四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学(理)试题 (1)

四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月
考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设U A B =⋃，{1,2,3,4,5}A =，{B =10以内的素数}，则
()U A B =（ ） A ．{2,4,7}
B ．φ
C ．{4,7}
D ．{1,4,7} 2．已知a 是实数，
1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ） A
．
B ．1- C
D ．1 3．
已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足98713282,221a a a a a a =+=++，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）
A ．12n -
B ．13n -+
C ．13n -
D ．12n -+
5．若实数,x y 满足约束条件322020y x x y y ⎧⎪+-≤⎨⎪+⎩
，则3z x y =+的最小值是（ ）
A ．6-
B ．4-
C ．127
D ．14
6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象
大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )
A ．41π
B ．42π
C ．43π
D ．44π
8．已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 9．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6π
个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）
A ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称
B ．在22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-,上单调递增 C ．关于直线3x π
=对称 D ．在6x π
=处取最大值
10．已知a 、b 、c 是在同一平面内的单位向量，若a 与b 的夹角为60，则
()()2a b a c -⋅-的最大值是（ ）
A ．12
B ．2-
C ．2
D ．52
11．已知椭圆C ：22
213
x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足OF FP =，则C 的方程为（ ）
A ．22
1123x y += B ．22183x y += C ．22163x y += D ．22143
x y += 12．意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即21n n n
a a a ++=+
()
n+
∈N故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”
，其通项公式为
11
22
n n
n
a
⎡⎤
⎛⎛⎫
+
⎢⎥
=-
⎪
⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
（设n
是不等式(1x
+
-
(1211
x
x
->+的正整数解，则n的最小值为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题
13．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，﹣1）在角α的终边上，则sin2α＝_____．
14．已知
3
cos
125
π
α⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，则
2
sin2
3
π
α
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
________
15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点()
,2
P m m(0)
m≠，则双曲线的离心率为______.
16．已知三校锥P ABC
-的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，ABC
∆是边长为2的正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CP的中点，且
3
cos
4
DFE
∠=，则球O的表面积为_________.
三、解答题
17．在ABC
∆中，已知内角,,
A B C所对的边分别为,,
a b c，向量(3,2sin)
m B
=-，向量(cos,cos2)
n B B
=，且//
m n，角B为锐角.
（1）求角B的大小；
（2）若2
b=，求ABC
∆面积的最大值.
18．如图，三棱柱111
ABC A B C
-中，底面ABC为等边三角形，E，F分别为AB，
1
AA 的中点，1
CE FB
⊥
，
11
AB==.
（1）证明：EF ⊥平面1CEB ；
（2）求直线EF 与平面1CFB 所成角的大小.
19．当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如表：
（1）是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？
（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率的估计值．
（i ）现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（ii ）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？
附：K 2()()()()
2()n ad bc a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a +b +c +d ．
20．已知曲线E 上的点到(10)F ，
的距离比它到直线:4l x =-的距离少3. （1）求曲线E 的方程；
（2）过点F 且斜率为k 的直线0l 交曲线E 于P ，Q 两点，交圆22:(1)1F x y -+=于
A ，
B 两点，P ，A 在x 轴上方，
过点P ，Q 分别作曲线E 的切线1l ，2l ，12l l M ⋂=，求PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围.
21．已知函数()()x
f x ae ex a a e =--<，其中e 为自然对数的底数.
（1）若函数()f x 的极小值为1-，求a 的值；
（2）若1a =，证明：当0x ≥时，()()2ln 10f x x x x +-+≥成立.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为cos 1sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（α为参数），以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）设射线l 的极坐标方程为23
πθ=，若射线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长； （2）设M ，N 是曲线C 上的两点，若∠MON 2π=
，求OMN 的面积的最大值．
23．已知函数()|1||3|f x x x =-++.
（1）解不等式：()6f x ≤； （2）若a ，b ，c 均为正数，且()min a b c f x ++=，证明：
()()()
222491113
a b c +++++≥.
参考答案
1．D
【分析】
根据集合的交集和补集运算得到结果即可.
【详解】
{}2,3,5,7B =，{}2,3,5A B ⋂=，
{}1,2,3,4,5,7A B ⋃==
由补集运算得到结果为：
(){}1,4,7U A B ⋂=. 故选D.
【点睛】
这个题目考查了集合的交集运算和补集运算，较为简单.
