2014年山东省泰安市肥城市第三中学高一数学学案《指数函数》(新人教A版必修1)

【当堂达标】
1．设y 1＝40.9
，y 2＝8
0.48
，y 3＝(12
)－1.5
，则( )
A ．y 3>y 1>y 2
B ．y 2>y 1>y 3
C ．y 1>y 2>y 3
D ．y 1>y 3>y 2 2．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a x
，x >1－a
2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的
取值范围为( )
A ．(1，＋∞) B．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)
3．函数y ＝(12
)1－x
的单调增区间为( )
A ．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．(0,1)
4．已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x
)的定义域为________．
例1、已知2x
≤(14)x －3，求函数y ＝(12)x 的值域．
解：由2x ≤(14
)x －3，得2x ≤2－2x ＋6
，
∴x ≤－2x ＋6，∴x ≤2.∴(12)x ≥(12)2＝1
4
，
即y ＝(12)x 的值域为[1
4
，＋∞)．
例2、已知f (x )＝(12x －1＋1
2
)x .
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.
解：(1)由2x
－1≠0，得x ≠0，
∴函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }．
(2)在定义域内任取x ，则－x 在定义域内，
f (－x )＝(12－x －1＋12)(－x )＝(2x
1－2x ＋1
2)(－x )
＝－1＋2x －2x ·x ＝2x
＋1
x
－
·x ， 而f (x )＝(12x －1＋12)x ＝2x
＋1
x
－
·x ， ∴f (－x )＝f (x )，
∴函数f (x )为偶函数．
(3)证明：当x <0时，由指数函数性质知， 0<2x <1，－1<2x
－1<0，
∴1
2x －1<－1， ∴12x －1＋12<－12
. 又x <0，∴f (x )＝(12x －1＋1
2
)x >0.
由f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )>0. 综上，当x ∈R ，且x ≠0时，函数f (x )>0.
【当堂达标】
1．解析：选D.y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44
，
y 3＝(1
2)－1.5＝21.5，
∵y ＝2x
在定义域内为增函数， 且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2.
2．解析：选D.因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧
a >1
4－a 2
>0
4－a 2＋2≤a
，
解得4≤a <8.
3．解析：选A.设t ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t
，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，
即为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x
的递增区间．
4．解析：由函数的定义，得1＜2x
＜2⇒0＜x ＜1.所以应填(0,1)． 答案：(0,1) 【拓展延伸】
1．解析：选C.由已知条件得0<a <b <1， ∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .
2．解析：选B.函数y ＝(12)x
在R 上为减函数，
∴2a ＋1>3－2a ，∴a >1
2
.
3．解析：选B.∵12011＜1，∴(12011
)2＜1,21
2011＞20
＝1.
4．解析：选D.由f (2)＝4得a －2＝4，又a ＞0，∴a ＝12
，f (x )＝2|x |
，∴函数f (x )为偶
函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
5．解析：选A.u ＝2x
＋1为R 上的增函数且u ＞0，
∴y ＝1
u
在(0，＋∞)为减函数．
即f (x )＝1
2x ＋1
在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值．
6．解析：选B.取x ＝－1，∴1a ＞1
b
＞1，∴0＜a ＜b ＜1.
7．解析：法一：∵f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数，
∴f (0)＝0，即a －1
20＋1
＝0.
∴a ＝12
.
法二：∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，
即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝1
2.
答案：12
8．解析：x ∈[－1,1]，则13≤3x ≤3，即－53
≤3x
－2≤1.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－53，1 9．解析：∵f (－x )＝f (x )， ∴e －(x ＋u )2＝e －(x －u )2，
∴(x＋u)2＝(x－u)2，
∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.
∵x2≥0，∴－x2≤0，∴0＜e－x2≤1，∴m＝1，∴m＋u＝1＋0＝1.
答案：1。