人教版初中数学图形的相似分类汇编附答案解析

人教版初中数学图形的相似分类汇编附答案解析
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以
14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )
A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13 B ．横向缩小为原来的14
，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍
D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的
112 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13；△DEF 的面积为△ABC 面积的
169
， 故选A.
2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A ．1：2
B ．1：5
C ．1：100
D ．1：10 【答案】C
【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C ．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点
E ，连接AC 交DE 于点
F .若3sin 5
CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】D
【解析】
【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．
【详解】
解：连接BD ，如图，
AB Q 为直径，
90ADB ACB ∴∠=∠=︒，
AD CD =Q ，
DAC DCA ∴∠=∠，
而DCA ABD ∠=∠，
DAC ABD ∴∠=∠，
DE AB ∵⊥，
90ABD BDE ∴∠+∠=︒，
而90ADE BDE ∠+∠=︒，
ABD ADE ∴∠=∠，
ADE DAC ∴∠=∠，
5FD FA ∴==，
在Rt AEF ∆中，3sin 5
EF CAB AF ∠=
=Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴-=，538DE =+=，
ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，
ADE DBE ∴∆∆∽，
::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，
16BE ∴=，
41620AB ∴=+=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
4．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：
①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBF DEG ∆∆:；④2
3
BFC BEF S S ∆∆=
．其中所有正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13
a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．
【详解】
解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，
∴∠DFG ＝∠A ＝90°，
在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，
AD DF DG DG ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；
设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，
∵BE ＝EC ，
∴EF＝CE＝BE＝1 2 a
∴GE=1
2
a+x
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：(1
2
a+x)2=(
1
2
a)2+(a-x)2解得：x＝
1
3
∴BG＝2AG，
故②正确；
∵BE＝EF，
∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，
故③错误；
连接CF，
∵BE＝CE，
∴BE＝1
2 BC，
∴S△BFC＝2S△BEF．
故④错误，
综上可知正确的结论的是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．
5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．
【详解】
解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴
1
'2 CD BC
CE B C
==，
∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40
DE cm
=，20
EF cm
=，测得边DF离地面的高度 1.5
AC m
=，8
CD m
=，则树高AB是（）
A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
【详解】
解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴BC DC EF DE
=
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴
8
0.20.4
BC
=解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。

7．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则AO DO
=
（）．
A．1
3
B
25
C．
2
3
D．
1
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90︒
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴
1
2 AO AE DO AD
==
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
8．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A．5B．4
5
3
C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF ∥DE ∥CM ．
∵OD=AD=3，DE ⊥OA ，
∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：DE=5．
设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，
∵BF ∥DE ∥CM ，
∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ．
∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==，，即x 2x 2255
-==，，解得：()52x 5BF ?x CM 22
-==，． ∴BF+CM=5．
故选A ．
9．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD=∠BAD ，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，
∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，
∴△DCE ∽△DAC ，
∴DE DC DC DA =，即244AD
=， 解得，AD=8，
∴AE=AD -DE=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）
A ．1.5cm
B ．1.2cm
C ．1.8cm
D ．2cm 【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，
∵点P 的运动速度是每秒1cm ，
∴AC=3，BC=4．
∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=5．
如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH
AC BC AB =，即AC BC
3412
CH CH AB 55⋅⨯=⇒==．
∴如图，点E （3，12
5），F （7，0）．
设直线EF 的解析式为y kx b =+，则
12
3k b {507k b =+=+，
解得：
3 k
5 {
21 b
5
=-
=
．
∴直线EF的解析式为
321
y x
55
=-+．
∴当x5
=时，()
3216
PD y5 1.2cm
555
==-⨯+==．
故选B．
11．把Rt ABC
∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
1
3
C．扩大为原来的9倍D．不变
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，O是AC的中点，将面积为2
16cm的菱形ABCD沿AC方向平移AO长度得到菱形OB C D
'''，则图中阴影部分的面积是（）
A．2
8cm B．2
6cm C．2
4cm D．2
2cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=
1
2
AC，故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的
1
4
【详解】
解：如图，
由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=
1
2
AC
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积
1
4
即图中阴影部分的面积为4cm2．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是应用相似多边形的性质解答问题.
13．如图，点A，B是双曲线
18
y
x
=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线
k
y
x
=在第二象限的分支上一点，当ABC
V满足AC BC
=且:13:24
AC AB=时，k的值为（）．
A．
25
16
-B．
25
8
-C．
25
4
-D．25
-
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出
2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=＝
25
144
，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝
25
16
，再根据反比例函
数的几何意义即可解决问题．
【详解】
解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．
∵A 、B 关于原点对称，
∴OA ＝OB ，
∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，
∴OC ⊥AB ，
∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，
∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，
∴∠COF ＝∠OAE ，
∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA
∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，
∴CA ：OA ＝13：12，
∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144
， ∵S △AOE ＝9，
∴S △COF ＝
2516， ∴||25216
k =， ∵k ＜0， ∴258
k =- 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为
50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】C
【解析】
试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故选：C．
点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若
AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴AE AG BF BE
，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴2（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
16．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延
长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802
FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．
【详解】
解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°
又∵AG=AG
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；
由Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4
∴在Rt △EGC 中，222
(6)4(2)x x -+=+
解得：x=3
∴BG ＝3，CG=6-3=3
∴BG ＝CG ，故②正确；
又BG ＝CG ， ∴1802
FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴1802
FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB
∴AG ∥CF ，故③正确；
过点F 作FM ⊥CE ，
∴FM∥CG
∴△EFM∽△EGC
∴FM EF
GC EG
=即
2
35
FM
=
解得
6
5 FM=
∴S∆FCG＝
116
344 3.6
225
ECG ECF
S S
-=⨯⨯-⨯⨯=
V V
，故④错误
正确的共3个
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
17．如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB 的是（）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°
C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
【答案】C
【解析】
【分析】
A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B 、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠
C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；
C 、由AD•BC=AC•DE ，得
不能判断△ADE ∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似.
D 、由AD•AB=AE•AC 得
，∠A=∠A ，故能确定△ADE ∽△ACB ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A ．45cm ，85cm
B ．60cm ，100cm
C ．75cm ，115cm
D ．85cm ，125cm 【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．
【详解】
设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ， 由题意得，15
4023
x x =+， 解得，x=75，
则x+40=115，
故选C ．
19．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AB AC 的中点，ADE ∆和四边形BCED 的面积分别记为12,S S ，那么12
S S 的值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．13
D ．23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知可得到△ADE ∽△ABC
，从而可求得其面积比，则不难求得12S
S 的值． 【详解】
∵,D E 分别是边,AB AC 的中点，
∴DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴DE ：BC=1：2，
所以它们的面积比是1：4，
所以1211=413
S S =-， 故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
20．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.
A ．4
B ．6
C ．8
D ．不能确定 【答案】C
【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF ∥BC ，EF=12
BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+V V V V V =1S +2S =8.
故选C ．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．。