电能质量检测

电能质量动态检测技术的研究
摘要
随着电力电子技术的飞速发展，各种电力电子装置在工业、生活及高新技术领域获得了广泛应用，它在给人们带来巨大经济效益的同时，也带来了严重谐波污染、无功浪费等问题。

针对这一问题，广大的学者将目光投向有源电力滤波器（Active Power Filter，APF）的研究。

APF公认为是治理电网谐波及无功污染、改善电能质量最有效的装置[1]，它能有效的抑制电力系统中非线性负载引起的谐波污染，已成为电力电子技术应用中一个比较新的研究热点。

谐波电流检测方法是有源电力滤波器研究的关键技术之一，直接关系着有源电力滤波器的性能好坏[2]。

提高谐波电流检测技术水平对提高有源电力滤波器的性能具有十分重要的意义。

本文首先介绍了有源电力滤波器的基本结构和工作原理，并对一些常规的谐波电流检测方法的优缺点进行了比较。

其次，针对传统的谐波电流检测方法的缺陷，提出将神经网络与基于噪声抵消原理的自适应谐波检测相结合，利用径向基函数运算量小、收敛快、无局部极小值等优点，构造了一种基于径向基函数神经网络的谐波电流检测方法，仿真结果表明该检测方法具有很好的动态响应及畸变电流检测精度。

最后，设计了一套实验系统，对本文所采用的系统方案进行了实验验证。

仿真表明，本文所采用的有源电力滤波器检测系统方案切实可行，能够较好地实现动态检测谐波和无功功率的目的。

关键词：谐波和无功功率检测；径向基函数神经网络；有源电力滤波器。

Dynamic Power Quality Testing Technology
Research
Abstract
With the rapid development of power electronics technology, v arious electronic devices in the power industry, life and high-tech fields access to wider use. It brought great economic benefits to the people at the same time, it also brings serious harmonic pollution, waste and other issues of reactive power.To address the issues, the majority of the scholars will be eyes on the study APF.APF(Active Power Filter) has been a key project in power electronics application technology, It can effectively curb the power system in the non-linear load caused by harmonic pollution.It is the most effective method to solve harmonic and reactive power currents pollution, and improve the power quality. Harmonic current detection is one of the key technologies of APF and due to its performance is good or bad.The improvement of harmonic current detection method is very important for improving the performance of APF.
This paper, firstly, introduces the basic structure and principle of APF, and then makes comparison among some conventional harmonics detections methods. Secondly, contraposes the limitation of the traditional harmonic current detecting method based on neural network, presents the method that combines the neural network and auto adaptive harmonic current detecting method based on the principle of noise each other eliminating.As the characteristics that are small calculative quantity, fast converge, without local minimal point of Redial Basis Function (RBF), this dissertation forms a new harmonic current detecting method based on RBF. The simulation results show that the method has many advantages, such as good dynamic response, high accuracy. At last, A system is designed to verify the proposed APF scheme .The results of simulation show that the proposed APF scheme is practical and can detect harmonics and reactive power effectively.
Key words: harmonics and reactive power；RBFNN ；APF.
目录
摘要 (1)
Abstract (1)
第一章绪论 (3)
1.1引言 (3)
1.2 电能质量的研究背景及发展现状 (3)
1.2.1 电能质量的基本概念 (3)
1.2.2 电能质量问题的产生 (3)
1.2.3谐波的基本概念 (4)
1.2.4 谐波的产生及危害 (6)
1.2.5无功功率的基本概念 (7)
1.2.6 无功功率的产生及对公共电网的影响 (10)
1.3课题的目的及意义 (10)
1.4课题的主要研究内容 (10)
第二章有源电力滤波器 (11)
2.1有源电力滤波器基本原理 (11)
2.2本章小结 (12)
第三章谐波电流的检测方法 (13)
3.1 傅立叶变换法 (13)
3.1.1 傅立叶变换的基本理论 (14)
3.1.2傅立叶变换法的局限性 (18)
3.2.小波变换法 (19)
3.2.1 小波变换法基本理论 (20)
3.2.2小波变换法的局限性 (21)
3.3 自适应谐波检测法 (21)
3.3.1自适应法的基本理论 (21)
3.3.2自适应谐波检测法的局限性 (25)
3.4 其他算法 (25)
3.5 本章小节 (26)
第四章神经网络的自适应谐波电流检测方法及仿真研究 (27)
4.1基于径向基函数神经网络的自适应谐波检测方法 (27)
4.1.1 RBF 神经网络的结构模型 (28)
4.1.2 RBF 神经网络的参数调整 (30)
4.2仿真研究 (33)
4.2.1神经网络 SIMULINK 建模方法 (33)
4.2.2检测电路的仿真模型的建立 (34)
4.2.3仿真结果分析 (36)
4.3本章小结 (39)
第五章谐波电流检测系统的实验研究 (40)
5.1 检测系统方案及技术实现 (40)
5.1.1 硬件部分 (41)
5.1.2软件部分 (53)
5.2 硬件电路板调试实验 (56)
5.3本章小结 (59)
第六章总结与展望 (61)
参考文献 (63)
致谢 (66)
附录 (67)
第一章绪论
1.1引言
近年来随着电力电子技术的发展，工作在非线性条件下的各种功率器件(电弧炉、电力机车、各种整流装置等)得到了广泛应用，它们在给人类带来巨大利益同时，也把大量的谐波和无功电流注入到电网，造成系统电压、电流波形畸变，效率变低，功率因数变差，并对其他设备和装置产生扰动，给电网环境带来极大的影响，严重威胁电网的电能质量和用户设备的可靠、安全运行。

