2010年高考数学压轴题系列训练1
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1．（14分） 已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2， 方法一： ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一： g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ，∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)， 方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ， ∴x 1=－01x ， 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2 由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ，即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.5．（14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值. 解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为 22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，， 则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-. ②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数； 当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-； 当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．。
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解5
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1．（14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x ③ ④③ ④由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分2．（12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3． 已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列； （II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --= ()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n ->又()011211nn n n n n n n C C C C -=+=++++≥2221n n +>+所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(14分)已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y k x b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，x =得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pbp k=所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5． 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 6． 数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ； （Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nn n n n b a b 即。
2010年高考数学 圆锥曲线压轴题跟踪演练系列一
备战2010高考数学 圆锥曲线压轴题跟踪演练系列一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n na f nb ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a bb b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值X 围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
破解2010年北京高考压轴题
九州此月 破解2010年北京高考压轴题100013 北京宏志中学 王芝平问题：已知集合{}{}12|(,,,),0,1,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅（2n ≥）．对于12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅，12(,,,)n B b b b =⋅⋅⋅，定义A 与B 的差为1122(||,||,,||)n n A B a b a b a b -=--⋅⋅⋅-；A与B 之间的距离为1(,)||nii i d A B ab ==-∑．（Ⅰ）证明：,,n A B C S ∀∈，有n A B S -∈，且(,)(,)d A C B C d A B --=；（Ⅱ）证明：,,n A B C S ∀∈，(,)d A B ，(,)d B C ，(,)d A C 三个数中至少有一个是偶数； （Ⅲ）设n P S ⊆，P 中有m （2m ≥）个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ．证明：()2(1)mn d P m ≤-．这是北京数学理科最后一题，满分13分．但阅卷老师带回来的数据是本题平均分仅为0.61分，几乎让所有的学生“无语！” 除这是最后一题所剩答题时间不多外，主要原因是学生长期以来的“题型训练”、机械模仿，导致对数学本质缺乏深入的理解，当遇到新颖陌生的题目时就无从下手．下面是我们拿到该题而没有看到答案时的心理活动和自然、朴素的解法，供有兴趣的师生参考．题设中给出两个定义: 集合n S 与距离(,)d A B ．集合n S 中的元素是n 元有序数组，可以理解是平面或空间中点的坐标的推广，但是，其中每个“坐标”的值都只能是0或1．集合n S 中任意两个元素A 与B 之间的“距离”，其实质就是这两个有序数组有多少个不同的对应项．由于n A B S -∈，所以(,)d A B 也可以理解成元素A B -的各个坐标的和．为证(,)(,)d A C B C d A B --=，自然想到是否有()()A C B C A B ---=-？亦即()()A C B C ---与A B-的对应项是否完全相同？在反复探索这个问题的过程中，我们得到如下起关键性作用的：定理1：集合n S 上定义的运算“差”满足以下运算律：设,,n A B C S ∈，则 ① 对称性：A B B A -=-； ② 封闭性：n A B S -∈；③ 结合律： ()()A B C A B C --=--； 以上除③外都是显然的，下面给出③的证明证明：首先，若{},,0,1x y z ∈，则||||||||x y z x y z --=--，用枚举法证明如下：即 ||||||||x y z x y z --=--规律：,,x y z 中有奇数个1时，||||||||1x y z x y z --=--=，否则||||||||0x y z x y z --=--=．所以 111222()(||||,||||,,||||)n n n A B C a b c a b c a b c --=----⋅⋅⋅--111222(||||,||||,,||||)n n n a b c a b c a b c =----⋅⋅⋅--()A B C =--．这就证明了集合n S 满足结合律：()()A B C A B C --=--． 这就是：“道理从浅说，列表即明白”．（Ⅰ）证明：,,n A B C S ∀∈，有n A B S -∈这是显然的．由结合律（③）知，()()n A B C A B C S --=--∈，再结合①（即对称性），得()()[()]A C B C A C B C ---=---（结合律）[()]A B C C =--- （对称性） [(()]A B C C =--- （结合律）A B=-．即()()A C B C A B ---=-． 所以 (,)(,)d A C B C d A B --=．注：显然()()A C B C A B ---=-是比(,)(,)d A C B C d A B --=更强的一个结论．关于（Ⅱ）我们的理解是：因为求证的目标是(,)d A B ，(,)d B C ，(,)d A C 三个数中至少有一个是偶数，所以我们马上感觉到应该寻找(,)d A B ，(,)d B C ，(,)d A C 的一个等量关系，如(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．要是这样，结论不证自明．因为只有对应项的坐标不同（0-1型或1-0型）才能产生一个单位距离，所以，可先考虑A 中有多少个1？B 中又有多少个1？比如说A 中有p 个1，B 中有q 个1．即便如此，情况仍然比较复杂，因为这样的元素A 有p n C 个,B 有q n C 个．但是，其中有一种情况对我们是非常有利的，那就是，特别地，当A ，B 中的1都在“前面”时，(,)d A B p q =-．一般情形下A与B 的距离与特殊情形有何联系呢？经过思考我们认识到，这个问题的实质就是，如果将A 中前面的0与后面的1对换，它与别的元素间的距离会发生怎样的变化？为此，我们在证明（Ⅱ）之前先给出如下：定义1：设12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅，交换A 中任意两个分量i a 与j a 的位置，叫作A 的一个“i j -置换”，记作：i j A -．定义2：设12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅的分量中有p 个1，将这p 个1都置换到前p 个分量的位置上去，即将A 的前p 个分量都换成1，后n p -个分量都换成0（前1后0），叫作A 的一个“完全置换”，记作：(1,0)A ．