【3套试卷】通辽市中考第一次模拟考试数学试题

中考一模数学试题及答案
一．选择题（共10小题）
1．﹣2的相反数是（）
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
3．下列说法：①“掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面”；②“从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数一定是3”（）
A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误4．下列四个图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（）
A．B．
C．D．
6．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（）
A．B．
C．D．
7．某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样，规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，两球数字之和记为返现金额．某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得返现金额低于30元的概率是（）A．B．C．D．
8．若点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）
A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1
9．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s 的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（）
A．B．C．D．
10．我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝9的正整数解得组数是（）A．27 B．28 C．29 D．30
二．填空题（共6小题）
11．的算术平方根是．
12．在学校举行“中国诗词大会”的比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，这组数据的中位数是．
13．化简﹣＝．
14．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝27°，则∠C＝．
15．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，则关于的一元二次方程a（x ﹣h﹣1）2+k＝0的解是．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF ＝45°，则DF的长是．
三．解答题（共8小题）
17．计算：3a2•a4+（2a3）2﹣7a6
18．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
19．“保护环境，人人有责”，为了了解某市的空气质量情况，某校环保兴趣小组，随机抽取了2014年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）估计该市这一年（365天）空气质量达到“优”和“良”的总天数；
（3）计算随机选取这一年内某一天，空气质量是“优”的概率．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
21．如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半径为，求BC的长．
22．某公司计划购买A、B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的．已知A、B两种计算器的单价分别是150元/个、100元/个，设购买A 种计算器x个．
（1）求计划购买这两种计算器所需费用y（元）与x的函数关系式；
（2）问该公司按计划购买者两种计算器有多少种方案？
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调了3m（m＞0）元/个，同时B种计算器单价上调了2m元/个，此时购买这两种计算器所需最少费用为12150元，求m 的值．
23．（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD的周长为；
（2）O是正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①在图2中作出△EDF，有适当的文字说明，并求出∠EOF的度数；
②若＝，求的值．
24．抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P，Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．
（1）求D点的坐标；
（2）若∠PBA＝∠OBC，求P点坐标；
（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？
若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2的相反数是（）
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2．
故选：A．
3．下列说法：①“掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面”；②“从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数一定是3”（）
A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误
【分析】根据不可能事件，随机事件，必然事件发生的概率以及概率的意义找到正确选项即可．
【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，可能是反面，所以①正确；
从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数不一定是3，所以②错误，
故选：A．
4．下列四个图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；
B．此图案不是中心对称图形，不合题意；
C．此图案不是中心对称图形，不合题意；
D．此图案不是中心对称图形，不合题意；
故选：A．
5．下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（）
A．B．
C．D．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意；
C、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；
D、这个三棱柱的主视图是正方形，左视图是三角形，符合题意；
故选：D．
6．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
7．某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样，规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，两球数字之和记为返现金额．某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得返现金额低于30元的概率是（）A．B．C．D．
【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球上的金额之和小于30元的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中少于30元的有4种，
∴该顾客所获得返现金额低于30元的概率是＝，
故选：D．
8．若点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）
A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．
【解答】解：∵﹣（k2+1）＜0，
∴x＞0时，y＜0，y随着x的增大而增大，
x＜0时，y＞0，y随着x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴x2＞x1＞0，
∵1＞0，
∴x3＜0，
即x3＜x1＜x2，
故选：B．
9．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s 的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（）
A．B．C．D．
