2.3.3 直线与平面垂直的性质课件1

B
D A
C (2) AC1⊥平面A1BD, ∴AC1⊥A1B,又∵
又∵是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.
练一练
1、设l、m、n为三条不同的直线，α为一个平面，下列 命题中正确的个数是 （ C） ①若l⊥α，则l与α相交；②若mα，nα，l⊥m，l⊥n 则l⊥α；③若l //m，m//n，l⊥α，则n⊥α；④若l//m，
l m
α
P
n
线面垂直面面垂直
直线与平面垂直的性质
（1）基本性质 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个 平面内的任意直线
D1 A1 B1 D C1
P
D
A
B
C
C B
A
侧棱垂直于底面，侧棱 垂直于底面的任何一条 直线。
PD⊥底面，则PD⊥AB，PD ⊥BC，等。
如图，已知直线a,b和平面α，如果 a⊥α,b⊥α那么，直线a,b一定平行吗？
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行。
b′
证明： (反证法)
如图：假设两直线b与a不平行，且 b O
可以作直线 b ' ，使其经过点O且与直线a平行
直线b与 b ' 可以确定平面 ， 设 c, 则O c 因为 a , b 所以 a c, b c
D
B

C
P
O
A
a

a OA a PA
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面 的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直
P
a PA a OA

O
A
a
已知 : = CD, EA , EB . 求证 : CD AB .
E A

例2、如图，在直三棱柱ABC —A 1B1C1中，AB=BC =BB1, D为AC的中点， （1）求证：B1C∥平面A1BD; ( 2 )若AC1⊥平面A1BD,求证B1C1⊥平面ABB1A1. B1 A1 E C1
(1)证明:连接AB1，交A1B于 E,连接DE. ∵在直三棱柱ABC —A 1B1C1中， AB=BB1，∴侧面ABB1A1是正方形， ∴E是AB1的中点，D为AC的中点 ，∴DE∥B1C，∴B1C∥平面A1BD. 侧面ABB1A1是正方形∴AB1⊥A1B ， ∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B ⊥B1C1.
b' c 又因为：b ' ∥a ， 所以：
这样在平面 内，经过直线c上同一点O就有两条直线b ，b ' 与c 垂直，显然不可能 因此：b ∥ a
（2）性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
m
l

m⊥ l ⊥
｝
m // l
有关结论： 1、垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 2、两条平行线中一条垂直于一个平面，则另 一条也垂直于这个平面； 3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线。
1、直线与平面垂直的定义
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我 们就说这条直线和这个平面互相垂直．
2、直线与平面垂直的判定
如果一条直 线和一个平 面内的两条 相交直线都 垂直，那么 这条直线垂 直于这个平 面．
m n mn B l l m l n
D O C
例1、如图，在四面体ABCD中，若AB⊥CD,AD⊥BC, 求证：AC⊥BD.
A
B
பைடு நூலகம்
O C
证明：过A作AO⊥平BCD， 垂足为O，连接BO、CO、DO, 则AO⊥CD， ∵AB⊥CD，AB∩AO=A， ∴CD⊥平面ABO，BO平面ABO， D ∴CD⊥BO。
同理，BC⊥DO，则O为△BCD的垂心 ∴CO⊥BD， ∵AO⊥BD，CO∩AO=O， ∴BD⊥平面ACO。又AC平面ACO ∴AC⊥BD
m⊥α，n⊥α，则l //n. A.1 B.2 C.3
D.4
2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD. P 提示：连接AF. A B F C D
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
练习
1、如图PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是
A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD D. PA⊥BD P 2、已知a、b是两条不重合的直线， α、β、γ是三个两两不重合的 平面，给出下列四个命题： A 若a⊥α，a⊥β，则α∥β； 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； 若α∥β，aα，bβ，则a∥b； B 若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则 a∥b。其中正确命题的序号是 （D） A. B. C. D. （C ）