人教版第六章 实数单元达标提优专项训练试卷

人教版第六章 实数单元达标提优专项训练试卷
一、选择题 1．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（ ）．
A ．1
B 2
C 3
D 6 2．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( ) A ．n +1 B ．21n + C 1n +D 21n 3．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把(0)a a a a a a ÷÷÷
÷÷≠记作a ⓒ，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的
是（ ） A ．任何非零数的圈2次方都等于1
B ．对于任何正整数a ，21()a
a =④ C ．3=4④④
D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数.
4．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）
A ．原点左侧
B ．原点或原点左侧
C ．原点右侧
D ．原点或原点右侧 5．定义a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-则下列结论正确的有（ ）个.
①3＊2=11.
②()215⊕-=-. ③（13＊25）712912425⎛⎫⊕⊕=- ⎪⎝⎭
. ④若a ＊b=b ＊a ，则a=b.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2-与12- B ．|2-2
C 2(2)-38-
D 38-38-7．有下列四种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③平方根等于它本身的数为0和1；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数；
其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．下列计算正确的是（ ）
A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭
B ．()239-=
C 2=±
D ．()5
15-=-
9．下列各数中3.14，0.1010010001…，﹣
17，2π有理数的个数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．下列说法正确的是（ ）
A ．a 2的正平方根是a
B 9=±
C ．﹣1的n 次方根是1
D 一定是负数 二、填空题
11．与0.5_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 12．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．
13．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣
1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．
14．下面是按一定规律排列的一列数：
14，37，512，719，928
…，那么第n 个数是__． 15．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______.
16．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求1＝_____．
17．3是______的立方根；81的平方根是________2=__________．
18．将2π这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________．
19．已知a 、b 为两个连续的整数，且a b ，则a +b ＝_____．
20．若x 、y 分别是8-2x -y 的值为________．
三、解答题
21．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，
log a (M •N )=log a M +log a N ．
(I )解方程：log x 4=2；
(Ⅱ)log 28=
(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案)
22．规律探究，观察下列等式：
第1个等式：111111434a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第2个等式：2111147347a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式：311117103710a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式：41111101331013a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭
请回答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：= ___________ = ___________
（2）用含n 的式子表示第n 个等式：= ___________ = ___________(n 为正整数） （3）求1234100a a a a a +++++
23．观察下列各式 ﹣1×
12＝﹣1+12
﹣1123⨯＝﹣11+23 ﹣1134⨯＝﹣11+34
（1）根据以上规律可得：﹣
1145⨯＝ ；11-1n n +＝ （n ≥1的正整数）． （2）用以上规律计算：（﹣1×
12）+（﹣1123⨯）+（﹣1134⨯）+…+（﹣1120152016
⨯）. 24．观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 （1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是 （2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .
请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。

25．计算：
（1）()23201811
22⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
（23
26．阅读下列解题过程：
为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则
2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以
5123505121:1222...221S =-+++++=-，即；
仿照以上方法计算：
（1）2320191222...2+++++= .
（2）计算：2320191333...3+++++
（3）计算：101102103200555...5++++
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】
解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8) 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和
．
故本题选B ．
【点睛】
本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
2．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案．
【详解】
解：这个自然数是2n ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21n +，
．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据定义依次计算判定即可．
【详解】
解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、a ④=21111()a a a a a a a a a ÷÷÷=⨯
⨯⨯=； 所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4④=4÷4÷4÷4=116
，，则 3④≠4④； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；
故选：C ．
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
4．B
解析：B
【分析】
根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】
解：由a-|a|=2a ，得
|a|=-a ，
故a 是负数或0，
∴实数a 在数轴上的对应点在原点或原点左侧
故选：B ．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．
5．B
解析：B
【分析】
根据新定义的运算把各式转化成混合运算进行计算，即可得出结果.
【详解】
解：∵a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-，
∴①3＊2=3×3-2=7，故①错误；
②()2
2112145,⊕-=--=--=-故②正确； ③（13＊25）7124⎛⎫⊕⊕ ⎪⎝⎭
. 21217(3)()3542⎡⎤=⨯-⊕-⎢⎥⎣⎦ 3(12)5
=⊕- 2312()5
=-- 30925
=- 故③错误；
④若a ＊b=b ＊a ，则有3a －b=3b-a,
化简得a=b,
故④正确；
正确的有②④，
故选：B
【点睛】
本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.
6．C
解析：C
【分析】
先化简，然后根据相反数的意义进行判断即可得出答案.
