2018年高考数学(文)二轮复习讲练测专题1.6 解析几何(测) 含解析

2018年高考数学（文）二轮复习讲练测
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______
一、选择题（12*5=60分）
1．“直线1y kx =+与圆()2
221x y -+=相切”是“4
3
k =-
”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】
C
2．【2018届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】设m R ∈，则“0m = ”是“直线
()()1:1110l m x m y ++--=与直线()()2:12140l m x m y -+++=垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由直线12l l 与垂直可得()()()()111210m m m m +-+-+=，解得01m m ==或．
所以“0m = ”是“直线()()1:1110l m x m y ++--=与直线()()2:12140l m x m y -+++=垂直”的充分不必要条件．选A ．
3．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
的一条渐近线为y =，则该双曲线的离心率等于
【答案】C
4．已知双曲线C ： 2219x y a -= (a>0)与双曲线22
1412
x y -=有相同的离心率，则实数a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 9
2a a
+=，解得a ＝3. 5．已知圆2
2
:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得弦长是22a 的值为
26 D. 3 【答案】B
【解析】圆M ： ()2
22x y a a +-= ，圆心为()0,a ，半径为a ，圆心到直线0x y +=2
a =
，半
，根据圆的弦长公式可知
2
221242
a a a +=⇒=， 0,2a a >∴=，选B. 6．已知点M 是抛物线2
:2(0)C y px p =>上一点， F 为C 的焦点， MF 的中点坐标是()2,2，则p 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D
【解析】,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，又中点()2,2，所以4,42p M ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
所以16242p p ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，得4p =.故选D. 7．【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知双曲线22
221x y a b -=（0,0a b >>）的一条渐近线被圆
22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为
A. 23526
2
【答案】D
点睛：
双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几
何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222
b c a ＝－和e=
c
a
转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
8．设斜率为2
2的直线l 与椭圆22221x y a b
+=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是
椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
12
13
【答案】C
【解析】由题意， 2
22
b a
c =，得)222ac a c =-2
220e e +=，所以22e =，
故选C.
9．【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】已知F 为抛物线2
y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的
两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是
A.
2 B. 6 C. 13
2
D. 43【答案】B
故选B.
点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
10．已知双曲线
22
22
1(00)
x y
a b
a b
-=>>
，的左右焦点分别为
12
,
F F，以
2
OF为直径作圆C，再以
1
CF为直径作圆
E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
【答案】D
【解析】
11．【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】设双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，
的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（ ）
A. 3+522-122+422- 【答案】B
【解析】设2AF x =，则12AF x a =+，所以22BF a =，也就是14BF a =，故
2224164242cos 4c a a a a π
=+-⨯⨯⨯，因此2
425c a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
B ．
12．【2018届湖南省长郡中学高三月考（五）】已知1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点， p 是它们的一个公共点，且123
F PF π
∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ， 2e ，则1e ， 2e 的关系为（ ）
A. 1213e e =
B. 22
12143
e e += C. 2211134e e += D. 221134e e +=
【答案】
C
二、填空题（4*5=20分）
13.【2018届天津市第一中学高三上学期第二次月考】圆心在直线4y x =-，且与直线10x y +-=相切于点
()32P -，的圆的标准方程为__________.
【答案】()()2
2
148x y -++= 【解析】∵圆心在直线y=﹣4x 上，
设圆心C 为（a ，﹣4a ），圆与直线x+y ﹣1=0相切于点P （3，﹣2）， 则k PC =
42
3a a
--=1，∴a=1．即圆心为（1，﹣4）．
，∴圆的标准方程为（x ﹣1）2
+（y+4）=8．
故答案为：（x ﹣1）2
+（y+4）=8．
14．【2018届吉林省实验中学高三上学期第五次月考（一模）】若双曲线
22
12516
x y -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且13PF =，则2PF 等于__________. 【答案】13 【解析】
1222210,31013PF PF a PF PF -==∴-=∴= 或7- （舍）.
15．【2018届内蒙古集宁第一中学高三上学期第二次月考】已知双曲线Ｓ与椭圆
22
1934x y +=的焦点相同,如果3
4
y x =
是双曲线Ｓ的一条渐近线,那么双曲线Ｓ的方程为_______________. 【答案】
22
1916
y x -=
∴双曲线Ｓ的方程为
22
1916y x -=. 故答案为
22
1916
y x -=
16．【2018届甘肃省张掖市高三第一次检测】已知抛物线2
2,,y x A B =是抛物线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点()00P x ，则0x 的取值范围是__________．（用区间表示） 【答案】()1,+∞
【解析】设,A B 的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，
线段AB 的垂直平分线与x 轴相交点()0,0,P x AB ∴不平行
于y 轴，即12x x ≠，又PA PB =，即()()2
2
22101202
x x y x x y -+=-+，得()()2212120212,
,x x x x x y y A B -+-=-是抛物线上的两点， 22
112
22,2y x y x ∴==，代入上式，得12
012121,0,0,2
x x x x x x x +=+
≥≥≠， 120x x ∴+>，即01x >，故答案为()1,+∞.
三、解答题（共6道小题，共70分）
17. 【2018届甘肃省张掖市高三第一次检测】设直线l 的方程为()25x m y =++，该直线交抛物线2
:4C y x =于
,P Q 两个不同的点.