定理2（奇偶置换不变性）：设,n A B S ∈，则(,)i j d A B -与(,)d A B 具有相同的奇偶性．证明：设12(,,,,,,,)i j n A a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，12(,,,,,,,)i j n B b b b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1i j n ≤<≤．当i j a a =或i j b b =时，显然(,)(,)i j d A B d A B -=； 当i j a a ≠且i j b b ≠时，若i i a b =，则必有j j a b =，此时易得(,)(,)i j d A B d A B -=；若i i a b ≠，则必有j j a b ≠，不妨设1i a =，则0j a =，且0i b =，1j b =，(,)(,)2i j d A B d A B -=-．综上所述，(,)i j d A B -与(,)d A B 具有相同的奇偶性． 由定理2立即得到：定理3：设,n A B S ∈，则(1,0)(1,0),A B 之间的距离与,A B 之间的距离具有相同的奇偶性，即(1,0)(1,0)(,)(,)2d A B d A B t =-（t Z ∈）．（Ⅱ）证明：,,n A B C S ∀∈，设,,A B C 中所含1的个数分别为p ，q ，r ，不妨设0n p q r ≥≥≥≥， 显然(1,0)(1,0)(,)d A B p q =-，(1,0)(1,0)(,)d B C q r =-，(1,0)(1,0)(,)d A C p r =-， 则1(,)2d A B p q t =-+，2(,)2d A C p r t =-+，3(,)2d B C q r t =-+， 因为1313(2)()22()p q t q r t p r t t -++-+=-++，所以132(,)(,)(,)2()2(,)2d A B d B C d A C t t t d A C t +=++-=+． 其中123,,t t t 都是整数，132()t t t t =+-也是整数，所以，(,)d A B ，(,)d B C ，(,)d A C 不可能都是奇数，即其中至少有一个偶数． 注：虽然最终我们没有得到(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，但是我们却得到了一个比它稍弱的结论：(,)(,)(,)2d A B d B C d A C t +=+．这对于问题的解决与我们的设想几乎没有什么本质的区别．（Ⅲ）分析：这是一个与前两问几乎没有什么联系的问题．由于P 中有m 个元素，所以从P 中每取出两个不同的元素，就产生一个距离，这样的距离共有2m C 个．为求平均值()d P ，只需再求出P 中所有两元素距离的总和就可以了．将P 中的m 个元素排成一个n m ⨯的数表，就是求这个数表中所有两行对应项的两个数的差的绝对值的和．这看上去好象很复杂，其实我们并不需要知道每两行对应的两个数的差的绝对值的总和是什么，因为，从全局出发，利用加法的交换律，可以改变运算顺序，变“先横后纵求和”为“先纵后横求和”．证明：将P 中的m 个元素排成一个n m ⨯的数表：1112112122221212i n i nj j ji jn m m m im n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭显然P 中所有两元素间的距离的和就是上述数表中每列中的所有两数差的绝对值的和．一般地，设第i 列有i p 个1，则有i m p -个0，那么由“分步相乘原理”知，这一列为P 中所有两元素间的距离总和的“贡献”为()i i p m p -．显然2()4i i mp m p -≤（均值不等式，当m 是偶数时等号可以取到）．所以2,1(,)()4ni i A B Pi nm d A B p m p ∈==-≤∑∑，所以2,1()(,)2(1)A B Pm m n d P d A B Cm ∈=≤-∑．几点感悟：1．该方法不同于标准答案，不象标准答案那样具有高等数学的味道，但却是我们在没有看到标准答案时自己的第一感觉，是原生态的一种解法．这是较少有大学背景的一线数学教师的更真切的解题方法，姑且称之为“草根”解法吧．2．本题以高等数学思想方法为背景，考查了对所提供的信息，从逻辑关系上进行整理和分析的能力以及对数据的整体把握等方面的能力．要求考生能应用已知的知识和方法，分析一些情况和特点，找出已知和未知的联系，组织和整理若干已有的规则，形成新的高级规则，尝试解决新的问题，这其中蕴含了创造性思维的意义．具有创新性质的思维活动在解题中的一般表现是：(1) 能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解(或求证、结论)中确定所需要的信息；(2) 能在记忆系统储存的数学信息中提取有关的信息，作为解决本题的依据，推动(1)中信息的自然延伸；(3) 将(1)，(2)中获得的信息联系起来，进行加工、组合，猜想、反驳，主要是通过分析和综合，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻找正反两个方向的知识“衔接点”—— 一个固有的或确定的数学关系；(4) 将(3)中的思维过程整理，形成一个从条件到结论的行动序列．4．高考的目的之一是为高校选拔优秀新生，特别具有创新意识的学生．所以近年来高考非常重视对创新意识的考查，要求考生不仅能理解一些数学概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学和现实生活中比较新颖的问题，这对于提高学习和工作能力，对今后的人生都有重要的意义．5．因为一个优秀的数学教师在教学中要充分暴露自己思维的真实过程，所以，他必须保持一个不看答案而亲自解题的好习惯．这样，他就可以更多地理解学生的困难所在，他能与学生保持心理上的亲密接触．特别是他在解题过程中遇上的曲折和错误不能随草纸一道丢弃．如果教师掩瞒了解题中的曲折，只讲“怎么解”，不讲“为什么”，更不愿意讲述自己是如何想到的，在课堂上得心应手，左右逢源，满足于自我陶醉，这将给学生的学习产生严重的误导．这样的教师越高明，学生就越自卑．。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六1．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤ 同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分）已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.51<n a 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >-∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba bn b n b a b a n n +<+=+>∴=证法2：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bb k k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][l o g 22][l o g 21122 =+=+<n n b bb n b a n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y yPF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。
数学_2010年浙江省高考数学最新押题卷(文科)(含答案)
2010年浙江省高考数学最新押题卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设x ∈M ={1, 2}，y ∈{y|y =2x, x ∈M}，则（ ）A {x}∩{y}⊇{1, 2}B {x}∩{y}⊇{2, 4}C {x}∪{y}⊆{0, 2, 4}D {x}∪{y}⊆{0, 1, 2, 4}2. 设x ，y 是非零实数，“√x >√y”是“1x<1y ”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3. 设m 、n 为垂直的异面直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A 如果m ⊥α，n ⊥β，那么α // βB 如果m // α，n // β，那么α // βC 如果m ⊥α，n // β，那么α⊥βD 如果m ⊥α，n ⊥β，那么α⊥β 4. 1−ai1+2i 为纯虚数，i 为虚数单位，则实数a 为（ ） A 2 B 1 C 0 D 125. 计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是3455，则判断框内应填（ ）A n <7B n ≤7C n ≤8D n ≤96. 过点P(2, 1)的直线y −1=k(x −2)分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，若OP →=tOA →+sOB →，O 为坐标原点，则1t+1s的最小值是（ ）A 4B 3C 2D 17. 如图，已知△ABC 内接于圆⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙O 的切线，若∠B =30∘，AC =√3，则△CAD 的面积为（ ） A 2 B √34 C √32 D3√348. 世博园某一地区馆的一个七面体建筑的正视图，俯视图与侧视图均为边长50米的正方形，则此建筑的体积为( )m 3． A 503 B5043C 50412 D50469. 命题“对任意函数f(x)，[f(x)]2+[f′(x)]2≠1”的否定是（ ）A 不存在函数f(x)，使[f(x)]2+[f′(x)]2=1B 不存在函数f(x)，使[f(x)]2+[f′(x)]2≠1 C 存在函数f(x)，满足[f(x)]2+[f′(x)]2≠1 D 存在函数f(x)，满足[f(x)]2+[f′(x)]2=110. 如果双曲线x 2−my 2=1(m <1)上一点P 与两焦点F 1，F 2构成的三角形面积为1，则此三角形的形状为（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 等边三角形二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 等比数列1，2，22，23，24，…，各项按下列规律放入下面n 个n 2宫格序列内，则第10个102宫格中，第二行第1格中放入的是________． 