高一数学必修2课件：2-3-2 平面与平面垂直的判定
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(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与 二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面 角是( )
A．∠ABC B．∠ABB1 C．∠ABA1 D．∠ABC1
[答案] C
[解析]
2．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β 垂直，记作 α⊥β .
如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，找出图中所有 互相垂直的平面．
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面 ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD ⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分
别取点P，Q，将这个二面角记作二面角 P－l－Q 记法
[破疑点]二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组 成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可 以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角定量地反 映了两个相交平面的位置关系．
[知识拓展](1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面 的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两 部分通常称为 半平面 ．从一条直线出发的两 概念 个 半平面 所组成的图形叫做二面角．这条 直线叫做二面角的 棱 ，这两个半平面叫做 二面角的面
图示 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂
平 文 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
面 字 线，则这两条射线构成的 角 叫做这个二
3 a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AADO＝2
a 3
＝
3 2.
3a
∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小是60°.
如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面 角B－AD－C后，BC＝12AB，求二面角B－AD－C的大小．
[分析] 在α内过O作OD⊥BC，连接AD ―→ BC⊥AD ―→ ∠ADO为二面角的平面角 ―→ 解Rt△ADO求角
[解析] 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为 D，连接AD.
设OC＝a，∵AO⊥α，BC⊂α， ∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD⊂平面AOD，
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.2 平面与平面垂直的判定
温故知新 1．直线与平面垂直的判定方法：①定义；②判定定理即：a ⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α， b∩c＝A ，则a⊥α. 2．两平面的位置关系：平行与相交 ． 3．角的定义：从平面内一点出发的两条 射线 所成的图形． 4．线面角的定义：一条直线与它在平面内的 射影 所成的锐 角或直角．
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画 成与水平平面的 横边 垂直．如图所示．
(3)判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线，则这两
文字语言 个平面垂直
图形语言符号语言 作用l⊥α， l⊂β ⇒α⊥β 判断两平面 垂直
[破疑点]平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过 直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记 为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题(即空间 问题)转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直 问题(即平面问题)来解决．
5．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面( )
A．有且仅有一个
B．若存在，则唯一
C．可能有无数个
D．不存在
[答案] B
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面AC所成的
角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
[答案] D
7．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三 角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面 BDC ；直线BD⊥平面ADC；直线CD⊥平面ABD .
[答案] BDC ADC ABD
新课引入
建筑物验收时是这样检测墙面垂直度的；拿一根长度为 2m的直板或棍子，使其保持与地面垂直，如果板子与墙面贴 合，则说明墙面与地面是垂直的，反之则说明墙面没有与地 面垂直．你知道为什么吗？本节我们就一起来研究这个问 题．
自主预习 阅读教材P67～69，回答下列问题． 1．二面角
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α知AO⊥OB，AO⊥OC.
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴AO＝a，AC＝ 2a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝ AC2＋AB2＝ 6a，
∴AD＝ABB·CAC＝2a·6a2a＝2
3
角 面角的平面角
图示
平
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，
面 符号 OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
角 范围
[0，π]
二面角的大小可以用它的 平面角 来度量，二面
规定 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少
度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
棱为l，面分别为α，β的二面角记为 α－l－β .如
如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与 二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为 二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
[例1] 已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O 为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的 大小．
求二面角的大小 学法指导 1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶 点的选择．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的 垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平 面角或其补角．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面 角是( )
A．∠ABC B．∠ABB1 C．∠ABA1 D．∠ABC1
[答案] C
[解析]
2．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β 垂直，记作 α⊥β .
如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，找出图中所有 互相垂直的平面．
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面 ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD ⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分
别取点P，Q，将这个二面角记作二面角 P－l－Q 记法
[破疑点]二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组 成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可 以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角定量地反 映了两个相交平面的位置关系．
[知识拓展](1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面 的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两 部分通常称为 半平面 ．从一条直线出发的两 概念 个 半平面 所组成的图形叫做二面角．这条 直线叫做二面角的 棱 ，这两个半平面叫做 二面角的面
图示 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂
平 文 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
面 字 线，则这两条射线构成的 角 叫做这个二
3 a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AADO＝2
a 3
＝
3 2.
3a
∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小是60°.
如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面 角B－AD－C后，BC＝12AB，求二面角B－AD－C的大小．
[分析] 在α内过O作OD⊥BC，连接AD ―→ BC⊥AD ―→ ∠ADO为二面角的平面角 ―→ 解Rt△ADO求角
[解析] 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为 D，连接AD.
设OC＝a，∵AO⊥α，BC⊂α， ∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD⊂平面AOD，
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.2 平面与平面垂直的判定
温故知新 1．直线与平面垂直的判定方法：①定义；②判定定理即：a ⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α， b∩c＝A ，则a⊥α. 2．两平面的位置关系：平行与相交 ． 3．角的定义：从平面内一点出发的两条 射线 所成的图形． 4．线面角的定义：一条直线与它在平面内的 射影 所成的锐 角或直角．
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画 成与水平平面的 横边 垂直．如图所示．
(3)判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线，则这两
文字语言 个平面垂直
图形语言符号语言 作用l⊥α， l⊂β ⇒α⊥β 判断两平面 垂直
[破疑点]平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过 直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记 为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题(即空间 问题)转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直 问题(即平面问题)来解决．
5．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面( )
A．有且仅有一个
B．若存在，则唯一
C．可能有无数个
D．不存在
[答案] B
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面AC所成的
角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
[答案] D
7．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三 角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面 BDC ；直线BD⊥平面ADC；直线CD⊥平面ABD .
[答案] BDC ADC ABD
新课引入
建筑物验收时是这样检测墙面垂直度的；拿一根长度为 2m的直板或棍子，使其保持与地面垂直，如果板子与墙面贴 合，则说明墙面与地面是垂直的，反之则说明墙面没有与地 面垂直．你知道为什么吗？本节我们就一起来研究这个问 题．
自主预习 阅读教材P67～69，回答下列问题． 1．二面角
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α知AO⊥OB，AO⊥OC.
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴AO＝a，AC＝ 2a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝ AC2＋AB2＝ 6a，
∴AD＝ABB·CAC＝2a·6a2a＝2
3
角 面角的平面角
图示
平
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，
面 符号 OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
角 范围
[0，π]
二面角的大小可以用它的 平面角 来度量，二面
规定 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少
度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
棱为l，面分别为α，β的二面角记为 α－l－β .如
如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与 二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为 二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
[例1] 已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O 为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的 大小．
求二面角的大小 学法指导 1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶 点的选择．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的 垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平 面角或其补角．