学海导航高考数学第1轮总复习全国统编教材9.2空间直线第1课时课件理
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这与a∩l=A矛盾，所以a＼//b.
若a与b相交，设a∩b=B. 因为a α，b β，
所以B∈α，B∈β，
即B为α、β的一个公共点.
因为α∩β=l，所以B∈l，
从而b∩l= B，这与b∥l矛盾.
所以a与b不相交.故a与b是异面直线.
点评：空间直线的位置关系有三种： 平行、相交、异面.本题证两直线异面用的 是反证法.利用反证法证明时，首先是反设 (即否定结论)，并把反设作为一个推理条件， 然后逐步推理，直到得出矛盾.
所以△ABB1和△CBB1都是正三角形，
所以AB1=CB1=a，从而四面体ABCB1 为正四面体，
所以AB⊥B1C. 因为A1B1∥AB， 所以B1C⊥A1B1.
又四边形BCC1B1为菱形， 所以BC1⊥B1C，
所以B1C为异面直线A1B1和BC1的公垂线.
设B1C交BC1于D，则B1D=
1 2
所以△E1FD是等边三角形， 所以∠FE1D= 60°.
题型1 两直线的平行问题
1. 在空间四边形ABCD中，连结两条对角线
AC、BD，若M、N分别是△ABC和△ACD的重心， 求证：MN∥BD.
证明：连结AM并延长 交BC于E，连结AN并延长 交CD于F.
因为M、N分别是△ABC、△ACD的重心，
如图，在空间四边形ABCD中，
AD=AC=BC=BD=a，AB=CD=b， E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线； (2)求AB和CD间的距离.
解：(1)证明：连结CE、DE.
AC BC
AD AE
BD BE
AB AB
CE DE
AB 平面CDE
所以AB⊥EF，同理CD⊥EF，
解：连结FE1、FD，
由正六棱柱相关性质可得
FE1∥BC1， 所以∠FE1D即为E1D与BC1所成的角.
在△EFD中，EF=ED=1， ∠FED=120°，
所以 FD EF 2 ED2 2EF EDcos120. 3
在△EFE1和△EE1D中，
易得E1F E1D ( 2)2 1 3
所以EH∥FG.
(2)因为BD=6， 所以EH=3，FG 2 BD=4.
3
又四边形EFGH是梯形，
设EH与FG的距离为h， 由已知得 1 (EH+FG)·h=28， 所以7 h=228，所以h=8.
2
故平行线EH与FG的距离为8.
题型2
异面直线问题
2. 已知α∩β=l，a α， b β.
若a∩l= A ，且b∥l，求证：a与b是异面直线. 证明：假设a，b不是异面直线， 则a∥b或a与b相交. 若a∥b，因为b∥l，所以a∥l，
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)△ECD中，EC a2 b2 ED
4
所以EF a2 b2
2
参考题
斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，
∠B1BA=∠B1BC=∠ABC，
求异面直线A1B1和BC1的距离.
解：因为△ABC为正三角形， 所以∠ABC=60°， 从而∠B1BA=∠B1BC=60°. 连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a，
2. 在空间中，如果两直线a、b都平行于同 一条直线，则直线a、b的位置关系是平__行__.
3. 在空间中，如果一个角的两边和 另一个角的两边_分__别__平__行___，并且这两 个角的__方__向__相__同__，那么这两个角相等.
4. 既不平行又不相交的两直线是 _异__面__直__线___；连结平面内一点与平面外 一点的直线，和这个平面不__经__过__此__点____ 的直线是异面直线.
3. 由三线平行公理可知，在空间中， 过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.
4. 空间两直线垂直包括相交垂直和 异面垂直两种.在空间中垂直于同一条直 线的两直线可能平行、相交或异面；过 一点有无数条直线与已知直线垂直.
6. 和两条异面直线都 _垂__直__相__交___的直线， 称为异面直线的公垂线；两条异面直线的 _公__垂__线_夹在这两条异面 直线之间的长度，叫做 这两条异面直 线 的_距__离___.
1. “两直线没有公共点”是“两直线
平行”的(B ) A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
CD上的点，且 CF CG 2 .
CB CD 3
(1)证明：EH∥FG;
(2)若BD=6，四边形
EFGH的面积为28，
求平行线EH与FG的距离.
解：(1)证明：因为E、H分别
是AB、AD的中点，
所以 EH
/
/
1 2
BD
因为 CF CG 2 ，
CB CD 3
所以FG∥BD，且
FG 2，
BD 3
5. 过空间任意一点分别作两异面直线a、b的
平行线，则这两条相交直线所成___锐__角__或__直_角叫 做异面直线a和b所成的角；两条异面直线所成 的角的取值范围是 __(0__,_;如] 果两条异面直线所 成 的 角 为 9 0 ° ， 则 称2这 两 条 异 面 直 线 _互__相__垂__直____.