2．D
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112
a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩
，据此可知1a =. 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．A
【分析】
由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解.
【详解】
由对数函数的单调性可知
21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，
由正切函数的性质得112tan
tan 033
c ππ===<， 故01c b a <<<<.
故选：A.
本题考查了利用对数函数单调性比较大小，考查了正切函数的性质，属于基础题. 4．D
【分析】
由98782a a a =+求出公比，再由132221a a a =++求出首项1a ，从而可得通项公式．
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
0q >，
98782a a a =+，
28210q q ∴--=， 解得12q =或14
-（舍）. 132221a a a =++， 且213111,24
a a a a ==， 111112122a a a +∴=
+， 解得11a =；
故数列{}n a 是首项11a =， 公比12
q =的等比数列， 1
12n n a -∴=， 即12n n a -+=.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式，解题方法是基本量法，即求出数列的首项和公比，然后由等比数列的通项公式求解．属于较易题.
5．B
作出可行域，平移目标函数对应的直线可得最优解．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，
由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，
直线3y x z =-+在y 轴上的截距最小，此时z 最小，
由320y x y =⎧⎨+=⎩解得232
x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即2,23A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，min 23243z ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，通过平移目标函数对应的直线得出最优解．
6．A
【分析】
先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.
【详解】
()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥
因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，
()()00f x f ''<=；
故选：
A
本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．A
【分析】
由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.
【详解】
由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，
即为122
=，
∴该球形容器体积的最小值为：42π⨯=41π. 故选：A.
【点睛】
本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.
8．D
【分析】
若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】
若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形； 若2A π
=，则sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;
所以“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D .
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.
9．A
由最小正周期为π得出2ω=，由()f x 的图象向右平移6
π个单位后得到函数为奇函数得出3π
ϕ=，进而得出()2sin(2)3f x x π
=+，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进
行判断即可得出答案.
【详解】
解：函数()f x 的最小正周期为π，可得2ω=，
()f x 向右平移6
π个单位后得到的函数为 2sin 2()2sin(2)63y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
， 因为此函数为奇函数，又2πϕ<，所以3πϕ=. 故函数()2sin(2)3
f x x π
=+， 对于选项A ：2()sin()0,333
f A πππ=+=∴正确； 对于选项B ：当24(),2(,)22333
-
,x x πππππ∈+∈-， ()f x 不具有单调性， 故B 错；
对于选项C ：2,,32x k k Z π
π
π+=+∈,122
k x k Z π
π=+∈，故C 错；
对于选项D ：2()2sin 63
f π
π==，故D 错. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.
10．D
【分析】 计算出a b -的值，设向量a b -与c 的夹角为θ，利用平面向量数量积运算律和定义可求得()()2a b a c -⋅-的最大值.
单位向量a 与b 的夹角为60，则1cos 602a b a b ⋅=⋅=
， 2221212112a b a a b b -=-⋅+=-⨯+=，则1a b -=， 所以，
(
)()()
211152212cos 2cos 22222a b a c a a b a b c a b c θθ-⋅-=-⋅--⋅=---⋅=-≤+=. 故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量数量积最值的计算，考查平面向量数量积的定义和运算律的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．D
【分析】
根据对称性知P 在x 轴上，2a c =，计算得到答案.
【详解】
根据对称性知P 在x 轴上，OF FP =，故2a c =，223=+a c ，解得2a =，1c =，
故椭圆方程为：22
143
x y +=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，意在考查学生的计算能力，确定P 在x 轴上是解题的关键. 12．C
【分析】
根据题意，n 是不等式((
11211x x
x ⎡⎤+->+⎢⎥⎣⎦的正整数解，化简得11
n a >11225n a >，根据数列{}n a 的单调性，求出11
225n a >成立的n 的最小值，即可求出答案.