控制调节电能质量、治理谐波污染引起了全世界专家学者的广泛关注，并且也取得了一些突破性的研究成果。

而我国对这个课题的研究目前多处在起步阶段，大部分还停留在实验室水平。

本文的研究是将理论转化为实际，将理论研究转向工程应用。

因此选择这个课题是很有现实意义的。

1.2 电能质量的研究背景
1.2.1 电能质量的基本概念
站在不同角度看，关注或表征电能质量[3]问题会有不同的观点。

从供电角度看，电能质量是指供应电力的参数符合标准和供电可靠性的程度；从用电设备生产商的角度看，电能质量是指对设备所要求的电能特性；从用户角度看，电能质量是指一切会引起用电设备异常运行、故障或停电的供电电压、电流及频率的异常扰动。

通常，电能质量问题主要反映为电流质量问题。

1.2.2 电能质量问题的产生
目前的市电电网存在着严重的电能质量问题，如：电压中断、电压升降、不平衡、谐波、波动等等。

这是由于市电电网的复杂性，例如容量的不足、输变电和各种配电设备的性能及质量问题、各用电设备配置的不合理、设备之间的相互影响以及配电系统中各种非线性负载的增加、电力半导体变流设备的广泛应用、自然界的雷击地电及人为因素的影响，使得供电质量逐渐地恶化，主要表现为市电电压的波动、谐波、闪变等。

市电的恶化往往给用户带来较大的损失。

同时，用户负载中的异步电动机、变压器、荧光灯等一些阻感性负载和电力电子装置的大量应用，也引起了谐波和无功功率的大量产生，不仅增大了市电电网的负担，也造成了市电电网的严重污染。

由于供电系统中的非线性元件和负荷的原因，配电系统中的电压和电流波形均有可能偏离正弦波，即发生畸变。

广义上说，基频电流与基频电压之间的相位额定值也被认为是波形畸变，三相系统中的不平衡电流亦可归结为三相系统中的一种波形畸变。

因此，引起电能质量的问题均可归结为波形畸变，这也就是通常意义上的无功功率、谐波、三相不平衡、电压波动及电压闪变。

众所周知，上述波形畸变无论对供电系统本身还是对用户都有一定的影响。

综上所述，谐波和无功功率是影响电能质量的两个较为重要的因素。

下面对这两个概念作进一步论述分析。

1.2.3谐波的基本概念
电力系统中，理论上的电压和电流波形是工频下的正弦波，但实际的波形总有不同的非正弦畸变。

国际上公认的谐波定义为[4]：“谐波是一个周期电气量的正弦波分量，其频率为基波的整数倍”。

在电力系统中，我们通常所说的谐波主要是指频率是基波频率整数倍的正弦波，也常称为高次谐波。

从数学的角度来分析谐波，可以更清楚理解它。

根据傅立叶级数，任何周期波形都可以被展开为傅立叶级数，即：
∑∑∞=∞
=++=++=1n n 0n 01n 0n 0n 0)
t n (s i n c a )]
t n (sin b )t n (cos a [a )t (f ϕωωω （1-1）
式中： f (t)是一个角频率ω0的周期函数；
c 1sin (ω0t +ϕ1) 是基波分量，幅值为c 1，相位为ϕ1；
c n sin (n ω0t +ϕn )是第n(n >1) 次谐波分量，幅值为c n ，相位为ϕn 。