B1C=
故异面直线A1B1和BC1的距离为
a 2
.
a 2
.
1. 利用三线平行公理判断或证明两直 线平行，关键是找到第三条直线，使得这 两条直线都与第三条直线平行.
2. 判定两直线是否为异面直线，一般 根据图形的直观性，结合异面直线的定义 及异面直线的判定定理就能确定.证明两 直线为异面直线，通常用反证法.
所以E、F分别是BC、
CD的中点.结EF，则
EF∥BD.
因为 AM =2，AN =2，
ME
NF
所以MN∥EF.
故MN∥BD.
点评：证明空间两直线平行，可转化
为在同一平面内两直线的平行问题，
然后利用平行的判定证得平行.
如图，在空间四边形ABCD中，E、H 分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、
考点 ●空间两直线的位置关系 ●三线平行公理和等角定理
搜索 ●异面直线的概念、夹角和距离高考
1.判断两直线的位置关系，两直线平 高考 行的判定与转化. 猜想 2.异面直线所成的角和距离的分析与
计算.
1. 空间两条不同直线的位置关系有相交、 平行、异面三种，其中两相交直线是指 _有__且__只__有__一__个____公共点的两直线;两平行直线是 指在_同__一__平__面__内___;且__没__有__公共点的两直线;两 异面直线是指_不__同__在__任__何__一__个__平__面__内的两直线.
解：两直线没有公共点，可知两直线平行或
异面；而由两直线平行，可知两直线没有公
共点.即“两直线没有公共点”是“两直线平行”
的必要不充分条件.故选B.
2.如右图，正四面体S-ABC中，D为SC
的中点，则BD与SA所成角的余弦值是( C )
A. 3 B. 2
3
3
C. 3
6DBiblioteka 26解：取AC的中点E，连结DE、BE，
则DE∥SA，
所以∠BDE就是BD与
SA所成的角.
设SA=a，
则BD=BE= 3 a，DE= 1 a，
2
2
cos BDE BD2 DE 2 BE 2 3
2BD DE
6
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面 边长为1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面 对角线E1D与BC1所成的角是_6_0_°_.
若a与b相交，设a∩b=B. 因为a α，b β，
所以B∈α，B∈β，
即B为α、β的一个公共点.
因为α∩β=l，所以B∈l，
从而b∩l= B，这与b∥l矛盾.
所以a与b不相交.故a与b是异面直线.
点评：空间直线的位置关系有三种： 平行、相交、异面.本题证两直线异面用的 是反证法.利用反证法证明时，首先是反设 (即否定结论)，并把反设作为一个推理条件， 然后逐步推理，直到得出矛盾.
所以△ABB1和△CBB1都是正三角形，
所以AB1=CB1=a，从而四面体ABCB1 为正四面体，
所以AB⊥B1C. 因为A1B1∥AB， 所以B1C⊥A1B1.
又四边形BCC1B1为菱形， 所以BC1⊥B1C，
所以B1C为异面直线A1B1和BC1的公垂线.
设B1C交BC1于D，则B1D=
1 2
所以△E1FD是等边三角形， 所以∠FE1D= 60°.
题型1 两直线的平行问题
1. 在空间四边形ABCD中，连结两条对角线
AC、BD，若M、N分别是△ABC和△ACD的重心， 求证：MN∥BD.
证明：连结AM并延长 交BC于E，连结AN并延长 交CD于F.
因为M、N分别是△ABC、△ACD的重心，
如图，在空间四边形ABCD中，
AD=AC=BC=BD=a，AB=CD=b， E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线； (2)求AB和CD间的距离.
解：(1)证明：连结CE、DE.
AC BC
AD AE
BD BE
AB AB
CE DE
AB 平面CDE
所以AB⊥EF，同理CD⊥EF，
解：连结FE1、FD，
由正六棱柱相关性质可得
FE1∥BC1， 所以∠FE1D即为E1D与BC1所成的角.
在△EFD中，EF=ED=1， ∠FED=120°，
所以 FD EF 2 ED2 2EF EDcos120. 3
在△EFE1和△EE1D中，
易得E1F E1D ( 2)2 1 3
所以EH∥FG.
(2)因为BD=6， 所以EH=3，FG 2 BD=4.
3
又四边形EFGH是梯形，
设EH与FG的距离为h， 由已知得 1 (EH+FG)·h=28， 所以7 h=228，所以h=8.