解析：∵n
是不等式(
(
11211
x x
x
⎡⎤
->+
⎢⎥
⎣⎦
的正整数解，
∴(
(
11211
n n
n
⎡⎤
-->+
⎢⎥
⎣⎦
，
∴(
(
11211
n n
n
⎡⎤
--->
⎢⎥
⎣⎦
，
∴(
(
2
1111
n n n
⎡⎤
+-->
⎢⎥
⎣⎦
，
即(
(
11211
n n
n
⎡⎤
+-->
⎢⎥
⎣⎦
∴
(
(
11
11
n n
⎡⎤
-
⎢⎥
>，
∴
11
11
22
n n
⎡⎤
⎛⎛⎫
⎢⎥
->
⎪
⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
，
∴
11
n n
->
⎝⎭⎝⎭
，
11
n n
⎡⎤
⎥
->
⎥
⎝⎭⎝⎭⎦
，
令
11
22
n n
n
a
⎡⎤
⎛⎛
⎢⎥
=-
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
，则数列{}n
a即为斐波那契数列，
11
n
a
∴>，即
11
2
2
5
n
a>，
显然数列{}n a为递增数列，所以数列{}2n a亦为递增数列，
不难知道713
a=，
8
21
a=，且
11
2
7
2
5
a<，
11
2
8
2
5
a>，
∴使得
11
2
2
5
n
a>成立的n的最小值为8，
∴使得((
11211x x x ⎡⎤+->+⎢⎥⎣⎦成立的n 的最小值为8. 故选：C .
【点睛】 本题考查数列的新定义，以及利用数列的单调性求最值，还根据对数运算化简不等式，考查转化思想和化简运算能力.
13．45
- 【分析】
由已知结合三角形函数的定义可求sin α，cos α然后结合二倍角的正弦公式即可求解．
【详解】 解：由题意可得，sin
α=，cos α=， 所以sin2α＝2sin αcos α42
5⎛
=⨯=- ⎝． 故答案为：45
-
【点睛】 本题考查三角函数中的倍角公式，属于简单题
14．725
- 【分析】 根据二倍角的余弦公式求出7cos(2)625
πα+
=-，再根据诱导公式可得结果. 【详解】 因为3cos 125πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以297cos(2)2cos ()1216122525ππαα+=+-=⨯-=-， 所以2sin 23πα⎛⎫+
= ⎪⎝⎭sin(2)62ππα++7cos(2)625πα=+=-. 故答案为725
-
. 【点睛】
本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
15 【分析】 分为焦点在x 轴和y 轴两种情况进行讨论，设出双曲线方程，求出渐近线方程，由渐近线经过点(),2P m m ，求出a 和b 的关系，再利用222c a b =+及c e a
=
即可得解. 【详解】 当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>， 渐近线方程为b y x a
=±， 由渐近线经过点(),2P m m (0)m ≠，得2b m m a =
，解得2b a =， 所以224b a =，22222245c a b a a a =+=+=，
双曲线的离心率c e a
==； 当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b
-=>>， 渐近线方程为a y x b
=±， 由渐近线经过点(),2P m m (0)m ≠，得2a m m b =，解得12b a =， 所以2214b a =，2222221544
c a b a a a =+=+=，
双曲线的离心率2
c e a ==.
.
. 【点睛】 本题考查的是双曲线的渐近线及离心率的求解，属于基础题.求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程.
16．283
π 【分析】
根据已知条件，作图建立直角坐标系，利用3cos 4
DFE ∠=求出PA ，然后根据垂面模型构建出直角三角形求出外接球的半径R ，然后即可求解
【详解】
如图，根据题意，以A 为原点，CB 为x 轴方向，AE 为y 轴方向，AP 为z 轴方向，建立空间直角坐标系，设2PA a =，由2AB BC AC ===，可得
(0,0,0)A ，B ，(C -，(0,0,2)P a ，因为D 、E 、F 分别是AB 、BC 、
CP 的中点，得1(2D ，E ，1()2F a -，可得
1DE =，DF =EF =，
2223cos 42DF EF DE DFE DF EF +-∠==⋅⋅2222122
a a +-=+，解得1a =， 解得2PA =，根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心O 和ABC ∆的外接圆圆心H ，且必有1=12
OH PA =，且HC 为ABC ∆的外接圆的半径，因为ABC ∆是边长为2的正三
角形，且122sin 603HC ︒=
⋅=，设外接球半径OC R =，则在Rt OHC ∆中，根据勾
股定理，得222247133R OC OH HC ==+=+
=，则可求得273R =，则球O 的表面积为22843
R ππ= 答案：283
π 【点睛】
本题考查空间直角坐标系的运用，以及锥体垂面模型的应用，属于中档题
17．（1）3B π=
；（2. 【分析】
（1）由//m n 2sin cos B=B B -，再化简得到角B 的大小；
（2）先利用余弦定理得到2240a c ac +--=，利用重要不等式可以整理得出4ac ≤，之后应用三角形的面积公式求得最大值，注意等号成立的条件；也可以应用正弦定理，将边用角表示，之后将面积转化为关于A 的正弦型函数，求函数最值即可.