当电力系统有较强的谐波源，又没有采取有效的抑制措施时，电网的电压或电流波形就会发生畸变。

可以用傅立叶级数将畸变的电压波形u(t) 或电流波形i(t)表示成若干个正弦波叠加形式，即
∑∑==+++=+++=N 2n n 1n 111N
2
n n 1n 111)
t n (I 2)t (sin I 2)t (i )
t n (U 2)t (sin U 2)t (u ϕωϕωϕωϕω （1-2）
其中：U 1、I 1是基波电压、电流有效值；ϕ1是基波电压、电流初
相位；
U n 、I n 是n 次谐波电压、电流有效值；
ϕn 是n 次谐波电压、电流初相位。

把含有谐波的电压或电流波形用傅立叶级数表示成数学形式后，就可以清晰地看出各次谐波的幅值、初相位，便于分析和计算。

但是，在大多数情况下，不是要知道各次谐波的大小和相位，而是要知道电压或电流中谐波所占的比例。

用下面两个概念来衡量谐波所占的比例。

一个是n 次谐波含有率，另一个是谐波总畸变率，现分述如下：n 次谐波电压含有率 HRU n (Harmonic Ration U n )表示为：
001
n n 100U U HRU ⨯= （1-3） 式中：I n 为第n 次谐波电压有效值；I 1为基波电压有效值。

谐波电压含量U H 和谐波电流含量I H 分别定义为
∑∑∞=∞
===
2n 2n
H 2n 2n
H I
I U U （1-4） 电压谐波总畸变率THD u (Total Harmonic Distortion)和电流谐波总畸变率THD i 分别定义为
001H i 001
H u 100I I T HD 100U U T HD ⨯=⨯= (1-5)
根据上面所给的公式，就可以计算出电压或电流中谐波含量。

1.2.4 谐波的产生及危害
电网中的谐波主要是由各种大容量电力和用电变流设备以及其它非线性负载产生的。

引起电力系统谐波的主要谐波源有[5]：
(1) 传统非线性设备，包括电力变压器、旋转电动机以及电弧炉等。

(2) 现代电力电子非线性设备，包括荧光灯、在工业界和现代办公设备中广泛使用的电子控制装置和开关电源、晶闸管控制设备等。

其中晶闸管控制设备包括整流器、逆变器、静止无功补偿装置、变频器、高压直流输电设备等。

随着电力电子装置应用的日益增多和装置容量的不断加大，这部分所产生的谐波的比重也越来越大，目前已成为电力系统的主要谐波污染源。

谐波对公用电网和其它系统的危害主要有以下几个方面[4,5]：
(1) 谐波使公用电网中的设备产生附加的功率损耗，降低发电、输电及用电设备的效率。

在三相四线制电网系统中，零线会由于流过大量的 3 次及其倍数次谐波电流造成零线过热，甚至引发火灾。

(2) 谐波影响各种电气设备的正常工作，使旋转电机（发电机和电动机）发热、产生脉动转矩和噪声，使变压器局部严重过热，使电容器、电缆等设备过热、绝缘老化、寿命缩短，以至损坏。

(3) 谐波会导致继电保护和自动控制装置的误动或拒动，并使电气测量仪表的计量不准确。

(4) 谐波会对邻近的通信系统产生干扰，轻者产生噪声，降低通信质量；重者导致信丢失，使通信系统无法正常工作。

(5) 谐波会引起公用电网中局部的并联谐振和串联谐振，从而使谐波放大，这就使前几个方面的危害大大增加，甚至引起严重事故。

有关谐波检测技术的发展将在第三章作详细介绍，这里不再赘述。

1.2.5 无功功率的基本概念
（1） 正弦电路的无功功率和功率因数[6]
在正弦电路中，负载是线性的，电路中的电压和电流都是正弦波。

设电压和电流可分
别表示为：
t Usin 2u ω= (1-6)
q p i i t cos sin 2t sin Icos 2)-t (Isin 2i +=-==ωϕωϕϕω (1-7) 式中 ϕ----- 电流滞后电压的相角。