12. 椭圆与双曲线之间有许多类似的性质：P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上任一点，焦点F 1、F 2，∠F 1PF 2=α，三角形PF 1F 2面积为b 2sinα1+cosα，类比，P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)上任一点，焦点F 1、F 2，∠F 1PF 2=α，三角形PF 1F 2面积为________．13. 某A 型展示牌用2个正方形和4个三角形图案制作；B 型展示牌用4个正方形和5个三角形图案制作，供应商最多能提供正方形28个，三角形52个，制作完成的A 、B 型展示牌以每个14元和22元出售，为达到最大销售额，两种展示牌各卖了________个．14. 一本书中撕下n 张，从中取出m(m ≤n)张，平放在桌面上，所见页码之和为偶数的概率为________A 0.2B 0.4C 0.5D 0.6．15. 给定圆C:x 2+y 2=4，过点P(1, 0)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A 、B 和M ，N ，则|AB||MN|+|MN||AB|的最大值是________．16. 在宽为8米的教室前面有一个长为5米的黑板，距离黑板1米，间隔1米的学生P i ，i =1，2，…，9，如图，当视角∠AP i B 小于45∘时，该学生处在教室黑板盲区，此类学生是________．17. 若(1, 2)是一元二次不等式ax 2+x −2>0解集的真子集，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 18. 已知函数f(x)=2asin2x +2sinxcosx −a （a 为常数）在x =3π8处取得最大值（1）求a 值；（2）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （3）若f(θ)=15，0<θ<3π8，求cosθ19.单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 中点，平面A 1EF交BB 1于M ，交DD 1于N（1）画出几何体A 1MEFN −ABEFD 的直观图与三视图；（2）设AC 中点为O ，在CC 1上寻找一点G ，使OG ⊥平面A 1EF ，求CG 的长．20. 设单调递增等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=7，且a 3是a 1，a 2+5的等差中项， （1）求数列{a n }的通项；（2）数列{c n }满足：对任意正整数n ，c 1a 1+c 2a 2+...+c n a n=22+2n−112n−1均成立，求数列{c n }的前n 项和．21. 设函数f(x)=(x 2+ax −2a −3)x （1）求f(x)的单调区间；（2）设a >0，g(x)=(a 2+8)x +30，确定f(x)与g(x)在[0, 3]上值域； （3）若存在x 1，x 2∈[0, 3]，使得|f(x 1)−g(x 2)|<3成立，求a 的取值范围．22.“笑脸曲线”由曲线C 1和C 2构成，如图，C 1是以O 为顶点、F为焦点的抛物线的一部分，曲线C 2是以O 为焦点、Q 为顶点的抛物线的一部分，A(4√2, 2)是曲线C 1和C 2的交点，（1）求曲线C 1和C 2所在的抛物线方程；（2）在C 2上是否存在点P ，AP 交x 轴于M ，使△OAM 为等腰三角形？如果存在，求出P 点坐标，如果不存在，说明理由．2010年浙江省高考数学最新押题卷（文科）答案1. D2. A3. D4. D5. C6. A7. D8. D9. D 10. C 11. 2321 12. b 2sinα1−cosα13. 10，2 14. C 15.7√3616. P 1，P 9 17. a ≥118. 解：（1）f(x)=sin2x −acos2x ，依题意，sin3π4−acos3π4=√1+a 2，解得a =1；（2）f(x)=√2sin(2x −π4)，所以，函数的最小正周期是π，由2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2可得，kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，故单调递增区间是[kπ−π8, kπ+3π8]，k ∈Z ．（3）sin2θ−cos2θ=15(1)，平方得2sin2θcos2θ=2425，而0<θ<3π8，sin2θ>0，cos2θ>0，所以sin2θ+cos2θ=75(2)．联立（1）（2）解得cos2θ=35，2cos 2θ−1=35，∴ cosθ=2√55． 19. 解：（1）直观图与三视图如图(1、2)图1图2图三（2）设AC交EF于S，若OG⊥平面A1EF，则OG⊥A1S，如图3，∵ GCOC =tan∠GOC=1tan∠A1SA=ASAA1，设正方体的棱长为1，∴ CG=OC×ASAA1=√22×3√241=34．20. 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则{a1+a1q+a1q2=7a1+a1q+5=2a1q2，两式相减，得a1q2=4，代入第一方程得4q2+4q+4=7，解得q=2或q=−23（舍），又a1=1，所以a n=2n−1（2）对任意正整数n，c1a1+c2a2+⋯+c na n=22+2n−112n−1均成立，n=1时，c1=13当n≥2时，c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1=22+2n−132n−2，两式相减得c na n =2n−112n−1−2n−132n−2=15−2n2n−1所以n≥2时，c n=15−2n，n=1也满足此式∴ S n=(13+15−2n)n2=−n2+14n21. 解：（1）∵ 函数f(x)=(x2+ax−2a−3)x=x3+ax2−2ax−3x，∴ f′(x)=3x2+2ax−2a−3=(x−1)(3x+2a+3)，令f′(x)=(x−1)(3x+2a+3)=0，得x=1，x=−2a+33．当a=−3时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；当a<−3时，由f′(x)=(x−1)(3x+2a+3)>0，得x>−2a+33，或x<1，由f′(x)=(x−1)(3x+2a+3)<0，得1<x<−2a+3，3∴ f(x)在[1, −2a+3]上单调递减，3, +∞)上单调递增；在(−∞, 1)，(−2a+33当a>−3时，由f′(x)=(x−1)(3x+2a+3)>0，得x<−2a+3，或x>1，3<x<1，由f′(x)=(x−1)(3x+2a+3)<0，得−2a+33∴ f(x)在[−2a+3, 1]上单调递减，3)，(1, +∞)上单调递增；在(−∞, −2a+33（2）∵ a>0，g(x)=(a2+8)x+30，∴ g′(x)=a2+8>0，∴ g(x)=(a2+8)x+30在[0, 3]上是增函数，∴ g(x)=(a2+8)x+30在[0, 3]上值域为G=[30, 3(a2+8)+30]，当a>0时，f(x)在[0, 1]单调递减，在[1, 3]单调递增，于是f(x)在x=1处取得最小值−a−2，在x=3处取得最大值3a+18，f(x)的值域是F=[−a−2, 3a+18]．（3）由（2）知，若F∩G≠⌀，则一定存在x1，x2∈[0, 3]，使得|f(x1)−g(x2)|<3成立；F∩G=⌀，则只要|f max(x)−g min(x)|<3或|g max(x)−f min(x)|<3，由于−a−2<3a+18<30≤3(a2+8)+30，解得a>3．22. 解：（1）设抛物线C1:x2=2py，C2:x2=4q(y+q)，p>0，q>0，∵ A(4√2, 2)是曲线C1和C2的交点，把A(4√2, 2)分别代入抛物线C1:x2=2py，C2:x2=4q(y+q)，p>0，q>0，得32=4p，解得p=8；32=4q(2+q)，解得q=2．所以抛物线C1方程为x2=16y，抛物线C2方程x2=8(y+2)．（2）假设存在点P满足条件，使△OAM为等腰三角形，第一种可能是OA为等腰三角形的底，于是AM倾斜角是OA倾斜角的二倍，∵ k OA=√24，k AP=2√241−18=4√27直线AP的方程为y−2=4√27(x−4√2)，与x2=8(y+2)联立，消去y得：7x2−32√2x+32=0，解得x=4√2（A点横坐标），x=4√27，y=−9449，故存在点P1(4√27, −9449)，使△OAM为等腰三角形．第二种可能是OM为等腰三角形的底，此时，直线OA与直线MA斜率互为相反数，M(8√2, 0)，直线AM的方程为y=−√24(x−8√2)，与抛物线C2方程x2=8(y+2)．联立，消去y得：x2=8(y+2)=8[−√24(x−8√2)+2]，整理得x2+2√2x−48=0，x=−6√2，y=7．所以存在P2(−6√2, 7)，使△OAM为等腰三角形；第三种可能是AM为等腰三角形的底，此时，直线AM3的倾斜角是直线OA倾斜角的一半，于是√24=2tanAM3O1−tan2AM3O，解得tan∠AM3O=3−2√2，故直线AM3的方程为y−2=(3−2√2)(x−4√2)，与方程x2=8(y+2)联立，消去y得：x2−(24−16√2)x−160+96√2=0，x+4√2=24−16√2故存在点P3(24−20√2, 170−120√2)，使△OAM为等腰三角形．。
2010高三数学高考小题冲刺训练(详细解析)(一).doc