【分析】作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝4，利用切线的判定方法，当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，然后利用△BED∽△BHA，通过相似比可求出t的值．
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，
∵AB＝AC＝5，
∴BH＝CH＝BC＝4，
当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，
∵∠EBD＝∠ABH，
∴△BED∽△BHA，
∴＝，即＝，解得t＝．
故选：A．
10．我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝9的正整数解得组数是（）A．27 B．28 C．29 D．30
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝9的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、
3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【解答】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝9的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……
t＝8）
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝8的正整数解有7组，
∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+7＝29
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．的算术平方根是 3 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．【解答】解：∵＝9，
又∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
12．在学校举行“中国诗词大会”的比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，这组数据的中位数是90 ．
【分析】将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．依此即可求解．
【解答】解：把数据按从小到大的顺序排列为：80，85，90，90，95，则中位数是90．故答案为：90．
13．化简﹣＝．
【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝＝
＝．
故答案为：．
14．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝27°，则∠C＝69°．
【分析】设∠C＝α，根据AB＝CB，AC＝AD，即可得出∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】解：设∠C＝α，
∵AB＝CB，AC＝AD，
∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，
又∵∠BAD＝27°，
∴∠CAD＝α﹣27°，
∵△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴α﹣27°+α+α＝180°，
∴α＝69°，
∴∠C＝69°，
故答案为：69°．
15．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，则关于的一元二次方程a（x ﹣h﹣1）2+k＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2 ．
【分析】将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向右平移一个单位得到y＝a（x﹣h﹣1）2+k，然后根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，可以得到a（x﹣h﹣1）2+k ＝0的解．
【解答】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向右平移一个单位长度后的函数解析式为y＝a （x﹣h﹣1）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h+1）2+k＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF
＝45°，则DF的长是．
【分析】取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，可证四边形ABNM是正方形，可得MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，通过证明△ABG≌△AMH，△AEG≌△AEH，可得EH＝GE，EH＝2+MH，由勾股定理可求MH的长，由相似三角形的性质求出DF．
【解答】解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，
∵点M，点N是AD，BC的中点，
∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AB＝AM＝4，
∴四边形ABNM是菱形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，
∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，
∴△ABG≌△AMH（SAS），
∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAH+∠BAE＝45°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，
又∵AG＝AH，AE＝AE
∴△AEG≌△AEH（SAS）
∴EH＝GE，
∴EH＝2+MH，
在Rt△HEN中，EH2＝NH2+NE2，
∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，
∴MH＝
∵MN∥CD，
∴△AGM∽△AFD，
∴
∴DF＝×＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．计算：3a2•a4+（2a3）2﹣7a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3a6+4a6﹣7a6
＝0．
18．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC＝EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
19．“保护环境，人人有责”，为了了解某市的空气质量情况，某校环保兴趣小组，随机抽取了2014年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）估计该市这一年（365天）空气质量达到“优”和“良”的总天数；
（3）计算随机选取这一年内某一天，空气质量是“优”的概率．
【分析】（1）根据良的天数除以良的天数所占的百分比，可得样本容量，根据样本容量乘以轻微污染所占的百分比求出轻微污染的天数，可得答案；
（2）根据一年的时间乘以优良所占的百分比，可得答案；
（3）根据根据一年中优的天数比上一年的天数，可得答案．
【解答】解：（1）样本容量3÷5%＝60，
60﹣12﹣36﹣3﹣2﹣1＝6，
条形统计图如图：
（2）这一年空气质量达到“优”和“良”的总天数为：
365×＝292；
（3）随机选取这一年内某一天，空气质量是“优”的概率为：＝．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；
（3）作平行四边形AEMB即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；
（2）如图所示，点G即为所求；
（3）如图所示，线段EM即为所求．
21．如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半径为，求BC的长．
【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF＝OD，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）过D作DF⊥BC于F，连接OD，根据三角函数的定义得到＝，设DF＝a，OF＝x，则CF＝4a，OC＝4a﹣x根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，
而OF⊥AC，
∴OF＝OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）过D作DF⊥BC于F，连接OD，