【详解】
（1）解法一：由//m n 2sin cos B=B B -，
即sin 22B B =
所以tan 2B = B 为锐角，2(0,)B π∴∈，
223B π∴=
， 即3
B π
=
解法二：由//m n 2sin cos B=B B -，
即sin 22B B =
所以sin 20B=即2sin 203B+=π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 23B+=k ππ∴，即62
k B=+ππ- B 为锐角，
所以3B π
=.
（2）解法一：,23B b π
==，∴由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=， 得2240a c ac +--=
又222a c ac +≥代入上式得4ac ≤， 当且仅当2a c ==时取等号成立.
11
sin 2224
ABC S ac B ac ∴==⨯=≤△，
故ABC 解法二：,2
3B b π
==，∴由正弦定理2sin b R B =，得2R =所以2
a R sinA =⋅=，- 22sin
3c R C C A π⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭-
由12sin 233S ac B sinA sin A π⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎝⎭△
26sin A π⎛⎫- ⎪⎝⎭
因为72666A ππ
π-<-<，则当262A =ππ-即=3A π时，
max 33
S =+=△
故ABC 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．（1）证明见解析；（2）
4
π. 【分析】 （1）通过计算可得1EF EB ⊥，通过证明CE ⊥平面11ABB A ，可得CE EF ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可得EF ⊥平面1CEB ；
（2）先说明直线EB ，CE ，EM 两两垂直，再以EB ，EC ，EM 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，以点E 为原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量可求得结果.
【详解】
（1）证明：设12AA a =，∵11AB ==，
则AB =，1EB =，12BB a =，
∵点E 为棱AB 的中点，∴EB =
， ∴22211EB EB BB =+，∴1EB BB ⊥.
∵三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为平行四边形，
∴四边形11ABB A 为矩形，
∵点F 为棱1AA 的中点，
∴2222
11119FB A F A B a =+=，22223FE AF AE a =+=，
∴22211FB EF EB =+，∴1EF EB ⊥. ∵三棱柱的底面ABC 是正三角形，E 为AB 的中点，
∴CE AB ⊥.
∵1CE FB ⊥，且AB 平面11ABB A ，1FB ⊂平面11ABB A ，且AB ，1FB 相交， ∴CE ⊥平面11ABB A ，∵EF ⊂平面11ABB A ，∴CE EF ⊥，
∵1EC EB E =，∴EF ⊥平面1CEB .
（2）由（1）可知CE ⊥平面11ABB A ，∴1CE BB ⊥，∴1BB ⊥平面ABC ，
∴三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，
设11A B 的中点为M ，则直线EB ，CE ，EM 两两垂直，
分别以EB ，EC ，EM 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，以点E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设(0,0,0)E
，,0)C
，(,0,)F a
，1,0,2)B a ，
则(,0,)EF a =
，(2,)
FC a =-，1,0,)FB a =.
设平面1CFB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n FC n FB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩
，则000
az y az +-=
+⨯+=⎪
⎩，
则00
z z -=+=⎪
⎩，
不妨取1x =
，则y =
z =-(1,3,n =--，
设直线EF 与平面1CFB 所成角为θ
，
则|||2sin 23||EF n a a EF n θ⋅-===‖， 因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣
⎦，所以4πθ= 则直线EF 与平面1CFB 所成角的大小为
4π. 【点睛】
本题考查了线面垂直的性质与判定，考查了直线与平面所成角的向量求法，属于中档题. 19．（1）有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i ）分布列详见解析，数学期
望为3.9；（ii ）5人． 【分析】
（1）根据K 2的表达式代入计算即可判断； （2）（i ）由题知借阅科技类图书的概率P 3
10
=
，若这3人增加的积分总和为随机变量ξ，分别计算出P （ξ＝3），P （ξ＝4），P （ξ＝5），P （ξ＝6），即可得到分布列及期望； （ii ）根据题意得随机变量X 满足X ～B （16，3
10
）的二项分布，列出不等式组，解出即可 【详解】
解：（1）K 22
100(20451025)16900
307045552079
⨯-⨯==≈⨯⨯⨯8.129＞6.635，
所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；
（2）（i ）因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率P
303
10010
=
=， 因为3名借阅者每人借阅一本图书，这3人增加的积分总和为随机变量ξ， 所以随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，
P （ξ＝3）0
03337343(
)()10101000
C == P （ξ＝4）112
337441()()10101000
C ==
P （ξ＝5）221
337189()()10101000
C ==
P （ξ＝6）330
33727()()10101000
C ==，
从而ξ的分布列为：
所以E （ξ）＝31000⨯
+41000⨯+51000⨯+61000
⨯=3.9； （ii ）记16人中借阅科技类图书的人数为X ，则随机变量X 满足二项分布X ～B （16，3
10
） 设借阅科技类图书最有可能的人数时k （k ＝0，1，2， (16)
则()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩
， 而16111716163737(
)()()()10101010k
k k k k k C C ----≥，16111516163737()()()()10101010
k k k k k k
C C -++-≥， 解得4.1≤k ≤5.1， 故k ＝5，
所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人 【点睛】
本题考查独立性检验，离散型随机变量及其分布列，二项分布的性质的应用，属于中档题.