2
故平行线EH与FG的距离为8.
题型2
异面直线问题
2. 已知α∩β=l，a α， b β.
若a∩l= A ，且b∥l，求证：a与b是异面直线. 证明：假设a，b不是异面直线， 则a∥b或a与b相交. 若a∥b，因为b∥l，所以a∥l，
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)△ECD中，EC a2 b2 ED
4
所以EF a2 b2
2
参考题
斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，
∠B1BA=∠B1BC=∠ABC，
求异面直线A1B1和BC1的距离.
解：因为△ABC为正三角形， 所以∠ABC=60°， 从而∠B1BA=∠B1BC=60°. 连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a，
2. 在空间中，如果两直线a、b都平行于同 一条直线，则直线a、b的位置关系是平__行__.
3. 在空间中，如果一个角的两边和 另一个角的两边_分__别__平__行___，并且这两 个角的__方__向__相__同__，那么这两个角相等.
4. 既不平行又不相交的两直线是 _异__面__直__线___；连结平面内一点与平面外 一点的直线，和这个平面不__经__过__此__点____ 的直线是异面直线.
3. 由三线平行公理可知，在空间中， 过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.
4. 空间两直线垂直包括相交垂直和 异面垂直两种.在空间中垂直于同一条直 线的两直线可能平行、相交或异面；过 一点有无数条直线与已知直线垂直.
6. 和两条异面直线都 _垂__直__相__交___的直线， 称为异面直线的公垂线；两条异面直线的 _公__垂__线_夹在这两条异面 直线之间的长度，叫做 这两条异面直 线 的_距__离___.
1. “两直线没有公共点”是“两直线
平行”的(B ) A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
CD上的点，且 CF CG 2 .
CB CD 3
(1)证明：EH∥FG;
(2)若BD=6，四边形
EFGH的面积为28，
求平行线EH与FG的距离.
解：(1)证明：因为E、H分别
是AB、AD的中点，
所以 EH
/
/
1 2
BD
因为 CF CG 2 ，
CB CD 3
所以FG∥BD，且
FG 2，
BD 3
5. 过空间任意一点分别作两异面直线a、b的
平行线，则这两条相交直线所成___锐__角__或__直_角叫 做异面直线a和b所成的角；两条异面直线所成 的角的取值范围是 __(0__,_;如] 果两条异面直线所 成 的 角 为 9 0 ° ， 则 称2这 两 条 异 面 直 线 _互__相__垂__直____.
B1C=
故异面直线A1B1和BC1的距离为
a 2
.
a 2
.
1. 利用三线平行公理判断或证明两直 线平行，关键是找到第三条直线，使得这 两条直线都与第三条直线平行.
2. 判定两直线是否为异面直线，一般 根据图形的直观性，结合异面直线的定义 及异面直线的判定定理就能确定.证明两 直线为异面直线，通常用反证法.
所以E、F分别是BC、
CD的中点.结EF，则
EF∥BD.
因为 AM =2，AN =2，
ME
NF
所以MN∥EF.
故MN∥BD.
点评：证明空间两直线平行，可转化
为在同一平面内两直线的平行问题，
然后利用平行的判定证得平行.
如图，在空间四边形ABCD中，E、H 分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、
考点 ●空间两直线的位置关系 ●三线平行公理和等角定理
搜索 ●异面直线的概念、夹角和距离高考
1.判断两直线的位置关系，两直线平 高考 行的判定与转化. 猜想 2.异面直线所成的角和距离的分析与
计算.
1. 空间两条不同直线的位置关系有相交、 平行、异面三种，其中两相交直线是指 _有__且__只__有__一__个____公共点的两直线;两平行直线是 指在_同__一__平__面__内___;且__没__有__公共点的两直线;两 异面直线是指_不__同__在__任__何__一__个__平__面__内的两直线.
解：两直线没有公共点，可知两直线平行或
异面；而由两直线平行，可知两直线没有公
共点.即“两直线没有公共点”是“两直线平行”
的必要不充分条件.故选B.
2.如右图，正四面体S-ABC中，D为SC
的中点，则BD与SA所成角的余弦值是( C )
A. 3 B. 2
3
3
C. 3
6DBiblioteka 26解：取AC的中点E，连结DE、BE，
则DE∥SA，
所以∠BDE就是BD与
SA所成的角.
设SA=a，
则BD=BE= 3 a，DE= 1 a，
2
2
cos BDE BD2 DE 2 BE 2 3
2BD DE
6
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面 边长为1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面 对角线E1D与BC1所成的角是_6_0_°_.