13最少拍无差系统设计

1
2
Tz ( 2 z z ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
2
Tz 1 ( 2 z 1 z 2 ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
C ( z ) 2Tz 3Tz 4Tz
Φ (z)
R(z) r(t) + e*(t) u*(t) G(z) C(z) c(t)
D(z)
E(z) U(z)
H(s)
GC(s)
D( z )G( z ) C(z) ( z ) 系统的误差传递函数Фe(z) R( z ) 1 D( z )G( z )
为：
E ( z ) R( z ) C ( z ) C(z) e (z) 1 1 ( z ) R( z ) R( z ) R( z )
1 z 1
0
e( ) lim 1 z
z 1

1
1 ( z )R( z ) 0
典型输入Z变换的一般形式为：
A( z ) R( z ) (1 z 1 )q
A( z ) 1 ( z ) 0 e( ) lim1 z 1 q z 1 (1 z )
制时，很难满足要求。 此时，往往从被控对象的特性出发，
直接根据采样系统理论设计控制器，
这种方法称为直接设计法。
直接设计法
假定对象本身是离散化模型或者用 离散化模型表示的连续对象，以采 样理论为基础，以Z变换为工具，在 Z域中直接设计出数字调节器D(z)。
数学工具：差分方程、Z变换
由于D(z)是依照稳定性、准确性和快
E( z) e (z) 1 ( z ) R( z )
根据准确性要求，系统无稳态误差，而：
E( z ) e ( z ) R( z )
又根据终值定理：
e( ) lim e( t ) lim 1 z 1 E ( z )
t z 1


lim1 z 1 ( z )R( z )
数学工具：微分方程、拉氏变换
最后把D（s）离散化为D（z），求 出差分方程u(k)。
优点：可以充分利用设计者熟悉的 连续系统的设计方法和经验。 模拟化法选定的T必须足够小，除 满足采样定理外，还要求T的变化对
系统性能的影响小。
当采样周期较大或对控制质量要求较
高，以及用一台计算机实现多回路控
H(s)
GC(s)
1 e Ts Gc(s)为被控对象，G( z ) Z GC ( s ) s D( z )G( z ) C(z) ( z ) , R( z) C( z)D( 为广义对象的脉冲传递函数。 z )G( z ) C( z ) R( z ) 1 D( z )G( z )
e ( z ) 1 z
1
( z) 1 e ( z) z 1
1 ( z ) 1 z D( z ) G ( z ) 1 ( z ) G ( z ) 1 z 1
1
单位阶跃输入
1 R( z ) ， 即q 1 1 1 z
e ( z ) 1 z 1
1 E ( z ) R( z ) e ( z ) (1 z 1 ) 1 1 z 1
E( z)

k 0

e(kT ) z k
e(0) e(T ) z 1 e(2T ) z 2 e(3T ) z 3
1 1 E ( z ) R( z )e ( z ) (1 z ) 1 1 1 z
1
要使稳态误差为0，必须使[1- Φ(z)]， 即Φe(z)包含因子(1-z-1)q。
e ( z ) 1 ( z ) (1 z 1 ) p F ( z )
其中p≥q， q 为对应于典型输入R(z)中 分母(1-z-1)因子的阶次 。
A( z ) F(z)是不包含零点z=1的z-1的多项式 R( z ) (1 z )
入信号，不存在静差。
2、快速性要求 系统准确跟踪输入信号所需的采样周 期数应为最少。
3、稳定性要求
数字控制器D(z)必须在物理上可以实现 且闭环系统必须是稳定的。
一、典型输入下最少拍系统的设计方 法
典型的输入信号，通常指：
单位阶跃输入 单位速度输入
单位加速度输入
单位阶跃输入： r(t)=u(t) 单位速度输入： r(t)=t 单位加速度输入：r(t)=t2/2
11t2t3t4ttztztz1t2t3t4t红龙分享于2010
第四章 数字控制器的直接设计
第一节 最少拍无差系统的设计
第二节 最少拍无波纹系统的设计 第三节 W变换法设计 第四节 纯滞后对象的控制算法 ——大林算法
模拟化设计方法：
对连续系统在时间域或S域内讨论问
题，设计出模拟调节器。
第一节 最少拍无差系统的设计
（1）最少拍无差系统
最少拍系统，也称最小调整时间系 统，最快响应系统或时间最优控制。
是指系统在典型输入（阶跃、等速等） 作用下，设计出数字控制器，使系统的 调节时间最短，被控量能在最短的调节 时间即最少的采样周期数内达到设定值。
换言之，偏差采样值能在最短时间内
D( z )G( z ) ( z ) 1 D( z )G( z )
( z )1 D( z )G( z ) D( z )G( z )
1 ( z ) D( z ) G ( z ) 1 ( z )
当已知G (z)，只要根据被控对象期望的性
能指标选择好Φ (z)，就可以求得D (z)。
即：E ( z ) 1 0 z 0 z
e(0) 1, e(1) e(2) 0
1
2
说明系统只需一拍（一个采样周期）， 输出就能跟随输入。此时：
z C ( z ) ( z ) R( z ) 1 1 z
1
z( z ) R( z ) z 2 1 3 C ( z ) C(z) z z 1 z 1 1 z 1 z 将C(z)用长除法展开成z的降幂级数：
速性等要求逐步设计出来的，所以更
具一般意义。可实现复杂规律的控制， 能大幅度提高系统的性能。
直接设计法可分为二类三种：
（1）解析法：这是在20世纪50年代
发展起来的一种方法，它根据给定 的闭环性能要求，通过解析计算求 得数字调节器的Z传递函数。其中最 典型的是最少拍系统的设计。
（2）图解法：与连续系统设计相对 应，也分两种： 一种是频率法，也称W变换法； 一种是根轨迹法。
e(0) 0,
1 1 2
即：E ( z ) 0 T z 0 z
e(1) T , e(2) e(3) 0
说明系统只需两拍，在采样点上偏差 即为0，输出就跟随输入。
Tz R( z ) (1 z 1 )2
1
( z ) 2z z
1 1
1
1
z 1 z
1
1
z
2
z
3
z 1 2 z z
1
z 2 3 z z z
3
2
z C(z) z 1 z 2 z 3 1 1 z
1
由Z变换的定义：
1 2 3
C ( z ) c(0) c(1T )z c(2T )z c(3T )z
( z ) 1 e ( z ) 2z 1 z 2
1 ( z ) 1 z 1 (2 z 1 ) D( z ) G( z ) 1 ( z ) G( z ) (1 z 1 ) 2
3.单位加速度输入
1 2 r (t ) t 2
1 2 1 T z (1 z 1 ) R( z ) 2 (1 z 1 ) 3
q2
1 2
e ( z ) (1 z ) (1 z ) E ( z ) R( z )e ( z ) Tz
E( z)
1