20．（1）2
4y x =；（2）(1,)+∞.
【分析】
（1）利用抛物线的定义即可求解；
（2）设出0l 方程，P ，
Q 点到坐标，0l 与2:4E y x =联立，根据韦达定理求出12y y +和12y y ，再利用导数及点斜式方程，求出1l ，2l 的方程，联立求出M 点坐标，借助点到直线距离、抛物线定义及三角形面积的求法，即可得解. 【详解】
（1）因为曲线E 上的点到(10)F ，
的距离比它到直线:4l x =-的距离少3， 所以曲线E 上的点到(10)F ，
的距离和它到直线:1l x =-的距离相等， 故曲线E 是(10)F ，
为焦点，:1l x =-为准线的抛物线， 故2
:4E y x =.
（2）由题设知：0k ≠，则0:(1)l y k x =-，
设11()P x y ，
，22()Q x y ， P ，A 在x 轴上方，∴1>0x ，20x >，10y >，20y <，
0l 与2:4E y x =联立，得24
40y y k
-
-=，
则216160k ∆=+>，12
1244
y y k y y ⎧
+=⎪⎨⎪=-⎩，
由2
:4E y x =，得0y >
时，y =
y '=
0y <
时，y =-
y '=
112x x y y ='=
=
，22
2
x x y y ='==， 故211112:()4y l y y x y -=-，2
22222
:()4
y l y y x y -=
-， 1l ，2l 联立消y ，得22
12121222()()44y y x y x y y y -+=-+，解得1214y y
x ==-，
将1x =-代入1l ，2l 方程，21112(1)4y y y y -=--，2
2222
(1)4y y y y -=--， 两式相加得2212121222
2(1)(1)44
y y y y y y y --=--+--，解得 12121244
2444y y y y k k y y y k ++=-+=-+=-，
∴2(1,)M k
-，
2(1,)M k -到0:0l kx y k --=
的距离||
d k =，
2
11||||14
y PA PF x =-==， 22
2||||14
y QB QF x =-==， 11
||||22
PAM QBM S S PA d QB d ∆∆⋅=
⋅
2
2
2222
122
1111
||||()(4)
46464||
k
PA QB d y y d
k k
⎛+
=⋅⋅==-=
⎪
⎝⎭
2
1
11
k
=+>，
∴PAM
∆与QBM
∆的面积的积的取值范围是(1,)
+∞.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系及直线与抛物线的位置关系，其中涉及到利用导数求切线方程及点到直线距离，熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离是本题的解题关键，难度较大.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系.
21．（1）1
a=（2）见解析
【分析】
（1）求出函数的导数，分0
a≤和0a e
<<两种情况讨论，当0a e
<<时可得到
ln10
e a a
-+=，令()()
ln10
m x e x x x e
=-+<<，根据函数的单调性求出a的值即可；（2）要证原不等式即证()()
21ln1
x
e e x x x
+--≥+，然后利用导数分别证明不等式()()
2
210
x
e e x x x
+--≥≥和()
ln1
x x
≥+即可.