2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二总分得分、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.函数y＝log2(x+4)(x＞0)的反函数是…( )A.y＝2x+4(x＞2)B.y＝2x+4(x＞0)C.y＝2x-4(x＞2)D.y＝2x-4(x＞0)解析：∵x＞0,∴x+4＞4.∴y＞2.∵y＝log2(x+4),∴2y＝x+4.∴反函数为y＝2x-4(x＞2).答案：C2.下列推理错误的是( )A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线⇒α与β重合D.l⊄α,A∈l⇒A∉α解析：A、B、C分别是公理1、2、3的符号表示,故选D.对于D,l⊄α有两种可能,l∥α,l与α相交;若交点为A,则A∈l且A∈α.答案：D3.设全集U＝R,A＝{x∈N|1≤x≤10},B＝{x∈R|x2+x-6＝0},则右图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}解析:题图中阴影部分表示为A∩B,因为A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合B＝{-3,2},所以A∩B＝{2}.答案：A4.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行和跑步的速度均相同,则( )A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定答案:B5.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如下表,则这100人成绩的标准差为（ ）分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A ．3B ．5102 C ．3 D ．58答案：B6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2-9n,第k 项满足5＜a k ＜8,则k 等于( )A.9B.8C.7D.6解析:由S n ＝n 2-9n,可根据⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n解得a n ＝2n-10.再根据5＜2k-10＜8, 解得7.5＜k ＜9, ∴k＝8. 答案:B7.在△ABC 中,“A＞30°”是“sinA＞21”的…( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51 解析：P＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案：C9.平面α⊥平面β,α∩β＝l,点P∈α,点Q∈l,那么PQ⊥l 是PQ⊥β的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:根据线面垂直、面面垂直的判定定理可知,PQ⊥l 是PQ⊥β成立的充要条件. 答案:C 10.若数列{a n }是首项为1,公比为23-a 的无穷等比数列,且{a n }各项的和为a,则a 的值是( )A.1B.2C.21D.45、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知命题p: ∅⊆{0},q :{1}∈{1,2},由它们构成的“p 或q”“ p 且q”和“非p”形成的复合命题中,真命题有__________个.解析：∵p 真q 假,∴“p 或q”为真,“p 且q”为假,“非p”为假. 答案：112.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm,秒针匀速绕点O 旋转,当时间t ＝0时,点A与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d ＝__________________,其中t∈［0,60］.答案:60sin10t π13.在平面几何里,有勾股定理“设△ABC 的两边AB,AC 互相垂直,则AB 2+AC 2＝BC 2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直,则________________.”解析:建立从平面图形到空间图形的类比,于是作出猜想:S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2＝S △BCD 2.答案:S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2＝S △BCD 214.若∠ACB=90°在平面α内,PC 与CA 、CB 所成的角∠PCA=∠PCB=60°,则PC 与平面α所成的角为_____________________.解析:作PO⊥α于点O,则CO 平分∠ACB,∠BCO=45°, 作OD⊥BC 于点D,则PD⊥BC.于是CD=PCcos60°=21PC,CO=CD 2=22PC,∴cos∠PCO=PCCO=22,即∠PCO=45°.或由cos60°=cosθ·cos45°⇒θ=45°(θ为PC 与平面α所成的角). 答案:45° 15.定义dc ba ＝ad-bc,则符合0121211=-+--x y y x 的点P(x,y)的轨迹方程为______________. 解析:由定义,知0121211=-+--x y y x ＝(x-1)2-(1+2y)(1-2y)＝(x-1)2-(1-4y 2)＝x 2+4y 2-2x＝0.答案:x 2+4y 2-2x ＝0。
2010高考数学压轴题精选18道
NO.11已知等比数列{}n a 的前n 项和为23(R ,N )n nSk k n *=⋅+∈∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足4(5)nna b na k =+，nT 为数列{}n b 的前n 项和，试比较316n T -与14(1)n n b ++的大小，并证明你的结论．2已知数列{}n a中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n nn n S S S n ---+=+≥.令11n n n b a a +=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<（1n ≥）；（3）令()2312312nn n T b a b ab a b a=++++ （0a >），求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有16n T <；②对于任意的10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在0n N *∈，使得0n n ≥时，n T m>.3已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值； （3）记，数列的前项和为，求证：.{}n a ()()()11121,.24nn n n a n a a n N a n*++-==∈+234,,a a a αn na n a n α⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭1-α()22213n n n b n N a *++=∈{}n b n nS 112n S +>-4设等比数列{na }的前n 项和nS ，首项11a =，公比()(1,0)1q f λλλλ==≠-+.(1)证明：(1)n nS a λλ=+-；(2)若数列{nb }满足112b =，*1()(,2)n n b f b n N n -=∈≥，求数列{n b }的通项公式；(3)若1λ=，记1(1)n n nc a b =-，数列{nc }的前项和为nT ，求证：当2n ≥时，24n T ≤<.5数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列. (1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；(3) 正数数列中，.求数列中的最大项.6已知函数，为函数的导函数．（1）若数列满足：，（），求数列的通项；（2）若数列满足：，（）．ⅰ.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；ⅱ.当时，求证：．{}n a n S n *N n ∈2,,n n n a S a {}n a {}n b n nT 2lnnn n a xb =(]e x ,1∈e e⋅⋅⋅n n T <{}n c ())(,*11N n c an n n ∈=++{}n c 211()24f x x x =-+()f x '()f x {}n a 11a =1()()n n a f a f n +''=+n N *∈{}n a n a {}n b 1b b=12()n n b f b +=n N *∈12b ={}n b {}n b n b 112b <<11221ni ibb =<-∑NO.21函数(),()ln ln ,xf x aeg x x a ==-其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 （1）、求函数()y g x =的解析式（2）、若关于x的不等式()x mg x ->恒成立，求实数m 的取值范围。
2010高考数学压轴题
江苏省姜堰中学2007～2008学年度高三第一次综合练习数 学 试 题 2007．8一、选择题：1. 设全集U Z =，集合A ={－1，1，2}，B ={－1，1}， U 则A B 为ð ( ) A ．{1，2} B ．{1} C ．{2} D ．{－1，1}2. 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列说法中正确的是 （ ） A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真4.设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间 ( )A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）5．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1a ,则使函数a x y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为 ( ) A. 1,3 B.-1,1 C. -1,3 D.-1,1,36．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为 （ ） A ．n m p >> B ．m p n >> C ．m n p >> D ．p m n >>7．函数xx y ||lg =的图象大致是 （ ）8．如果函数21)(++=x ax x f 在区间)2,(--∞上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．210<<a B ．21>a C ．11>-<a a 或 D ．2->a9. 