（1）若点()5,2A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B . 【答案】（1）30x y +-=（2）见解析
18．【2018届湖南省长郡中学高三月考试题（五）】已知O 为坐标原点， ()11,M x y ， ()22,N x y 是椭圆22
193
x y +=上的点，且121230x x y y +=，设动点P 满足3OP OM ON =+． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若直线():0l y x m m =+≠与曲线C 交于,A B 两点，求三角形OAB 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）22
390x y +=；（Ⅱ）153
【解析】试题分析：
(Ⅰ)设点(),P x y ， ()11,M x y ， ()22,N x y ，结合3OP OM ON =+整理变形可得动点P 的轨迹C 的方程为
22390x y +=．
(Ⅱ)联立直线与椭圆方程可得22
463900x mx m ++-=，理由弦长公式有()2
1
2
1AB k x
=
+-=
O 到直线:0AB x y m -+=的距离d =，据此可得面积函数：
ABC
S ∆=≤
22
360332
m m -+=
OAB 面积的最大值为
试题解析：
∴()223644390m m ∆=-⨯⨯- ()
2121200m =->，又∵0m ≠，得20120m <<，
3432
m
x x +=-
， 2343904m x x -=， ∴
12AB x =
-=
222
9390324180442m m m ⎛⎫-⨯-⨯=-
⎪⎝⎭，
∵点O 到直线:
0AB x y m -+=
的距离d =
，
∴122
ABC
m S ∆=
=≤22
360332
m m -+=260m =时等号成立，满足（*）
∴三角形OAB 面积的最大值为
19．【2018届甘肃省张掖市高三第一次检测】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，上顶点为
M ，若直线1MF 的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为2,N F MN ∆的周长为42（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于,P Q 两点，点P 在点Q 的上方，若112
3
F NQ F MP S S ∆∆= ，求直线l 的斜率.
【答案】（1）2212
x y +=；（2）11.
因
为1123F NQ F MP S S ∆∆=
，即111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ⎛⎫
∠=⋅∠ ⎪⎝⎭
，
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可
能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22
221x y b a
+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条
件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
20．【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】设椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离
2，已知A 是抛物线2
2:2(0)C y px p =>的焦点. （1）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程;
（2）若抛物线2C 的准线l 上两点,P Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴
相交于点D ，若APD ∆的面积为
3
，求直线AP 的方程. 【答案】（1）22
21x y += ， 2
4y x =（2）见解析
（2）设直线AP 方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立 可得点221,,1,P Q m m ⎛⎫⎛⎫--
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 联立AP 跟椭圆方程2221
{ 1
x y x my +==+消去x ，整理得()22220m y my ++=，
解得12220,2m
y y m -==+，可得22222,22m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭
∵21,
Q m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
∴222222
1221
2
BQ
m m m m k m m
m --++==--+++，则直线BQ 方程()2211m y x m m +-=-+，
令0y =，解得2
211m x m -=+，即22
1,01m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
∴有2211222
121m 3
APD
m S
m ⎛⎫-=-= ⎪+⎝⎭，
整理得2
60m -+=,
解得2
m m ==±
∴直线AP 的方程为：
10,10,220,220x x x x -=--=+-=-= .
21．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点()2M t ，（0t >）在椭圆的准线上. （1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值.
【答案】(1) 2212
x y += (2) 圆的方程为()()22
125x y -+-=2
点睛：圆中涉及直线与圆的位置关系时，可考虑平面几何得性质，特别是半弦长，弦心距，半径构成的直角三角形，可以迅速解决问题，要注意使用.
22．已知椭圆C ： 22221x y a b += (a>b>0)过点(1， 32)，且离心率e ＝1
2
.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D ，且满足DA ·DB ＝0，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1) 22143x y += (2) 直线过定点(27
，0) 【解析】试题分析：（Ⅰ）由e ＝
12可得1
2
c a =，利用222a b c =+，把点(1， 32)代入椭圆方程，即可得出椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立2
2
{ 143
y kx m
x y =++=，得到根与系数的关系，利用0DA DB ⋅=，得到k AD ·k BD ＝－1，即可得出结论.
试题解析：(Ⅰ)由题意椭圆的离心率e ＝1
2
. ∴
12
c a = ∴a ＝2c
(Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由2
2
{ 143
y kx m
x y =++=得(3＋4k 2
)x 2
＋8mkx ＋4(m 2
－3)＝0， Δ＝64m 2k 2
－16(3＋4k 2
)(m 2
－3)>0,3＋4k 2
－m 2
>0，则x 1＋x 2＝2834mk
k -+，x 1·x 2＝()
22
4334m k
-+ ∴y 1·y 2＝(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2
＝(
)22
2
3434m k k -+
∵0DA DB ⋅= ∴k AD ·k BD ＝－1
又∵椭圆的右顶点D(2,0)， ∴
1212122
y y
x x ⋅=---，则y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0 (
)()22
2
2
2
2
3443
16++40343434m k m
mk
k k k --+=+++，7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得
m 1＝－2k ，m 2＝27
k -
，且满足3＋4k 2－m 2
>0 当m ＝－2k 时，l ：y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；
当m＝
2
7
k
-时，l：y＝k(x
2
7
-)，直线过定点(
2
7
，0)．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为(2
7
，0).
点睛：本题考查了椭圆的标准方程的求法，及直线过定点的证明，此题关键是联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后借助韦达定理，将向量的数量积等于零表示出来，得到方程，进而求出定点.。