∵tan∠BCD＝，
∴＝，
设DF＝a，OF＝x，则CF＝4a，OC＝4a﹣x，
∵O是底边BC中点，
∴OB＝OC＝4a﹣x，
∴BF＝OB﹣OF＝4a﹣2x，
∵OD⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∴∠BDF+∠FDO＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝∠OFD＝90°，∠FDO+∠DOF＝90°，
∴∠BDF＝∠DOF，
∴△DFO∽△BFD，
∴，
∴，
解得：x1＝x2＝a，
∵⊙O的半径为，
∴OD＝，
∵DF2+FO2＝DO2，
∴（x）2+x2＝（）2，
∴x1＝x2＝a＝1，
∴OC＝4a﹣x＝3，
∴BC＝2OC＝6．
22．某公司计划购买A、B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的．已知A、B两种计算器的单价分别是150元/个、100元/个，设购买A 种计算器x个．
（1）求计划购买这两种计算器所需费用y（元）与x的函数关系式；
（2）问该公司按计划购买者两种计算器有多少种方案？
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调了3m（m＞0）元/个，同时
B种计算器单价上调了2m元/个，此时购买这两种计算器所需最少费用为12150元，求m 的值．
【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买A、B两种计算器的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用；
（2）根据题目条件A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的，可以构建不等式组，接出不等式组就可以求出x的取值范围，从而得到购买方案；
（3）根据题目条件，构建购买这两种计算器所需最少费用为12150元的不等式，然后分情况讨论，最后就可确定出m的值．
【解答】解：（1）由题得：
y＝150x+100（100﹣x）＝50x+10000，
（2）由A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的得：
，解得：20≤x≤25，
则两种计算器得购买方案有：
方案一：A种计算器20个，B种计算器80个，
方案二：A种计算器21个，B种计算器79个，
方案三：A种计算器22个，B种计算器78个，
方案四：A种计算器23个，B种计算器77个，
方案五：A种计算器24个，B种计算器76个，
方案六：A种计算器25个，B种计算器75个，
综上：购买两种计算器有6种方案；
（3）（150﹣3m）x+（100+2m）（100﹣x）≥12150，
150x﹣3mx+10000﹣100x+200m﹣2mx≥12150，
（50﹣5m）x≥2150﹣200m，
由题可知，m的取值范围是：0＜m≤50，
当0＜m＜10时，
x≥＝，
则＞43，不在20≤x≤25范围内，此情况不成立，舍去．
当m＝10时，
所需要的费用为：（150﹣30）x+（100+20）（100﹣x）＝120000，不符合题意，舍去．当10＜m≤50时，
x≤＝，
由于20≤x≤25，则中，m的取值范围是：11.5≤m≤12，
此时的值随m的增大而减小，
x小于等于，则应该小于等于它的最小值，因此当m＝12时，最小，其最小值为x＝20，
所以当m＝12时，购买这两种计算器所需最少费用为12150元．
23．（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD的周长为；
（2）O是正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①在图2中作出△EDF，有适当的文字说明，并求出∠EOF的度数；
②若＝，求的值．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，得出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC，即可得出结果；
（2）①连接OA、OD、OH，由正方形的性质得出∠1＝∠2＝45°，由SAS证明△ODE≌△OAH，得出∠DOE＝∠AOH，OE＝OH，得出∠EOH＝90°，证出EF＝HF，由SSS证明△EOF ≌△HOF，得出∠EOF＝∠HOF＝45°即可；
②连接OC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝AD，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝1+2＝3，
故答案为：3；
（2）①如图1所示：△EDF即为所求；
如图2所示：AH＝DE，
连接OA、OD、OH，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∠1＝∠2＝45°，
在△ODE和△OAH中，，
∴△ODE≌△OAH（SAS），
∴∠DOE＝∠AOH，OE＝OH，
∴∠EOH＝90°，
∵△EDF的周长等于AD的长，
∴EF＝HF，
在△EOF和△HOF中，，
∴△EOF≌△HOF（SSS），
∴∠EOF＝∠HOF＝45°；
②连接OC，
∵∠ECO＝∠EOF＝∠OAF＝45°，
∵∠EOC＝90°﹣∠EOD，∠OFA＝180°﹣45°﹣45°﹣∠AOH＝90°﹣∠AOH，∵∠EOD＝∠AOH，
∴∠EOC＝∠AFO，
∴△COE∽△AFO，
∴，
∴＝
∴＝＝．
24．抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P，Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．
（1）求D点的坐标；
（2）若∠PBA＝∠OBC，求P点坐标；
（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？
若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）抛物线的解析式为y＝（x+4）（x﹣2），然后利用配方法可求得点D的坐标；
（2）在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB与点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．首先证明EF＝EB＝4，然后证明△FGE∽△COE，依据相似三角形的性质可得到
FG＝，EG＝，故可得到点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；
（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y＝kx+b，得到b＝k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），B（2，0）两点，
∴y＝（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x﹣8）＝（x+1）2﹣3．
∴D（﹣1，﹣3）．
（2）在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．
∵点E与点B关于y轴对称，
∴∠OBC＝∠OEC．
∴∠OBC＝∠GEF．
∵∠PBA＝∠OBC，
∴∠PBA＝∠EFB．
∴EF＝EB＝4．
∵OE＝2，OC＝，
∴EC＝．
∵GF∥OC，
∴△FGE∽△COE．
∴，即，解得：FG＝，EG＝．
∴F（﹣，）．
设BP的解析式为y＝kx+b，将点F和点B的坐标代入得：，
解得：k＝﹣，b＝1，
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+1．
将y＝﹣x+1与y＝x2+x﹣联立解得：x＝﹣，x＝2（舍去），
∴y＝．
∴P（﹣，）．
（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y＝kx+b，∴﹣k+b＝0，
∴b＝k，
∴y＝kx+k．
由得：x2+（﹣k）x﹣﹣k＝0
∴x1+x2＝﹣2+3k，y1+y2＝kx1+k+kx2+k＝3k2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3k﹣1，
∵点M是线段PQ的中点，
∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．
假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y＝kx+k﹣3
由，解得：x1＝﹣1（舍弃），x2＝3k﹣1，
∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN＝DM，
∴（3k）2+（3k2）2＝（）2+（+3）2，
整理得：3k4﹣k2﹣4＝0，
∵k2+1＞0，
∴3k2﹣4＝0，
解得k＝±，
∵k＜0，