电流i 被分解为和电压同相位的分量i p 和比电压滞后 900的分量i q ，即
t cos Isin 2i t
sin Icos 2i q p ωϕωϕ-== (1-8)
电路的有功功率P 就是其平均功率，即
⎰==πϕωπ20
UIcos )t (uid 21P (1-9)
电路的无功功率定义为
ϕUIsin Q = (1-10)
其物理意义为：无功功率只是描述了能量交换的幅度，而并不消耗功率。

另外两个和无功功率相关的概念分别表述如下：
视在功率 UI S = (1-11) 功率因数 S
P =λ (1-12) 由以上定义可知 222Q P S += (1-13)
（2）非正弦电路的无功功率和功率因数[7]
在含有谐波的非正弦电路中，有功功率、视在功率和功率因数的定义均和正弦电路相同，而且这几个量的物理意义也没有变化。

有功功率P 为：
⎰∑∞
===π
ϕωπ201n n n n cos I U )t (uid 21P (1-14)
电压和电流的有效值分别为：
∑∞==1n 2n U
U (1-15)
∑∞
==1n 2n I
I (1-16)
因此，视在功率为
∑∑∞=∞===1n 2n 1n 2
n
I U UI S (1-17)
含有谐波的非正弦电路中的无功功率的情况比较复杂，至今没有被广泛接受的科学而权威性的定义。

定义无功功率
22P S Q -= (1-18)
这里，无功功率Q 只是反映了能量的流动和交换，并不反映能量在负载中的消耗。

在这一点上，它和正弦电路中无功功率最基本的物理意义是完全一致的。

因此，这一定义被广泛接受。

但是，这一定义对无功功率的描述是很粗糙的。

在公共电网中，通常电压的波形畸变都很小，而电流波形的畸变则可能很大。

因此，不考虑电压畸变，研究电压波形为正弦波、电流波形为非正弦波时的情况有很大的实际意义。

设正弦电压有效值为U ，畸变电流有效值为I ，其基波电流有效值及与电压相角差分别为I 1和ϕ1，n 次谐波有效值为I n 。

考虑到不同频率的电压电流之间不产生有功功率，可以得到
21
22f 211f 1
1I U Q P sin UI Q cos UI P =+==ϕϕ (1-19)
∑∑∞
=∞==--=+==2n 2n
22f 2222
n 2n 2212222I U Q P S D I
U
I U I U S (1-20) 在这种情况下，Q f 和D 都有明确的物理意义。

Q f 是基波电流所产生的无功功率，D 是谐波电流所产生的无功功率。

这时功率因数为
11111cos cos I
I UI cos UI S P ϕνϕϕλ==== (1-21) 式中，ν=I 1/I ，即基波电流有效值和总电流有效值之比，称为基波因数，而cos ϕ1称为位移因数或基波功率因数。

可以看出，功率因数是由基波电流相移和电流波形畸变两个因数决定的。

总电流也可以看成由三个分量，即基波有功电流、基波无功电流和谐波电流组成。

1.2.6 无功功率的产生及对公共电网的影响
在工业和生活用电负载中，阻感负载占有很大的比例。

异步电动机、变压器、荧光灯等都是典型的阻感负载。

阻感负载必须吸收无功功率才能正常工作，这是由其本身的性质所决定的。

电力电子装置等非线性装置也要消耗无功功率，特别是各种相控装置。

无功功率对公用电网的影响表现为：增加设备容量；设备及线路损耗增加；使线路及变压器的电压降增大，如果是冲击性无功功率负载，还会使电压产生剧烈波动，使供电质量严重降低。

1.3课题的目的及意义
面对电力谐波和无功功率危害日益广泛的状况，两者的综合治理问题就显得十分必要。

目前常见的LC无源滤波器虽然简单易行，具有投资少、效率高、运行可靠等优点，但也存在着很多缺点。

有源电力滤波器作为一种能明显改善电能质量的关键技术，能够很好地克服传统LC无源滤波的缺点。

但目前我国的有源滤波技术仍处于试验研究阶段，在容量、成本、稳定性等方面都还没达到实用化的要求，因此加强对有源滤波技术的研究，推动其在工业中的实际应用，是一个具有重要意义的课题。

1.4课题的主要研究内容
本文对有源电力滤波器的基本工作原理、系统结构、目前常见的谐波电流检测方法方法进行了系统地介绍与分析，在此基础上提出一套动态检测谐波和无功功率的有源电力滤波器系统方案，其中检测部分以DSP 为核心。

