第二十二章 二次函数 单元测试(含答案) 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）
A ．y =1
x 2B ．y =x 2+1x +1C ．y =2x 2−1D ．y =x 2−1
2．下列抛物线中，与y =−3x 2+1抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(−1,2)的是（ ）
A ．y =−3(x +1)2+2
B ．y =−3(x−1)2+2
C ．y =3(x +1)2+2
D ．y =−3(x +1)2+2
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y =3x 2的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A ．y =3x 2−1
B ．y =3x 2+1
C ．y =3x 2−3
D ．y =3x 2+3
4．若A (−1,y 1)，B (1,y 2)，C (4,y 3)三点都在二次函数y =−(x−2)2+k 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）
A ．y 1<y 2<y 3
B ．y 1<y 3<y 2
C ．y 3<y 1<y 2
D ．y 3<y 2<y 1
5．二次函数y =−x 2−2x +c 2−2c 在−3≤x ≤2的范围内有最小值为−5，则c 的值（ ）
A ．3或−1
B ．−1
C ．−3或1
D ．3
6．已知二次函数y =x 2−3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x 2−3x +m =0的两实数根是（ ）
A ．x 1=0，x 2=−1
B ．x 1=1，x 2=2
C ．x 1=1，x 2=0
D ．x 1=1，x 2=3
7．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m ，水面宽6m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A ．y =−13x 2
B ．y =13x 2
C ．y =−3x 2
D ．y =3x 2
8．如图，已知经过原点的抛物线y =a x 2+bx +c(a ≠0)的对称轴是直线x =−1，下列结论中：①ab >0，②a +b +c >0，③当−2<x <0时y <0.正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（每题4分，共20分）
9．抛物线y=−3(x−1)2−2的对称轴是直线 ．
10．若y=(m−2)x m2−2+x−3是关于x的二次函数．则m的值为 ．
11．抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线x=1，则当y≤0时，x的取值范围是 ．
12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷
出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是 m．
13．如图，在平面直角坐标中，抛物线y=a x2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)交于点O和点A，则不等式a x2 +bx<kx的解集为 ．
三、解答题（共56分）
14．如图所示，二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图保与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−1，0)，M(2，9)为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）求△MCB的面积.
15．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+4x−3的图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后的图象所对应的二次函数的表达式. 16．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为
Sm2．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．
17．第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+900．
（1）设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．
（2）销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？
（3）若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．
18．如图，二次函数y=a x2+bx+c的图象交x轴于A(−1，0)，B(2，0)，交y轴于C(0，−2).
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点M运动过程中，四边形ACMB面积的最大值；
（3）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB−PC|最大，求点P的坐标。

参考答案
1．C
2．A
3．C
4．B
5．A
6．B
7．A
8．D
9．x =1
10．−2
11．x ≤−1或x ≥3
12．154
13．0<x <3
14．（1）解：设抛物线的函数表达式为y =a (x−2)2+9，
把点A (−1，0)的坐标代人，得0=a (−1−2)2+9，解得a =−1，
∴抛物线的函数表达式为y =−(x−2)2+9=−x 2+4x +5
（2）解：如图所示，过点M 作y 轴的平行线，交BC 于点H .
易知点C (0，5)，B (5，0)，
∴直线BC 的函数表达式为y =−x +5.
当x =2时，y =−2+5=3，∴点H (2，3)，
∴S △MCB =12MH ⋅BO =12
×(9−3)×5=15 15．（1）解：将点B(1，0)代入y=ax 2+4x-3，
得a+4-3=0，
解得a=-1，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴点A（2，1），
令y=0得-x2-4x-3=0，
解得x1=1，x2=3，
∴点C（3，0）；
∴当y＞0时，x的取值范围为：1<x<3；
（2）解：∵y=-x2+4x-3中，当x=0时，y=3，
∴点D（0，-3），
∵平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，∴抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，∴平移后抛物线的解析式为：y=-(x-2-2)2+1+4=-(x-4)2+5. 16．（1）解：∵AB=xm，铝合金材料长为18m，
∴AD=BC=18−3x
2
，
∴S＝x·18−3x
2＝−3
2
x2+9x，
即S与x的函数表达式为：S＝−3
2
x2+9x.
（2）解：由题意得：2≤x＜18−3x
2
，
解得：2≤x＜3.6，
∵S＝−3
2x2+9x＝−3
2
（x-3）2+27
2
，
∵−3
2
＜0，对称轴是直线x＝3，且2≤x＜3.6，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝27
2
，
当x＝2时，S取得最小值，此时S＝−3
2（2-3）2+27
2
＝12，
答：窗户总面积S的最大值27
2
m2，最小值是12m2．
17．（1）解：根据题意每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：y=−10x+900，根据利润=每件的利润×销售数量得：W=(−10x+900)(x−50)=−10(x−90)(x−50)，
∴W=−10(x−90)(x−50)，
故答案为：W=−10(x−90)(x−50).
（2）解：由（1）可得W =−10(x−90)(x−50)=−10(x−70)2+4000，∴销售单价定为每件70元时，所得月利润最大，最大月利润为4000元；故答案为：70，4000.
（3）解：由（1）得W =−10(x−90)(x−50)，
当W =3000时，即−10(x−90)(x−50)=3000，
整理得：x 2−140x +4800=0，
解得：x 1=60，x 2=80，
∵a =−10，
∴抛物线开口向下，
∵获得的月利润不低于3000元，
∴60≤x ≤80，
∵销售单价不得超过75元，
∴60≤x ≤75．
故答案为：60≤x ≤75
18．（1）解：将A(−1，0)，B(2，0)，C(0，−2)代入y =a x 2+bx +c ，
∴{a−b +c =04a +2b +c =0c =−2，解得{
a =1
b =−1
c =−2
， ∴y =x 2−x−2
（2）解：连接BC ，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ，
∵B(2，0)，C(0，−2)，
∴直线BC 的解析式为y =x−2，
设M(t ，t 2−t−2)，则N(t ，t−2)，
∴MN =t−2−(t 2−t−2)=−t 2+2t ，
∴S △BCM =
12×2×(−t 2+2t)=−t 2+2t ，∵S △ABC =12×3×2=3，
∴S 四边形ACMB =3−t 2+2t =−(t−1)2+4，
当t=1时，四边形ACMB的面积最大值为4，此时M(1，−2)．
（3）解：∵y=x2−x−2=(x−1
2)
2
−9
4
，
∴抛物线的对称轴为直线x=1
2
，
作C点关于对称轴的对称点C'，连接B C'并延长与对称轴交于点P，
∵CP=C'P，
∴|PB−PC|=|PB−P C'|≤B C'，此时|PB−PC|有最大值，
∵C(0，−2)，
∴C'(1，−2)，
设直线B C'的解析式为y=kx+m，
∴{k+m=−2
2k+m=0，解得{k=2 m=−4，
∴y=2x−4，∴P(1
2
，−3)。