对于函数)]([)(,)],([)()],([)(11)(1232x f f x f x f f x f x f f x f x x x f n n ===+-=+ ，设 )2*,(≥∈n N n 且，令集合},)(|{2007R x x x f x M ∈==，则集合M 为 （ ）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集 10、在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数）， []x 是不超过x的最大整数．例如：[][][]00,36.2,31.3=-=-=．设()21212-+=x x x f ,则函数()[]()[]x f x f y -+=的值域为 （ ） A.{}0 B.{}0,1- C.{}1,0,1- D. {}0,2-二、填空题：11．log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= 12．若函数)(x f 的定义域是[1，4]，则函数)2(x f 的定义域是____________13．函数)32(log 221-+=x x y 的单调递减区间是_______________14．函数2x y =的图象F 按向量)2,3(-=a 平移到G ，若图象G 与函数图象M 关于直线0=x 对称，则M 的函数解析式为15．某公司一年需购买某种货物100吨，每次都购买x 吨，运费为a 万元/次，一年的总存储费用为ax 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 16．已知函数),4()0,(,,()(23+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，0)(=-k x f 只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①0)(4)('==x f x f 和有一个相同的实根；②0)(0)('==x f x f 和有一个相同的实根；③01)(03)(=-=+x f x f 的任一实根大于的任一实根； ④02)(05)(=-=+x f x f 的任一实根小于的任一实根. 其中正确命题的序号是高三数学答题纸一、选择题： 二、填空题：11．__________ 12．___________ 13. 14．___________ 15.____________ 16．____________三、解答题：17． 设集合{}21|20,,|0,,3x A x x x x R B x x R x +⎧⎫=--≤∈=<∈⎨⎬+⎩⎭集合C 中有三个元素，且满足C ∩B ≠∅，且(())C A B Z ⊆ ，求集合C 。
2010年10月份高考数学百题精练(1)
2010年10月份百题精练（1）数学试题（一）（理）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数sin 2y x =的一个增区间是（ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则n m等于 （ ）A ．2-；B ．2C ．21-D ．213．已知(3,1),(2,1)AB =-=n ，且7AC ⋅=n ，则BC ⋅=n （ ）A ．2-B ．0C ．2-或2D ． 24．设1tan10,1tan10a b +==-（ ）A ．222a b a b +<<B ．222a b b a +<<C ．222a b a b +<< D ．222a b b a +<< 5．已知120a a >>，则使得2(1)1i a x -<(1,2)i =都成立的x 取值范围是（ ）A ．11(0,)a B ．12(0,)a C ．21(0,)a D ．22(0,)a6．由下列条件解△ABC ，其中有两解的是 （ ）A ．20,45,80b A C ===B ．30,28,60a c B ===C ．14,16,45a c A ===D ．12,15,120a c A ===7．若向量,,a b c 两两的夹角相等，且满足1,2,4===a b c ，则=a +b+c （ ）8．已知两不共线向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．()()+⊥-a b a b B ．a 与b 的夹角等于αβ-C ．2++->a b a bD ．a 与b 在+a b 方向上的投影相等9．已知()g x 是定义在R 上的二次函数，2,1(),1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若[]()f g x 的值域是[)0,+∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][),11,-∞-+∞ B ．(][),10,-∞-+∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞10．关于x 的不等式22cos lg(9)cos lg(9)x x x x +-<+-的解集为 （ ）A．(3,(22,3)-- B．()(,22)22ππ--C．(- D ．(3,3)-（二）（文）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2010年高三数学高考好题汇编题(1).doc
2010年高考数学好题汇编（1）一、选择题1．若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x ．2x ，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)3,1()1,0(YB ．)3,1(C D2．设αtan ．βtan βα+的值为：（ ）A B C D 3．过曲线33:x x y S -=上一点)2,2(-A 的切线方程为（ ）A ．2-=yB ．2=yC ．0169=-+y xD ．20169-==-+y y x 或4．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为： （ ）A B ．5 C ．6 D 5．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD ．DA 和AB 上的点P 2．P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（44,0),1x 2,tan x θ<<若则的取值范围是（ ）A B C D6．对任意θ∈（0（ ）A ．sin （sin θ）＜cos θ＜cos （cos θ）B ．sin （sin θ）＞cos θ＞cos （cos θ）C ．sin （cos θ）＜cos （sin θ）＜cos θD ．sin （cos θ）＜cos θ＜cos （sinθ）二、填空题7．集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-<≤-=Nx x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______ 8．椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是_____________________.三解答题 9．已知函数．为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.（1）求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设令求证：.10．已知函数a x a x a x a x f 4)125()49()21()(23+-+-+-=（R ∈a ）. （1） 当a = 0时, 求函数)(x f 的单调递增区间;（2）若函数)(x f 在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a 的取值范围.11．已知在函数3()f x mx x =-的图象上以N （1，n ）为切点的切线的倾斜角为,4π （1）求m ．n 的值；（2）是否存在最小的正整数k ，使不等式1992)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？求出最小的正整数k ，若不存在说明理由；参考答案一．选择题 1． D ．解析：“对任意的x 1．x 2时，0)()(21>-x f x f ”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“)(x f 有意义”。
2010年浙江省高考数学测试卷(文科)最后押题卷及答案
2010年高考数学模拟卷及答案(文科)本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分(共50分)参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2球的体积公式 V =34πR 3其中R 表示球的半径 棱锥的体积公式V =31Sh 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高棱柱的体积公式 V =Sh其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式 V =)(312211S S S S h ++ 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高如果事件A , B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
