高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第2课时课堂探究教案新人教B版选修2_3

1.2.2 组合
课堂探究
探究一 组合数性质的应用
组合数的两个性质中的性质1主要应用于简化运算，性质2从右到左两个组合数合为一个，实现了从繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简和证明，性质2的变形一般为C m －1n ＝C m n ＋1－C m n ，它为某些项的相互抵消提供了方便．
【典型例题1】 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ C y x ＝C 2y x ，3C y ＋1x ＝11C y －1x .
(2)证明：C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2＋…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m .
思路分析：(1)解答的突破口在“C y x ＝C 2y x ”，因为等号两边是下标相同的两个组合数，故由组合数的性质1可得y ＝2y 或y ＝x －2y .(2)的证明应灵活应用C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .
(1)解：因为C y x ＝C 2y x ，所以y ＝2y 或y ＝x －2y .
若y ＝2y ，则y ＝0，y －1＜0，不合题意，舍去．
所以y ＝x －2y ，即x ＝3y ，代入3C y ＋1x ＝11C y －1x ，得3C y ＋13y ＝11C y －13y ，即3·(3y )！(y ＋1)！(2y －1)！
＝11·(3y )！(y －1)！(2y ＋1)！
. 化简得y 2－5y ＝0，所以y ＝0(舍去)或y ＝5，
所以x ＝15.
所以方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝15，y ＝5. (2)证明：左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1 ＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1
＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1
＝C 3n ＋4＋C 4n ＋4＋…＋C m －1
n ＋m －1
…
＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，
所以原式成立．
探究二 与几何有关的组合问题
解答与几何图形有关的组合问题，其解题方法与一般组合问题的求解方法基本相同，只要把几何图形中的隐含条件看作组合应用题中的限制条件即可．计算时可用直接法，也可以用间接法，当限制条件较多的情况下，需要进行分类计算．
【典型例题2】 α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点．
(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？
(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？
思路分析：注意题中关键字“最多”，理解其含义，分类完成计算．
解：(1)在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定的平面和直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C29＝36条；
又因三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定C24C15＋C14C25＋2＝72个平面．
(2)同理，在其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多，此时最多能作C34C15＋C24C25＋C14C35＝120个三棱锥．
探究三排列与组合综合应用
解答排列组合综合性问题的一般思路方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”．总的来说是：①整体分类；②局部分步；③辩证地看元素的位置；④一些具体问题要把它抽象成组合模型．
【典型例题3】有五张卡片，正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起，共可组成多少个不同的三位数？
思路分析：组成不同的三位数应保证以下两点：(1)0不能作百位；(2)每张卡片都有正、反两种可能．解答本题可根据0和1两个特殊值分类，也可利用排除法．
解法1：从0和1两个特殊值考虑，可分三类：
第一类，取0不取1，可先从另四张卡片中任选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，因此可组成不同的三位数C14·C12·C13·22个．第二类，取1不取0，同上分析可组成不同的三位数C24·22·A33个．
第三类，0和1都不取，可组成不同的三位数C34·23·A33个．
综上所述，可组成不同的三位数共C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．解法2：任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故不同的三位数共有C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．点评对于含有附加条件的排列组合问题的处理策略是：
(1)以元素为主，特殊元素优先考虑；
(2)以位置为主，特殊位置优先考虑；
(3)间接法，暂不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的部分．
探究四易错辨析
易错点：对题意理解不够，造成遗漏或重复
【典型例题4】从1～9这九个数字中，取出5个数字作排列，并把五个位置自右至左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？
错解：从1,3,5,7,9五个奇数数字中取3个排列在奇数位置上，有A35种方法，再由2,4,6,8
四个偶数数字取2个排列在偶数位置上，有A24种方法，故符合题意的排列共有A35·A24＝720(个)．
错因分析：致错原因是没有仔细审读题意，误以为“奇数位置上必是奇数”．而题设“奇数数字必在奇数位置”是指：①如果有奇数数字，则它们必须在奇数位置上；②如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；③偶数位置上一定是偶数．正解一：1,2，…，9中只有四个偶数数字，故排列中至少有一个奇数数字，一奇四偶的排列可按下列程序得到：从五个奇数数字中选取1个放在三个奇数位置中的一个上，再把4个偶数数字排在剩下的四个位置上，因此一奇四偶的排列有C15·C13·A44种，类似地，二奇三偶的排列有C25·C23·A22·A34种；三奇二偶的排列有A35·A24种，因此适合题意的排列个数是C15·C13·A44＋C25·C23·A22·A34＋A35·A24＝2 520.
正解二：转换思考角度，将本题解释为“偶数位置上的数字必是偶数”，由题意知：只有两个偶数位置，应从四个偶数中选取2个排列在这两个偶数位置上，有A24种排法，再从剩下七个数字中选取3个排列在其余三个位置上，有A37种排法，故适合题意的排列个数是A24·A37＝2 520.。