN 的方程为)0(≠+=k b kx y 则)2
,2(
2121y y x x G ++ b x x k y y b kx y b kx y 2)(,,21212211++=+∴+=+=
2
121212x x b
k x x y y k OG ++=++=
∴
将b kx y +=代入椭圆方程得:01248)34(2
2
2
=-+++b kbx x k
3
48221+-=+∴k kb
x x
k k k k k kb b k k OG
43
4343
48222-=+-=+-+=∴
所以4
3)43(-=-
⋅=⋅k k k k OG MN
31．（广东省惠州市2013届高三第三次（1月）调研考试数学（理）试题）设椭圆22
2:12
x y M a +
=(a >的右焦点为1F ,直线2
:2
2-=a a x l 与x 轴交于点A ,若112OF F A =(其中O 为坐标原点).
(1)求椭圆M 的方程;
(2)设P 是椭圆M 上的任意一点,EF 为圆()12:2
2
=-+y x N 的任意一条直径(E 、F 为直径的两
个端点),求PF PE ⋅的最大值. 【答案】解:(1)由题设知
,20)A
,)
1
0F ,
由112OF AF +=0,得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-222222
22
a a a a , 解得62
=a .
所以椭圆M 的方程为12
6:2
2=+y x M (2)方法1:设圆()12:2
2
=-+y x N 的圆心为N ,
则()()
NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅ ()()
NF NP NF NP =--⋅-
222
1NP NF NP =-=-
从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2
NP 的最大值 因为P 是椭圆M 上的任意一点,设()00P x y ，,
所以12
62
020=+y x ,即2
02036y x -=
因为点()2,0N ,所以()()121222
02
02
02
++-=-+=y y x NP
因为0y ⎡∈⎣,所以当10-=y 时,2
NP 取得最大值12
所以PF PE ⋅的最大值为11
方法2:设点112200()(),()E x y F x y P x y ，
，，，, 因为,E F 的中点坐标为(0,2),所以2121,
4.
x x y y =-⎧⎨
=-⎩
所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--
10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---
222201011044x x y y y y =-+-+- 22220001114(4)x y y x y y =+--+-
因为点E 在圆N 上,所以2211(2)1x y +-=,即22
11143x y y +-=-
因为点P 在椭圆M 上,所以2200162
x y +=,即22
0063x y =-
所以PE PF ⋅200249y y =--+2
02(1)11y =-++.12分
因为0[y ∈,所以当01y =-时,()
min
11PE PF
⋅=
方法3:①若直线EF 的斜率存在,设EF 的方程为2y kx =+,
由⎩⎨⎧=-++=1
)2(222y x kx y ,解得11
2
+±=k x . 因为P 是椭圆M 上的任一点,设点()00P x y ，,
所以12
62
020=+y x ,即2
02036y x -=
所以002PE x y ⎛⎫=-⎪⎭
,00,2PF x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
所以11)1(21)2(1
)2(11202020222
022
++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x PF PE .
因为0y ⎡∈⎣,所以当10-=y 时,PF PE ⋅取得最大值11
②若直线EF 的斜率不存在,此时EF 的方程为0x =,由22
(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩
,解得1y =或3y =. 不妨设,()03E ，,()01F ，
因为P 是椭圆M 上的任一点,设点()00P x y ，,
所以12
62
020=+y x ,即2
02036y x -=.
所以()003PE x y =--，,()001PF x y =--，. 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++.
因为0y ⎡∈⎣,所以当10-=y 时,PF PE ⋅取得最大值11
综上可知,PF PE ⋅的最大值为11
32．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、
)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222
>=+a y a
x C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅最小
值为0.
(1)求椭圆C 的方程;。