(1) 设U ={1,2,3,4,5}, A ={1,2,3}, B ={2,4}, 则A ∪ U B ＝(A) {1,2,3,4} (B) {1,2,3,5} (C) {2,3,4,5} (D) {1,3,4,5}(2) “x =1”是“x 2 = 1”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (3) 在空间中, 下列命题正确的是(A) 若两直线垂直于同一条直线, 则两直线平行 (B) 若两直线平行于同一个平面, 则两直线平行 (C) 若两平面垂直于同一个平面, 则两平面平行 (D) 若两平面平行于同一个平面, 则两平面平行 (4) 若z =1－i (i 是虚数单位), 则(A) z 2－2z ＋2＝0 (B) z 2－2z －2＝0 (C) 2z 2－2z ＋1＝0 (D) 2z 2－2z －1＝0 (5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8(6) 设向量a , b 满足:1||=a , 2||=b , 0(=+⋅b)a a ,(第5题)则a 与b 的夹角是(A) 30 (B) 60(C) 90 (D) 120(7) 在Rt △ABC 中, ∠A ＝ 90, ∠B ＝ 60, AB =1, 若圆O 的圆心在直角边AC 上, 且与AB和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是 (A)32 (B)21 (C)33 (D)23(8) 若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示,则此多面体的体积是 (A) 2 cm 3(B) 4 cm 3(C) 6 cm 3 (D) 12 cm 3 (9) 下列各组函数中, 奇偶性相同, 值域也相同的一组是(A)x x x f cos 1cos )(+=, x x x g 1)(+= (B)xx x f sin 1sin )(+= , xx x g 1)(+=(C)x x x f 22cos 1cos )(-=, 221)(xx x g -= (D)xx x f 22sin1sin )(-=, 221)(xx x g -=(10) 过双曲线12222=-by ax (a >0, b >0)的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P . 若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是 (A)2(B) 3 (C) 2 (D) 5正视图侧视图俯视图(第8题)非选择题部分 (共100分)二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
高考数学高考数学压轴题 数列多选题专项训练分类精编及答案(1)
一、数列多选题1．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >答案：BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题3．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2答案：ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 4．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 答案：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 6．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d dna d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 7．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项答案：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.8．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列答案：AD 【分析】利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断 【详解】 解：当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列， 因解析：AD 【分析】 利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 9．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 10．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
2010高考数学压轴题
10. 如图，等腰梯形ABCD 的三边,,AB BC CD 分别与函数2122y x =-+，[]2,2x ∈-的图象切于点,,P Q R ，则梯形ABCD 面积的最小值是_________.13.函数f (x )=||||22c x b x x a -++-(0<a <b <c )的图象关于A ．直线x =－b 对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x =c 对称19.(本题16分) 已知f (x )=x |x-a|+2x －3.(I) 当a =4，2≤x ≤5时，问x 分别取何值时，函数f (x )取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；(II) 求a 的取值范围，使得f (x )在R 上恒为增函数. 20. (本题16分) 函数f (x )=bax x+(a ，b 是非零实常数)，满足f (2)=1，且方程f (x )=x 有且仅有一个解。
(1)求a 、b 的值；(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f (x )+ f (m –x )= 4恒成立？为什么？21. (本题18分) 已知函数xx f 11)(-=，(x >0)． （I ）当0<a <b ，且f (a )=f (b )时，求证：ab >1； （II ）是否存在实数a ，b （a <b ），使得函数y =f (x )的定义域、值域都是[a ，b ]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由． （III ）若存在实数a ，b （a <b ），使得函数y =f (x )的定义域为 [a ，b ]时，值域为 [ma ，mb ] (m ≠0)，求m 的取值范围．题10图10.24 二、选择题 13.B19. 解：（Ⅰ）当4a =时，()|4|23f x x x x =-+-（1）24x ≤<时，2()(4)23(3)6f x x x x x =-+-=--+………2分当2x =时，min ()5f x =；当3x =时，max ()6f x = …………4分 （2）当45x ≤≤时，2()(4)23(1)4f x x x x x =-+-=--当4x =时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x = …………6分 综上所述，当2x =或4时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x =……8分（Ⅱ）2222222(2)()3,(2)3,24()(2)3,2(2)()3,24a a x x ax a x x a f x x a x x a a a x x a⎧-----≥⎪⎧+--≥⎪==⎨⎨-++-<++⎩⎪--+-<⎪⎩…12分 ()f x 在R 上恒为增函数的充要条件是2222a a a a -⎧≤⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，……………………14分解得22a -≤≤即当22a -≤≤时，()f x 在R 上恒为增函数……………………………16分 20. 解(1)由f (2)=1得2a +b =2，又x =0一定是方程bax x+=x 的解，所以bax +1=1无解或有解为0，………………………………4分若无解，则ax +b =1无解，得a =0，矛盾； 若有解为0，则b =1，所以a =21. …………………………8分 (2)f (x )=22+x x，设存在常数m ，使得对定义域中任意的x ，f (x )+f (m –x )=4恒成立， 取x =0，则f (0)+f (m –0)=4，即22+m m=4，m = –4(必要性)，………………12分又m = –4时，f (x )+f (–4–x )=24)4(222+----++x x x x =……=4成立(充分性) ， 所以存在常数m = –4，使得对定义域中任意的x ，f (x )+f (m –x )=4恒成立，………16分21.解：（I ） ∵x>0，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-= 1.x 0,1x1,1x ,x11)x (f∴f (x )在（0，1）上为减函数，在(1,)+∞上是增函数．由0<a <b ，且f (a )=f (b )，可得 0<a <1<b 和ba 1111-=-．即2b1a 1=+．∴2ab=a+b>ab 2．……………………………………3分 故1ab >，即ab>1．……………………………………4分（II ）不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y=x11)x (f -=的定义域、值域都是[a ，b]， 则a>0． 而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-= 1.x 0,1x1,1x ,x11)x (f①当)1,0(b ,a ∈时，1x 1)x (f -=在（0，1）上为减函数．故⎩⎨⎧==.a )b (f ,b )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=- a.1b1,b 1a1解得 a=b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．………………………………6分 ②当),1[b ,a +∞∈时，1f (x)1x =-在(1,)+∞上是增函数． 故⎩⎨⎧==.b )b (f ,a )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=- b.b 11,a a11 此时a ，b 是方程01x x 2=+-的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．………………………………8分 ③当)1,0(a ∈，),1[b +∞∈时，由于]b ,a [1∈，而]b ,a [0)1(f ∉=，故此时不存在适合条件的实数a ，b ．综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．………………………………10分 （III ）若存在实数a ，b （a<b ），使得函数y=f(x)的定义域为[a ，b]时，值域为[ma ，mb]． 则a>0，m>0．① 当)1,0(b ,a ∈时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故11mb,a11ma.b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．此时刻得a,b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在． ………………………………12分② 当)1,0(a ∈，),1[b +∞∈时，由（II ）知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb]，所以a ，b 不存在．故只有),1[b ,a +∞∈．………………………………14分∵x11)x (f -=在),1[+∞上是增函数， ∴⎩⎨⎧==.mb )b (f ,ma )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-m b.b 11,ma a 11 所以b 是方程01x mx 2=+-的两个根．即关于x 的方程01x mx 2=+-有两个大于1的实根．……………………16分设这两个根为1x ，2x ．则1x +2x =m 1，1x ·2x =m1．∴⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->∆.0)1x )(1x (,01)x (1)(x ,02121 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>->-.02m 1,04m 1 解得 41m 0<<．故m 的取值范围是41m 0<<．…………………………………………18分。
