2020年吉林省长春市市第二十九中学高一数学理期末试卷含解析

2020年吉林省长春市市第二十九中学高一数学理期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知点P（）在第三象限，则角在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
B
解：因为点在第三象限，因此，选B 2. （5分）三个数a=sin1，b=sin2，c=ln0.2之间的大小关系是（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b
参考答案：
B
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用三角函数与对数函数的单调性即可得出．
解答：∵0＜a=sin1＜sin（π﹣2）=sin2=b，
∴0＜a＜b．
又c=ln0.2＜0，
∴c＜a＜b．
故选：B．
点评：本题考查了三角函数与对数函数的单调性，属于基础题．
3. 化简的结果为
A．－1 B．1 C．－3 D．3
参考答案：
B
因为3弧度的角是第二象限角，故，
所以原式，故选B.
4. （4分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是（）
A．4πB．πC．3πD．π
参考答案：
A
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离；球．
分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可得SA⊥AC，SB⊥BC，则SC的中点为球心，由勾股定理解得SC，再由球的表面积公式计算即可得到．
解答：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=，AB⊥BC且AB=BC=1，
∴AC==，
∴SA⊥AC，SB⊥BC，
SC===2，
∴球O的半径R=SC=1，
∴球O的表面积S=4πR2=4π．
故选A．
点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径，是解题的关键．
5. 在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）
A． cm B． cm C． cm D． cm
参考答案：
B
【考点】弧长公式．
【专题】三角函数的求值．
【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．
【解答】解： =（弧度）．
∴36°的圆心角所对的弧长==cm．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．
6. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A B C D
参考答案：
B
略
7. 已知函数，则下列区间是递减区间的是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
8. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且
，则下列结论中错误的是
A.
B.
C. 三棱锥的体积为定值
D.
参考答案：
D
9. 已知0<a <1,b <–1,函数f(x)=a x +b的图象不经过:（）
A.第一象限;
B.第二象限;
C.第三象
限; D.第四象限
参考答案：
A
10. 已知[1,3]是函数y＝－x2＋4ax的单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，m的最小值为：，则m，n之间的大小关系为．
参考答案：
4, m＞n.
【考点】7F：基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质、指数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵，
∴m=a﹣2++2≥2+2=4，当且仅当a=4时取等号．
∵，∴n＜22=4．
故答案为：4，m＞n．
12. 在数列{a n}中，，则a n= .
参考答案：
【详解】因为,
,
.
13. 圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是．
参考答案：
2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据题意可知，当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离．
【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，
所以圆心A（1，1），圆的半径r=，
则圆心A到直线x+y﹣8=0的距离d==3，
所以动点Q到直线距离的最小值为3﹣=2．
故答案为：2．
【点评】此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置．
14. 已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m?α，n?α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．
参考答案：
①④
15. （5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．
参考答案：
π
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．
解答：∵函数表达式为y=3sin（2x+），
∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π
故答案为：π
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin
（ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题．
16. 已知sinα=，α∈（，π），则sin2α的值为．
参考答案：
【考点】GS：二倍角的正弦．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），
∴cosα=﹣=﹣，
∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=．
故答案为：．
17. 已知P1，P2分别为直线l1：x+3y﹣9=0和l2：x+3y+1=0上的动点，则|P1P2|的最小值是．
参考答案：
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】|P1P2|的最小值是两条平行线间的距离，即可得出结论．
【解答】解：|P1P2|的最小值是两条平行线间的距离，即d==，
故答案为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题10分）已知函数
(l)求的周期和单调递增区间：
(2)说明的图象可由的图象经过怎样变化得到
参考答案：
19. 若，解关于x的不等式.
参考答案：
当0<a<1时，原不等式的解集为，当a<0时，原不等式的解集为
；当a=0时，原不等式的解集为?.
试题分析：（1），利用，可得，分三种情况对讨论的范围：0<a<1，a<0，a=0，分别求得相应情况下的解集即可.
试题解析：不等式>1可化为>0.
因为a<1，所以a-1<0，故原不等式可化为<0. 故当0<a<1时，原不等式的解集为
，当
a<0时，原不等式的解集为
，
当a=0时，原不等式的解集为?.
20. （本小题满分12分）已知函数的最小正周期
为，最小值为－2，图象过（，0），求该函数的解析式。

参考答案：
，
又，
所以函数解析式可写为
又因为函数图像过点（，0），所以有：
解得
所以，函数解析式为：
21. 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．
（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
参考答案：
【考点】解三角形的实际应用；函数的值域；二次函数的性质．
【分析】（1）当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN 边上的高为0.5米，从而可求MN的长，由三角形面积公式求面积
（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，由三角形面积公式建立面积模型．当
MN在半圆形区域内滑动，即时，由三角形面积公式建立面积模型．
（3）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以
，即三角通风窗EMN的通风面积为
（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积
；
当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积
综上可得；
（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间上单调递减，则f（x）＜f（0）=；
当MN在半圆形区域内滑动，
等号成立时，
因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．
22. 如图，在直角梯形中，，，当分别在线段
上,,，现将梯形沿折叠，使平面
与平面垂直。

（1）判断直线与是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线与平面所成角正切值为多少时，二面角的大小是?
参考答案：
（1）略（2）正切值：。