k 0
e(kT ) z k
e(0) e(T ) z 1 e(2T ) z 2 e(3T ) z 3
E ( z ) Tz
( z ) 1 e ( z ) 2z 1 z 2
1 ( z ) 1 z 1 (2 z 1 ) D( z ) G( z ) 1 ( z ) G( z ) (1 z 1 ) 2
单位速度输入
Tz R( z ) (1 z 1 )2
1 q
1
本章重点介绍有限拍设计。
有限拍设计
是指系统在典型输入（阶跃、等速等）
作用下具有最快的响应速度，被控量能
在最短的调节时间即最少的采样周期数
内达到设定值。
换言之，偏差能在最短时间内达到并保
持为零。
Φ (z)
R(z) r(t) + e*(t) u*(t) G(z) C(z) c(t)
D(z)
E(z) U(z)
Gc ( s ) (1 z ) Z s
1
（2）根据系统的性能指标要求以及实现 的约束条件构造闭环 z 传递函数Φ (z) 。 （3）根据 D( z ) 1
( z ) 计算D(z) 。 G( z ) 1 ( z )
（4）由D (z)确定控制算法并编制程序 。 问题归结为： 如何由性能指标及系统特点，确定Φ(z)。
1 q
( z ) 1 e ( z ) 1 (1 z )
1 q
a1 z 1 a2 z 2 aq z q
1.单位阶跃输入 r (t ) 1(t )
1 R( z ) ，即 q 1 1 1 z
对典型输入有：e ( z ) (1 z 1 )q
系统的动态指标和静态指标取决于闭环 传函Φ (z) 。
思路：
1 ( z ) D( z ) G( z ) 1 ( z )
已知G(z)和Φ(z)，求D(z)。 （1）求带零阶保持器的被控对象的
广义脉冲传递函数G(z)。
1 e Ts G( z ) Z Gc ( s ) s
1 q
根据快速性要求，即，使系统的稳 态误差尽快为0，必然有：
p q, 且F ( z ) 1
e ( z ) 1 ( z ) (1 z ) F ( z ) 根据快速性要求，对典型输入有：
1 p
p=q， F(z)=1
e ( z ) 1 ( z ) (1 z )
R( z )
R( z )
1 1 z
1
1 z

Tz 1
1 2
典型输入Z变换的一般形式为：
A( z ) R( z ) (1 z 1 )q
T 2 1 z 1 z 1 R( z ) 2 1 3 1 z


A(z)为不包含(1-z-1)因子的
关于z-1的多项式
达到并保：
( z ) m1 z m2 z
1 2
mn z
n
n是可能情况下的最小正整数。传递函
数表明闭环系统的脉冲响应在n个采样
周期后变为零，从而意味着系统在n拍
之内达到稳态。
对最少拍控制系统设计的具体要求：
1、准确性要求
对典型的参考输入信号，在达到稳 态后，系统的输出值能准确跟踪输
c(0) 0,
c(t) x x 1T 2T 3T 4T
c(1T ) c(2T ) c(3T ) 1
x
x
x
2.单位速度输入
Tz R( z ) (1 z 1 )2
1
r (t ) t
q2
e ( z ) (1 z 1 )q (1 z 1 )2
c(0) 0, c(1T ) 0
c(t) x x x 1T 2T 3T 4T
2
3
4
c(2T ) 2T , c(3T ) 3T
x x
所以对于速度输入信号： r (t ) t
Tz 1 R( z ) 1 2 (1 z )
e ( z) (1 z )
1 2