为了实时、准确地检测出电路中的谐波和无功电流分量，本文采用一种基于提出采用基于径向基函数神经网络的自适应谐波检测方法，详细研究了该检测方法基本原理，并对其进行了仿真。

最后通过一套实验装置，对本文所采用的系统方案进行了实验验证。

第二章 有源电力滤波器
与传统的LC 无源滤波器相比，有源电力滤波器（Active Power Filter ，APF ）[8]
以其高度的可控性和快速的响应性逐渐成为电网谐波和无功补偿的主要研究方向。

有源电力滤波器的基本原理是检测补偿对象的电流和电压，分析计算后向电网注入与谐波和无功电流幅值相等，相位相反的补偿电流，从而达到净化电网的作用。

2.1有源电力滤波器基本原理
有源电力滤波器的总体构成如图 2-1 所示。

图中的补偿分量检测及PWM 控制回路为对负载电流进行检测，分离出谐波电流部分，用以控制主电路输出相应的补偿电流。

对主电路输出电流进行检测是为了使主电路输出的电流更好地跟踪由于负载电流变化而引起的谐波电流大小的变化。

将图 2-1 中的负载电流i l 按傅立叶级数展开为：
lh
1q 1p 2n n n 11111n n n l i i i )t n (sin I t cos sin I t sin cos I )
t n (sin I i ++=+++=+=∑∑∞
=∞
=θωωθωθθω (2-1)
其中：i lp = I 1 cosθ1 sinωt, 为基波有功电流；
i 1 = I 1 sinθ cosωt ，为基波无功电流；
i lh = ∑∞=2n I n sin(nωt +θn )，为高次谐波电流。

图2-1 有源电力滤波器总体构成框图
由图2-1 可知i s= i l+i c，即负载电流i l由电网电流i s和有源电力滤波器输出电流i c共同提供，如果控制有源电力滤波器的输出电流，使i c= -i lh，则电网中就只有基波电流了，即i s= i lp + i lq，这样就达到补偿谐波的目的。

简言之，并联型有源电力滤波器相当于并联在电网上的受控电流源，它实时检测负载中的谐波电流，并产生与之大小相等而方向相反的谐波电流，使流入电网的谐波电流基本为零。

进一步分析式（2-1）还会看到，有源电力滤波器也可以同时用来补偿无功功率，这时只需使i c= -(i lq + i lh) ，则i s = i lp即电网中就只含基波有功电流分量。

本文主要做的工作就是研究补偿分量的检测，控制部分有其他成员来完成，这里不再详细介绍。

2.2本章小结
有源电力滤波器能够动态地检测电网中的谐波和无功功率，因此它成为一种改善电能质量的关键技术，许多领域的学者都在对其进行不断的研究。

本章主要介绍了有源电力滤波器的工作原理，为下文的检测技术提出了能否快速的响应变化的电流的要求。

第三章谐波电流的检测方法
对于APF而言，实时准确地检测出谐波电流是非常关键的，它的快速性、准确性、灵活性以及可靠性直接决定APF的补偿性能。

为了能快速检测谐波电流，人们已经提出了许多方法，典型的谐波检测方法有：傅立叶变换法、小波变换法、神经网络其他一些算法等等。

但是，上述方法在实际运用中均有不同程度局限及缺点。

本章将介绍几种常用的谐波检测方法，并对他们的基本检测原理优缺点进行比较。

3.1 傅立叶变换法
1822年法国数学家傅立叶(J.Fourier)首次提出并证明了将周期函数展开为正弦级数原理，从而奠定了傅立叶级数(Fourier Progression,FP)与傅立叶变换(Fourier Transformation, FT)的理论基础。

二者后被统称为傅立叶分析(Fourier Analysis，FA)。

傅立叶提出的傅立叶分析为谐波分析提供了一种理论方法。

为了使傅立叶分析应用于工程实际，人们提出了散傅立叶变换(Discrete Fourier transform, DFT)，但是离散傅立叶变换因为计算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年，美国Cooly和Tukey两人提出快速傅立叶变换(Fast Fourier Transformation, FFT)之后，傅立叶分析才真正从理论走向实践，成为大家爱不释手的一种数学工具[ 9-11 ]。

FFT是当今谐波检测中应用最广泛的一种谐波检测方法，该方法通过FFT将检测到的一个周期的谐波信号进行分解，得到各次谐波的幅值和相位系数，将要抵消的谐波分量通过带通滤波器或傅立叶变换器，得出需要的误差信号。