∴k＝﹣，
∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）．
∴PM＝DN＝2，
∵PM∥DN，
∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM＝DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．
中考模拟考试数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．﹣6的绝对值是（）
A．﹣6B．6C．D．﹣
2．下列运算中，正确的是（）
A．6a﹣5a＝1B．a3•a3＝a9C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
5．如图，AC是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点C，AB交⊙O于点D．已知∠B＝51°，则∠DOC等于（）
A．78°B．88°C．102°D．110°
6．将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，所得函数表达式为（）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2 7．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）
A．20%B．25%C．50%D．62.5%
8．分式方程＝的解为（）
A．x＝0.75B．x＝0C．x＝D．x＝1
9．点（﹣2，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）10．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题）
11．天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平均距离，即149597870700m，约为149600000km．将数149600000用科学记数法表示为．12．函数y＝中，自变量x的取值范围是．
13．分解因式：4xy2﹣4x2y﹣y3＝．
14．不等式组的解集是．
15．若二次函数y＝mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m＝．
16．如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为．
17．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2cm，则这个扇形的面积为cm2．18．在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是BC上一点，连接EF、DF，若AB＝4，BC＝8，
EF＝2，则DF的长为．
19．不透明的布袋里有2个红色小汽车，2个白色小汽车模型（小汽车除颜色不同外，其它都相同），从布袋中随机摸出1个小汽车记下颜色后放回袋中摇匀，然后重新再摸出1个小汽车，则摸出的两个小汽车都是红色的概率是．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，点L在AC的延长线上，连接LE 交BC于点D，过点E作AB的垂线交∠LCB的平分线于点F，若∠CAB＝3∠L，EF＝3，则DL的长为．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式：÷（a﹣）的值，其中a＝sin60°+tan45°，b＝tan30°．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为．
（2）在方格纸中画出以AB为一边的菱形ABDE，点D、E均在小正方形的顶点上，且菱形ABDE的面积为3，连接CE，请直接写出线段CE的长．
23．为了响应国家提出的“每天锻炼1小时”的号召，某校积极开展了形式多样的“阳光体育”运动，毛毛对该班同学参加锻炼的情况进行了统计（每人只能选其中一项），并绘制了如图两个统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）毛毛这次一共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“足球”所在扇形的圆心角度数；
（3）若该校有1800名学生，请估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人．
24．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．
（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．
（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
25．艾琳服装店10月份以每套1200元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额是28000元，进入11月份搞促销活动，每件让利100元，这样11月份的销售额比10月份增加了11000元，销售量是10月份的1.5倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元？
（2）进入12月份，该服装店决定把剩余的羽绒服九折甩货，全部卖掉，这批羽绒服总获利不少于9940元，问这批羽绒服至少购进多少件？
26．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，AC是⊙O的直径，BD平分∠ADC．（1）如图1，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点D作DP⊥AB交⊙O于点P，连接BP，求证：CD＝BP；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CL∥AB交DF于点L，点E在AF上，且EF ＝BF，点G在DP的延长线上，连接AG交LE的延长线于点H，若AE＝AH＝10，FG ＝8，求DL的长．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝2x+6交x轴于点B，交y轴于点A，且AO＝BC．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P在线段AC上，连接PB交OA于点D，设点P的横坐标为t，△ABP 的面积为S，求S与t之间的函数解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作∠CAO的平分线交DP于点E，点L在BP的延长线上，连接CE、CL，若∠ABP＝2∠ACE，CL＝AC，求DL的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣6的绝对值是（）
A．﹣6B．6C．D．﹣
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：﹣6的绝对值是6．
故选：B．
2．下列运算中，正确的是（）
A．6a﹣5a＝1B．a3•a3＝a9C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法，幂的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、6a﹣5a＝a，故本选项错误；
B、a3•a3＝a6，故本选项错误；
C、a6÷a3＝a3，故本选项错误；
D、（a2）3＝a6，故本选项正确；
故选：D．
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：A．
4．如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得左边第一列有3个正方形，中间第二列有1个正方形，最右边一列有1个正方形．
故选：D．
5．如图，AC是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点C，AB交⊙O于点D．已知∠B＝51°，则∠DOC等于（）
A．78°B．88°C．102°D．110°
【分析】根据切线的性质定理及三角形内角和可求得∠A的度数，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求解．
【解答】解：∵CB与⊙O相切于点C
∴AC⊥BC
∵∠B＝51°
∴∠A＝90°﹣∠B＝39°
∴∠COD＝2∠A＝78°．
故选：A．
6．将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，所得函数表达式为（）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2+2．故选：B．
7．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，。