转动惯量(指导书)

转动惯量指导书
力学实验室
2016年3月
转动惯量的测量
【预习思考】
１．转动惯量的定义式是什么？２．转动惯量的单位是什么？３．转动惯量与质量分布的关系？４．了解单摆中摆长与周期的关系？５．摆角对周期的影响。

【仪器照片】
【原理简述】
1、转动惯量的定义
构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和，即（1）
转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。

刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

图1
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形
设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要
的。

2、转动惯量的公式推导
测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。

本实验采用的是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。

这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法，并验证转动惯量的平行轴定理。

两半径分别为
和
（
>
）的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长
的无弹性、无质量的细线相连，半径为
的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为
；半径为
的圆盘在下，作为悬盘，其悬点到盘心的距离为。

将启动盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆（图2）。

当施加力矩使悬盘转过角
后，悬盘将绕中心轴
做角简谐振动。

图2
如图2所示，当悬盘转过
角时，悬线点
上升到
，悬盘上升高度为。

则
（2）
(3)
可得：
（4）
当
很小时，括号中第二项远小于1，作近似
（5）
式中，
为两盘静止时的垂直距离，
和
均为时间的函数。

因系统遵从机械能守恒，则对悬盘有下式（6）
式中，
为悬盘转到角
时上升的高度，
为悬盘上升的最大高度，
是悬盘的质量，
是悬盘绕中心轴的转动惯量，
是悬盘转至角
、上升至
时的角速度
，
是悬盘的上升速度。

将式（5）和式（6）分别对时间微分，经合并整理，得
（7）
此式表明，悬盘在作角简谐振动，其振动周期为
(8)
因此，可知悬盘空载时绕中心轴作扭转摆动时的转动惯量
(9)
由式（8）可以看出，振动系统的周期将取决于结构参数，
，
和振子（悬盘）的质量
及转动惯量
（而转动惯量又与质量和质量分布状况有关）。

如果将质量为，转动惯量为
的圆环放在悬盘上，则新振子质量为
，转动惯量为
，则此新振动系
统的振动周期将发生改变:
（10）
若悬盘的
、
为已知，可用比较法求得
，即联立式（8）和式（10）求解，得:
(11)
测出
、
、
后代入式（3.4-8）即可求得。

实验时，测出
、
、
、
及
，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量。

在下盘上放上另一个质量为
，转动惯量为
（对OO′轴）的物体时，测出周期为
，则有
（12）
从（12）减去（9）得到被测物体的转动惯量为：
（13）
在理论上，对于质量为
，内、外直径分别为
、
的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为。

而对于质量为
、直径为
的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为。

【拓展实验】
1. 验证平行轴定理。

2. 研究高度H与周期T的关系？
3. 研究质量分布与周期T的关系？
4. 研究转动角度对周期的影响？
5. 研究不规则物体转动惯量的测量？
【思考题】
1．扭转角α的大小对实验结果有无影响？若有影响，能否进行修正？
2．三线摆在摆动中受到空气阻尼，振幅越来越小，它的周期如何变化？请观察实验，并说出理论根据。

3．加上待测物体后，三线摆的周期是否一定比空盘的周期大？为什么？
4．在本实验中，计算转动惯量公式中的R，是否就是下圆盘的半径？它的值如何测量？
5．当待测物体的转动惯量比下圆盘的转动惯量小得多时，为什么不适宜用三线摆测量？
6．用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？
7．在测量过程中，如果下盘出现晃动对周期的测量有影响么？如有影响，应该如何避免？
8．测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？
9．三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？
10．三线摆经什么位置计时误差较小？为什么？
11．如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？
12．检验平行轴定理时，为什么要对称的放两个小圆柱体？只放置一个小圆柱体行不行？
13．实验中误差来源有哪些？如何克服？
14．比较两种方法求
的优劣？
15．在测量圆柱的转动惯量时，圆柱体上有一细丝，注意其作用。

【注意事项】
1．注意仪器的水平调节；
2．注意霍尔开关的安装；
3．注意预置次数与周期的关系；
4．注意正确启动三线摆。

【数据表格】
1．周期地测定
表1 周期与质量
悬盘质量圆环质量
测量项目
预设次数20 20
1
10个周期的总时间t（s）
2
3
4
5 平均时间(s)
平均周期(s)
2．几何参数1（
）
表2 几何参数及其间距离
测量项目
次数1 测测测测测测
2 测测测测测测
3 测测测测测测
平均值
【参考数据处理】
1．计算各量的平均值，填入表中。

2．计算
、
的值，填入表2中。

3．计算
的值，填入表3中。

4．悬盘空载时的转动惯量：
实验值：
理论值：
绝对误差：
结果表示：
相对误差：
5．圆环的转动惯量：
总转动惯量：
圆环转动惯量：
理论值：
绝对误差：
结果表示：
相对误差：
6．平行轴定理的验证总转动惯量：
一个圆柱的转动惯量：
理论值：
相对误差：
由此可知：在误差范围内，可以认为
,既平行轴定理成立。

【知识拓展】
对于质量分布均匀，外形不复杂的物体可以从它的外形尺寸的质量分布用公式计算出相对于某一确定转轴的转动惯量。

对于几何形状简单、质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量。

而对于外形复杂和质量分布不均匀的物体只能通过实验的方法来精确地测定物体的转动惯量，因而实验方法就显得更为重要。

Moment of Inertia刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

求和号（或积分号）遍及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

垂直轴定理
还有垂直轴定理：垂直轴定理
一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转
垂直轴定理
动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy
刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为 I=MK^2，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。

惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：
先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。

E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）
把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)
得到E=(1/2)m(wr)^2
由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,
K=mr^2
得到E=(1/2)Kw^2
K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。