2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解3
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三1．（13分） 如图，已知双曲线C ：x a y ba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O为坐标原点. （I ）求证：OM MF →⊥→；（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q之间，满足AP AQ →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.解：（I ） 右准线l 12：x a c=，渐近线l 2：y ba x =∴=+M a c ab c F c c a b ()()22220，，，， ，∴→=OM a c ab c ()2，MF c a c ab c b c abc →=--=-()()22，， OM MF a b c a b cOM MF →⋅→=-=∴→⊥→2222220……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=621222222，， ||()MF b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ……8分证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kxl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k……11分AP AQ x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x k k k k k k ， -<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1）……13分2．（13分）已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n ->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由. 解：（I ） n N ∈*∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1……1分∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()()-=++++=+012312f f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n ()(*)12……3分（II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，， ∴=N 201020122998，，……，均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分3. （14分） 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222 由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .14分4．（12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程． 解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分而b x b c ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分 （2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分 圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分 5．（14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分 )2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++ )3(2111a a n n -+=+． 7分 又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分)2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分 又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111bb a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++． 当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分 ∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x （Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为 2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分 11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7．（14分） 已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈ （Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin 3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即)32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g x x 得由,0)(),0(32),0(],,0[.)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( xf x f fg x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ（Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ 当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分。
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2010年高考数学压轴题系列训练一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21yx =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n na f nb ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),得到曲线C. (1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,延长线段ON 交C 于点E.求证: 2=的充要条件是3|AB |= .4.（本小题满分14分）已知函数241)x (f x +=)R x (∈.(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m (3)设数列}b {n 满足:31b 1=,n2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++=. 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-，（1） 求n S 的表达式； （2） 求数列{}n a 的通项公式； （3）设n b =n N ∈且2n ≥时，n n a b <.7． (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2= |→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)； (2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=∴==+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21yx =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n na f nb ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