【详解】
（1）函数()
f x的定义域是R，()x
f x ae e
'=-
a≤时，()0
f x
'<对x∈R恒成立，
∴()
f x在R上单调递减，函数无极值，
0a e
<<时，令()0
f x
'>，解得：ln
e
x
a
>，
令()0
f x
'<，解得：ln
e
x
a
<，
∴()
f x在,ln
e
a
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
上单调递减，在ln,
e
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
上单调递增，
∴ln
e
x a
=时，()f x 取极小值-1， ∴ln ln ln 1e a e e f ae e a a a ⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭
，即ln 10e a a -+=，
令()()ln 10m x e x x x e =-+<<， 则()e x
m x x
-'=
∵0x e <<，∴()0m x '
>，∴()m x 在()0,e 上单调递增， ∵()10m =，∴1a =；
（2）∵1a =，∴()1x
f x e ex =--
∴()()()()2ln 1021ln 1x
f x x x x e e x x x +-+≥⇔+--≥+，
令()()()2
210x
g x e e x x
x =+---≥
∴()22x
g x e x e '=-+-，
令()22x
h x e x e =-+-，()0x ≥，()2x
h x e '=-，
令()0h x '>，解得：ln 2x >，令()0h x '<，解得：ln 2x <， 故()h x 在[)0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， ∴ln 2x =时，()h x 取得极小值， 又∵()030h e =->，()10h =， ∴存在()00,ln 2x ∈使得()00h x =，
∴()g x 在[)00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∵()()010g g ==，∴()min 0g x =，
∴0x ≥时，()2
210x
e e x x +---≥，即()2
21x
e e x x +--≥，
令()()()ln 1,0t x x x x =-+≥，
则()'
1
101
t x x =-
≥+对于0x ≥恒成立， ∴()t x 在[)0,+∞上单调递增，
∴()()00t x t ≥=，即当0x ≥时，()ln 1x x ≥+， ∴0x ≥时，()2
ln 1x x x ≥+，
∴()()2
21ln 1x
e e x x x x +--≥≥+
故0x ≥时，()()2ln 10f x x x x +-+≥成立. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题. 22．（1
（2）1 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
，求出θ范围，再利用12112sin 2sin 22323OMN
S
πππρρθθ⎛⎫⎛
⎫=
⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，通过三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】
解：（1）曲线C
的参数方程为cos 21sin 2x y αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（α为参数）
，转换为直角坐标方程为221
(()12
x y +
+-=，其为过原点的圆
整理得220x y y ++-=，其为过坐标原点的圆，
根据222cos sin x y x y ρθρθ
ρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
转换为极坐标方程为2cos sin 0ρθρθ+-=，
整理得2sin 3πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
， 射线l 的极坐标方程为23
π
θ=与曲线C 相交于A 和B 两点， 由于射线l ：23
π
θ=
过坐标原点，故其中有一个交点为坐标原点， 所以2sin 323πρθπθ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨
⎪=
⎪⎩
，
得22sin 33AB ππ⎛⎫
=-=
⎪⎝
⎭； （2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
， 由于直线OC
10
2
-= 又圆C 过原点，故过原点与圆C 相切的切线的斜率为
k =
从而33
3
23ππθππππθπ
⎧<<+⎪⎪⎨⎪<+<+⎪⎩，得536ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
， 则12112sin 2sin 22323OMN
S
πππρρθθ⎛⎫⎛
⎫=
⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭22sin cos sin 2333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
=--=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
， 当2sin 213πθ⎛
⎫
-=
⎪⎝
⎭
，即712πθ=时，OMN S △的最大值为1． 【点睛】
本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
23．（1）2{|}4x x -≤≤（2）见解析 【分析】
（1）由()()
()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪
=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
，再分3x <-，31x -≤≤，x >1求解.
（2）由（1）得到 4a b c ++=，构造()()()1117a b c +++++=，两边平方展开，再利用基本不等式求解. 【详解】
（1）函数()()()
()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪
=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
. 当3x <-时，226x --≤，解得4x ≥-， 故43x -≤-＜.
当31x -≤≤时，4≤6，恒成立. 当1x >时，226x +≤，解得2x ≤， 故12x ≤＜，
所以不等式的解集为2{|}4x x -≤≤.
（2）由（1）知：()min 4f x =，所以：4a b c ++=， 所以()()()1117a b c +++++=， 所以()()()2
11149a b c +++++=⎡⎤⎣⎦，
所以()()()()()()()()()222
11121121121149
a b c a b a c b c ++++++++++++++=()()()222
3111a b c ⎡⎤≤+++++⎣⎦
.
当且仅当4
3
a b c ===
时，等号成立. 所以()()()2
2
2
491113
a b c +++++≥. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。