【详解】
解：A. 2-与12
-不是一组相反数，故本选项错误；
B. |，所以| 不是一组相反数，故本选项错误；
，
故选：C
【点睛】
本题考查了相反数，能将各数化简并正确掌握相反数的概念是解题关键.
7．C
解析：C
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．
【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
2=；
③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．
综上，正确的个数有3个，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据有理数的乘方以及算术平方根的意义即可求出答案．
【详解】
解：A.211525⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，所以，选项A 运算错误，不符合题意； B.()2
39-=，正确，符合题意；
2=，所以，选项C 运算错误，不符合题意；
D.()511-=-，所以，选项D 运算错误，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了有理数的运算以及求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 9．C
解析：C
【分析】
直接利用有理数的定义进而判断得出答案．
【详解】
解：3.14，0.1010010001…，-
17 ，2π 3.14，-17＝-2共3个.
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键． 10．D
解析：D
【分析】
根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断A 、B 、D ，根据乘方运算法则判断C 即可．
【详解】
A ：a 2的平方根是a ±，当0a ≥时，a 2的正平方根是a ，错误；
B 9=，错误；
C ：当n 是偶数时，()1=1n - ；当n 时奇数时，()1=-1n -，错误；
D ：∵210a --< ，∴
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义以及乘方运算，掌握相关的定义与运算法则是解题关键． 二、填空题
11．>
【解析】
∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.
解析：>
【解析】
∵1112
0.52222-=-=20-> , ∴202> , ∴10.52
> ,故答案为>.
12．11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n 的值，进而求出m 的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n ﹣5＝0，
解得n ＝2，
∴m ＝（2+1）2＝9，
∴m+n ＝9+2＝11．
故答
解析：11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n 的值，进而求出m 的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n +1+n ﹣5＝0，
解得n ＝2，
∴m ＝（2+1）2＝9，
∴m +n ＝9+2＝11．
故答案为11．
【点睛】
此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n 的值是解题关键．
13．4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x ，进而可得方程﹣2+2x=2+x ，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根
解析：4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x ，进而可得方程﹣2+2x=2+x ，解得：x=4. 故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.
14．【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,
∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,
∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：2213
n n -+ 【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,
∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,
∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3
n n -+. 15．0
【解析】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
解析：0
【解析】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
16．【分析】
根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c+d ＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a 、b 互为倒数，
∴ab ＝1，
∵c 、d 互为相反数，
∴c+d ＝0，
∴＝﹣1+0+1＝0．
解析：【分析】
根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a 、b 互为倒数，
∴ab ＝1，
∵c 、d 互为相反数，
∴c +d ＝0，
∴1＝﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
17．±9 2-
【分析】
根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；
【详解】
解：∵ ，
∴3是27的立方根；
∵ ，
∴81的平方根是 ；
∵ ，
∴；
故答案为：2
解析：
【分析】
根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；
【详解】
解：∵3327= ，
∴3是27的立方根；
∵2(9)81±= ，
∴81的平方根是9± ；
2< ，
22=
故答案为：27，9±，；
【点睛】
本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．
18．＜＜
【分析】
先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．
【详解】
==，==，
∵＞3＞2，
∴＜＜，即＜＜，
故答案为：＜＜
【点睛】
本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解
解析：3＜2
π 【分析】
先根据数的开方法则计算出3的值，再比较各数大小即可． 【详解】
33=22=32-=32， ∵π＞3＞2，
∴22＜32＜2π＜2
π，
＜2
π 【点睛】
的值是解题关键． 19．9
【分析】 首先根据的值确定a 、b 的值，然后可得a+b 的值．
【详解】
∵＜，
∴4＜＜5，
∵a＜＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的
解析：9
【分析】
a、b的值，然后可得a+b的值．
【详解】
<
∴45，
∵a b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．20．【分析】
估算出的取值范围，进而可得x，y的值，然后代入计算即可．【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分x＝4，小数部分y＝，
∴2x－y＝8－4＋，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了估算无理
解析：4+
【分析】
估算出8-x，y的值，然后代入计算即可．【详解】
解：∵34
<<，
∴4<85，
∴8x ＝4，小数部分y ＝448=
∴2x －y ＝8－44=
故答案为：4
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出x ，y 的值．
三、解答题
21．(I ) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.
