高二数学上学期第四次月考试题 理(含解析)

【2019最新】精选高二数学上学期第四次月考试题理（含解
析）
理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题：对于恒有成立；命题：奇函数的图象必过原点，则下列
结论正确的是（）
A. 为真
B. 为假
C. 为真
D. 为真
【答案】D
【解析】因为等价于,故命题p是真命题;
函数为奇函数,但函数的图象不过原点,故命题q是假命题,
则命题是真命题,故是真命题.
故选D.
2. 已知各项均不为零的数列，定义向量，，.下列命题中真命题是
（）
A. 若总有成立，则数列是等比数列
B. 若总有成立，则数列是等比数列
C. 若总有成立，则数列是等差数列
D. 若总有成立，则数列是等差数列
【答案】D
【解析】∵向量，，∴当，
即
∴数列为等差数列，
∴D正确，B错误；
当时，
即∴数列既不是等差数列，也不是等比数列，
∴A、C错误．
故选D．
3. 设命题，则为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，
即本题的正确选项为C.
考点：原命题与否命题.
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4. 已知椭圆，直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵直线恒过定点，∴要使直线与椭圆恒有公共点，
则（在椭圆内部或在椭圆上，
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．
∴实数的取值范围是．
故选C．
5. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）
A. B. -6 C. 6 D.
【答案】C
【解析】因为两个平面平行其法向量也平行，所以有，可得，故选
C
6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）
A. B. C. D. 或
【答案】B
2
，的面积为
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定的坐标是解题的关键．
7. 设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆与双曲线的定义，知|
所以．因为所以，即即因为，所以
故选B．
8. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与
点到抛物线的准线距离之后的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
...............
考点：抛物线的应用.
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质、抛物线的定义、及三点共线的应用等知识但的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了学生的转化与化归思想、数形结合数学思想的应用，试题基础性强，属于中档试题.
9. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（）
A. 32
B. 16
C. 8
D. 4
【答案】B
【解析】设，双曲线一条渐近线方程为，可得，既有，由，可得，即，又，且，解得，既有双曲线的实轴长为，故选
B.
【方法点晴】本题主要考查双曲线的定义及简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在
联系.特别注意：（1）定义；（2）的应用.
10. 如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则的长为（）
A. B. 7 C. D. 9
【答案】C
【解析】∵，，∴，∵，∴ ，∴，故选
C.
点睛：本题主要考查了数量积的运用之线段长度的求法，属于基础题；选择一组合适的基底，主要标准为三个向量不共线，已知两两之间的夹角，已知向量的模长，根据空间向量基本定理将所求向量利用基底表示，再结合得长度.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的内
切圆半径为，则其离心率为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】∵由，∴内切圆半径为，∴离心率，故选
A
12. 已知函数，且，则等于（）
A. -2014
B. 2014
C. 2019
D. -2019
【答案】D
【解析】若是奇数，则构成等差数列，
则公差则奇数项的和
若是偶数，则则公差则前1008个偶数项和
则，
故选D．
【点睛】本题考查数列求和，根据条件求出数列的通项公式，利用分组求和法是解决本题的关键．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是
__________．
【答案】
【解析】设所求双曲线方程为双曲线过点所求双曲线方程为化为，故
答案为.
14. 已知向量，，且与互相垂直，则
__________．
【答案】
【解析】由题意可得：
与互相垂直，
即，所以，.
15. 命题：关于的不等式对恒成立；命题是减函数.若命题为真命题，则实数的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】由关于的不等式对恒成立，得或
∴命题为真，；
∵是减函数，命题为真，根据复合命题真值表，命题为真命题，命题至少有一个为真命题，．
故答案为．
16. 在直角坐标系中，已知直线与椭圆相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则的面积为
__________．
【答案】1
【解析】
在RT△ODF中，，∴,∴，
又，即
设，则，
，得到：
由，解得：，，
∴S=1
故答案为：1
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：关于的方程无实
根.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）.（2）.
【解析】试题分析：（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；
（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．
试题解析：
（1）因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得。

（2）若为真命题，则，解得，
因为“”为假命题，“”为真命题，等价于恰有一真一假，
当真假时，，则，
当假真时，，则，
综上所述，实数的取值范围是。

点睛：（1）焦点在轴上的椭圆，包含两层意思：，，其中容易被同学们所忽视；（2）命题“”：一假俱假，命题“”：一真俱
真.
18. 已知双曲线的焦点是椭圆的顶点，为椭圆的左焦点且椭圆经过
点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，连结并延长交椭圆于点，当的面积取得最大值时，求的面
积.
【答案】（1）.（2）.
【解析】试题分析：（1）由双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点可得再由椭圆经过点可得，从而可得求椭圆的方程；（2）设直线：，联立：，得，
根据韦达定理及三角形面积公式将当的面积用表示，利用基本不等式等号成立的条件，可得当的面积取得最大值时，求的面
积.
试题解析：（1）由已知得
所以的方程为．
（2）由已知结合（1）得，，，
所以设直线：，联立：，得，
得，
（），
当且仅当，即时，的面积取得最大值，
所以，此时，
所以直线：，联立，解得，
所以，点到直线：的距离为，
所以．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法
以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
19. 如图所示的空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证明平面平面，可通过证明平面，需证明，，结合 ,进行证明；
（Ⅱ）构造平面与平面所成二面角的平面角，则，，即可求得答案；
试题解析：（1）证明：连接交于点，则
设的中点分别为，连接，则，
连接，则且，所以，所以
由于平面，所以
所以，，所以平面
所以平面平面
（2）∵，∴
∴平面与平面所成的锐二面角即为平面与平面所成的锐二面角
连接，∵平面，，∴
∴为平面与平面所成二面角的一个平面角
∵，，∴
∴
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
20. 在平面内点、、满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点，在椭圆上，且与轴平行，过点作两条直线分别交椭圆于，两点，若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定
值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据题意，代入化简即可求出轨迹方程（2）给出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得的横坐标，由题意得和斜率互为相反数，再次联立直线的方程与椭圆方程，化简求得结果
解析：（1）
（2）设直线的方程为
联立方程组
∴
直线平分，所以和斜率互为相反数
设直线的方程为
联立方程组
又
点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，求证直线的斜率是定值，理解题目中直线是角平分线，将其转化为另外两条直线的斜率互为相反数，然后求得两点坐标，即可证得结果。