3.1.1 傅立叶变换的基本理论
1）傅立叶级数的三角形式
一个周期我T 的周期性函数可表示为：
)kT t (f )t (f += K =0，1，2,… (3-1)
若该函数f(t)满足狄里赫利条件，就可分解成无限个三角级数的形式:
∑∞=++=1
n n 1n 0)t n (sin c c )t (f ϕω
∑ℵ=++=1n 1n 1n 0)t sinn b t cosn a (c ωω （3-2） 式中：T 21πω=—周期函数的基波角频率； 2n 2
n n b a c +=—各频率成分的振幅； n
n 1n b a tg -=ϕ—各频率成分的初相角。

由于三角函数是完备的正交函数组，利用其正交性容易求得各系数的计算式为: ⎰=T 00dt )t (f T
1c (3-3) ⎰=T 0
1n tdt cosn )t (f T 2a ω (3-4) ⎰=T 0
1n tdt sinn )t (f T 2b ω (3-5) 这种算法在计算机上实现时，就是对离散的采样值进行运算，式(3.4),(3.5)可 表示为:
∑-==1N 0k k n nk N
2cos f N 2a π， ∑-==1N 0k k n nk N
2sin f N 2b π，n=1,2,…N-1 (3-6)
2) 傅立叶的指数形式
因为指数函数组{t jn 1e ω}，(n=0，± 1，± 2,… )是一个完备的正交函数，所以一个周期函数f(t)也可以由指数函数的线性结合来表示:
t
j22t j 1t j n t j 2t j 1011n121e F e F e F e F e F F )t (f ωωωωω----+++++++=
∑+∞-∞=-=
+++=n t jn n t jn n 11e F e F ωω
),2,1,0(n ±±= (3-7) 式中：T 21πω=
由于指数函数是完备的正交函数组，利用正交性可求得上式各项系数为:
dt e )t (f T 1dt e )t (f T 1F T 0
t jn T 0t jn n 11⎰⎰==-ωω (3-8) 比较式(3-2)和式(3-7)的第 n 次谐波项可得
)jb a (21F n n n -=, )jb a (2
1F n n n +=- (3-9) 式中 ： a n 和 b n — 实数
F n 和 F -n —一 般为复 数 如令n j n n e F F θ=，
则 n n j n j n n e F e F F θθ==--- (3-10) 将上式代入式(3.9)比较可得
n n n cos F 2a θ= , n n n sin F 2b θ-= (3-11)
)a b (tg n n 1n -
=-θ , n 22n c 21b a 21F =+= (3-12)
式(3.7)中第n 次谐波为:
)t n (cos F 2e e F e F e F n 1n t -jn j n t jn n t jn n 1n 11θωωθωω+==+-- (3-13) 将上式与式(3.2)的第n 次谐波相比，两者的初相角θn 和ϕn 相差900由此可见， 三角Fourier 级数和指数Fourier 级数既是不同类型的级数，又是对同一函数的两种不同表示方法。

一个级数的系数可以由另一个级数的系数导出。

3) 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Tran form ，简称DFT )
实际上，由输入信号采样所到的离散时间序列都是有限长的，
在式(3-8)中，取离散时间点N T k t = ,K f )N T k (f =,kn N 2j t jn e e 1π
ω--=, 以累加和代替积分，于是可得
N
T e f T 1F 1N 0k N 2j k n ⋅=∑-=-π , 即 ∑---=1N 0
k kn N 2j k n e f N 1F π , n=0,1,2… (3-14) 令N 2j N e W π
-=，在上式中当n=0时,1W W 0N kn N ==,F 0 = f 0 + f 1+ f 2
+…+ f N-1, F 0称为直流分量；当n=1次谐波分量，其等式则为
1N n )1N (N 22n N 1n N 0n f W f W f W f F --++++=
4) 快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform ，简称FFT )
若N=2m 取(m 为整数)，可导出DFT 的快速算法，即所谓的FFT ，其实质就是利用旋转因子W N 具有明显的周期性和对称性，不断把长序列的DFT 分解成几个短序列的DFT ，并利用W N 的周期性和对称性来减少DFT 的运算次数。