【分析】
(I )根据对数的定义，得出x 2=4，求解即可；
(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；
(Ⅲ)根据log a (M •N )=log a M +log a N 求解即可．
【详解】
(I )解：∵log x 4=2，
∴x 2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
(Ⅱ)解：∵8=23，
∴log 28=3,
故答案为3；
(Ⅲ)解：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018
= lg 2•( lg 2+1g 5) +1g 5﹣2018
= lg 2 +1g 5﹣2018
=1-2018
=-2017
故答案为-2017.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．
22．（1）11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
；（2）[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦；（3）100301
. 【分析】
（1）观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母，再依照前4个等式即可得出答案；
（2）根据前4个等式归纳类推出一般规律即可；
（3）利用题（2）的结论，先写出1234100a a a a a +++++中各数的值，然后通过提
取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可.
【详解】 （1）观察前4个等式的分母可知，第5个式子的分母为1316⨯
则第5个式子为：51111131631316a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 故应填：11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
； （2）第1个等式的分母为：14(130)(131)⨯=+⨯⨯+⨯
第2个等式的分母为：47(131)(132)⨯=+⨯⨯+⨯
第3个等式的分母为：710(132)(133)⨯=+⨯⨯+⨯
第4个等式的分母为：1013(133)(134)⨯=+⨯⨯+⨯
归纳类推得，第n 个等式的分母为：[]13(1)(13)n n +-⋅+
则第n 个等式为：[]1111313(1)(13)13(1)13n a n n n n +-⋅++⎡⎤==-⎢⎥⎣-⎦
+（n 为正整数） 故应填：[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦
； （3）由（2）的结论得：
[]10013(1001)(13100)298301311111329801a ⎛⎫==+⨯-⨯+⨯⨯=⨯- ⎪⎝⎭
则1234100a a a a a +++++ 1111144771010132983011+++++⨯⨯⨯⨯⨯= 111111111111343473711132981031013301⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++ ⎪ ⎪ ⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭ 111111111++++344771*********
3018=-⎛⎫⨯-+--- ⎪⎝⎭
1330111⎛=⨯-⎫ ⎪⎝⎭ 301301
03⨯= 1
10030=. 【点睛】
本题考查了有理数运算的规律类问题，依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键.
23．（1）
11
45
-+，
11
1
n n
-+
+
；（2）
2015
2016
-．
【分析】
（1）根据题目中的式子，容易得到式子的规律；
（2）根据题目中的规律，将乘法变形为加法即可计算出所求式子的结果．【详解】
解：（1）
1111
4545
-⨯=-+，
1111
-=-
11
n n n n
+
++
，
故答案为：
11
45
-+，
11
1
n n
-+
+
；
（2）
1111111 (1)()()()
2233420152016 -⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯1111111
1()()()
2233420152016
=-++-++-++⋯+-+
1
1
2016
=-+
2015
2016
=-．
【点睛】
本题考查规律性：数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出所求式子中数的变化的特点．
24．（1）7；2；27；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由203＜19000＜303猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；
(2)根据(1)中的方法先进行猜想，然后进行验证即可.
【详解】
(1)先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根的十位数为2，验证得19683的立方根是27，
故答案为：7，2，27；
(2)猜想：117649的立方根为49；373248的立方根为72；(本题答案不唯一)；
验证：先估计117649的立方根的个位数，猜想它的个位数是9，又由403＜117000＜503，猜想117649的立方根的十位数为4，验证得117649的立方根是49；
先估计373248的立方根的个位数，猜想它的个位数是2，又由703＜373000＜803，猜想373248的立方根的十位数为7，验证得373248的立方根是72.
【点睛】
本题考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，本题有一定的难度.
25．（1）-34；（2）3
【分析】
（1）利用乘方、立方、二次根式、开立方等概念分别化简每项，再整理计算即可； （2）利用绝对值的意义化简每一项，再整理计算即可．
【详解】
解：（1）()23
20181122⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ ()()118444=-+-⨯+-⨯
()1321=--+-
=-34；
（23
3=-
+-+-
3=
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554
-. 【分析】
仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【详解】
解：（1）根据2350511222...221+++++=-
得：2320191222...2+++++=202021-
（2）设2320191333...3S =+++++，
则234202033333...3S =+++++，
∴2020331S S -=-，
∴2020312
S -= 即：2020232019311333 (32)
-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，
则23420155555...5S =+++++，
∴201551S S -=-，
∴201514
S -= 即：20123200511555 (54)
-+++++=
同理可求⸫10123100511555...54-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101
101102103200515155555 (5444)
---∴++++=-= 【点睛】
此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．。