……………………（8分）（Ⅲ）由1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()121212111111111111111111111111124123nn n n n a b b b f n b b b fn b b b b f nn f nb n ++⎛⎫⎫⎛⎫≤+++ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎫⎛⎫=+++⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫∴+=++++⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫+∴=+== ⎪+⎝⎭ 即记 ()()()()()min 11,4130f n f n f n f n f a =>∴+>∴===∴<≤即递增， ………………………………（14分）3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),得到曲线C. (1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,延长线段ON 交C 于点E.求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨⎧='=',y 2y ,x x ………………(2分)又,4y x 22='+'∴1y 4x 4y 4x 2222=+⇒=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4x 22=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 ,㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: ,3my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4y 4x 3my x 22消去x,得01my 32y )4m (22=-++………………①∴,4m m3y 20+-=………………(6分)∴4m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=, ∴点N 的坐标为)4m m 3,4m 34(22+-+ .………………(8分)①若2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上, 得1)4m (m 12)4m (4822222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=-又|,)y y (m ||my my ||x x |212121-=-=-∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)②若3|AB |= , 由①得,34m )1m (422=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 22y >±= , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==36y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(±∴OE ON 2=.综上, 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)4.（本小题满分14分）已知函数241)x (f x+=)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m (3)设数列}b {n 满足:31b 1=,n2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++=. 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值. 解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41,21( 的对称点为)y ,x (P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412y y 212x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=. ∵,)24(244244241)x 1(f 00000x x x x x 10+=⋅+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 21,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称. ………………(4分)(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(21)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯-= ∴).1m 3(121S m -=………………(8分) (3) ∵,31b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分)∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,8152)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==∴.5275b 13T T 12n =-=≥………………(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,394639238m =< ∴m 的最大值为 6. ……………(14分)5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（4） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （5） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （6） 求EPF ∠的最大值.解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，则 5.AF BF +=（4）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠(1=÷+==≤，当t =303tan EPF EPF ∠=⇒∠= 6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-，（5） 求n S 的表达；（6） 求数列{}n a 的通项公式； （7）设n b =n N ∈且2n ≥时，n n a b <.解：（1）2111121122(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥-所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则121n S n =+.（2）当2n ≥时，12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--， 综上，()()21132214n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.（3）令a b ==2n ≥时，有0b a <<≤ （1） 法1：等价于求证112121n n ->-+当2n ≥时，0<≤令()23,0f x x x x =-<≤()233232(1)2(12(1022f x x x x x x x '=-=-≥-=>， 则()f x 在递增. 又0<<≤ 所以g g <即n n a b <. 法（2）223311()2121n n a b b a b a n n -=--=---+- 22()()a b a b ab a b =-++-- （2） 22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22b a a b a a b b =-+-++- （3）因3111110222a b a b a +-<+-<-<=-<，所以(1)(1)022b a a a b b +-++-< 由（1）（3）（4）知n n a b <.法3：令()22g b a b ab a b =++--，则()12102a g b b a b -'=+-=⇒= 所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=--因0a <≤则()210a a a a -=-<，22323()303a a a a a -=-≤< 所以()220gb a b ab a b =++--< （5）由（1）（2）（5）知n n a b <7． (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)；(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =ab (x – a ), 解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,b ak kab +), ∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab +| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分 设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得: m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 222222k a b b a k -,∴ |→--OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222k a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 .∴无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | . 4分 （2）由条件得：222222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分 即k 2 = 22a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 417 2分。