分解过程如下：
己知N = 2m ，将{f k }分解成奇、偶两个序列，则式（3-14）改写成：
∑∑∑-=++-=--+==12N 0r n )12r (N 12r 12
N 0r 2rn N 2r 1N 0
k kn N k n W f W f W f F ∑∑=-=++=1_2
N 0r 12N 0r rn 2N
12r n N rn 2N 2r )W (f W )W (f n=0,1,…,N-1 (3-15) 由于,W 2 N 2N =ω n N
2N n N
W W -=+ 故可将式(3.15)分成上半部和下半部两个N/2点的序列计算:
∑∑-=-=++=12N 0k 12N 0r rn 2N
12r n N rn 2N 2r n W f W W f F (n=0,1,2,…,12
N -) (3-16) 将式（3.16）的N/2点DFT 再分成奇偶两部分，即分成4个N/4点DFT ，如此分下去，直至分成N/2个2点DFT 为止，即最后每个短序列只有两点，其DFT 运算已不再需乘法。

此方法减少了运算次数，加快了运算速度。

5) 快速傅立叶算法与离散傅立叶算法运算的比较
由FFT 算法的分解过程可知，N = 2m 时，FFT 分成m 段计算，在每段中 都能组成N/2个节点对，故FFT 算法总共需要的复数乘次数。

N 2M log 2
N m 2N )2(C =⋅= (3-17) 复数加次 C A (2) = N m = N log 2N (3-18) 而直接计算DFT 的复数乘为N/2 次，复数加为N(N-1)次，当 N ＞＞1时，N 2＞＞(N/2)log 2N , 从而 FFT 算法比DFT 算法的运算次数大大减少。

例如 ，N = 210=1024
时 ,204851201048576log )2/N (N N 2
2==。

这样，就使运算效率提高二百多倍。

图3-1为FFT 算法和DFT 算法所需运算量与采样点数N 的关系曲线。

由此图更直观地看出FFT 算法的优越性。

显然，N 越
大，优越性就明显。

图3-1 FFT算法与DFT算法所需乘法次数的比较曲线
3.1.2傅立叶变换法的局限性
目前，基于FFT技术已相当成熟，但是FFT也有它的局限性: （1）从模拟信号中提取全部频谱信息，需要取无限的时间量，使用过去的和将来的信号信息只能计算区域频率的频谱；
（2）没有反映出随时间变化的频率，当人们需要在任何希望的频率范围上产生频谱信息时，FFT不一定适用；
（3）由于一个信号的频率与其周期长度成反比，对于高频谱的信息，时间间隔要相对的小，以给出比较好的精度，而对于低频谱的信息，时间间隔要相对地宽以给出完全的信息，亦即需要一个灵活可变的时间频率窗，使在高“中心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动变宽，FFT自身并没有这个特性。

目前
谐波的FFT检测都是基于这样的假设：波形是稳态和周期的，采样的周波数是整数的，针对FFT这一局限性，1946年Gabor提出的短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transformation, STFT)(又称加窗FT或Gabor变换)，对弥补FT 的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这个问题；
（4）FFT需要一定时间的采样值，计算量大，计算时间长使得检测时间较长，检测结果实时性较差；
（5）即使信号是稳态的，当信号频率和采样频率不一致时,使用FFT也会产生频谱泄漏效应和栅栏效应，使计算出的信号参数(频率、幅值和相位)不准确，尤其是相位的误差很大，有时无法满足检测精度的要求，为了提高检测精度，需要FFT进行改进，已有的方法主要有利用加窗插值算法对快速傅里叶算法进行修正、修正采样点法及利用数字式锁相器(DPLL)使信号频率和采样频率同步，其中加窗插值算法已发展出矩形窗、海宁窗、布莱克曼窗、布莱克曼窗-哈里斯窗等数十种窗供不同场合选择使用。

目前，在电力系统中稳态谐波检测中大多采用FFT及其改进算法，而对于波动谐波或快速变化的谐波，则需要采取其他方法。

3.2.小波变换法
小波变换(Wavelet Transformation, WT)[12]是针对FFT在分析非稳态信号方面的局限性形成和发展起来的一种十分有效的时频分析工具。

WT的发展最早可以追溯到1910年Haar提出的小波规范正交基，但是WT直到1989年才作为新兴学科正式诞生。

WT采用不同尺度的分析方法能在信号的不同部位得到最佳的时域分辨率和频域分辨率，为非稳态信号的分析提供了一条新的途径[13]。

WT 与FFT相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis)，它克服FFT在频域完全局部化而在时域完全无局部性的缺点，对波动谐波、快速变化谐波的检测有很大优越性，目前是波动谐波、快速变化谐波的主要检测方法。