浅谈初中数学中分类讨论的划分标准

浅谈初中数学中分类讨论的划分标准
华育中学 黄喆
在数学研究中，当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对他们一概而论的时候，迫使我们必须按所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们叫做分类讨论思想。

分类的根据是现代数学中集合分类的概念与逻辑学中概念划分的方法。

所谓概念的划分，就是根据它的属性来区分它的对象。

即根据它的内涵来对它的外延实行分类。

使同一类的对象具有相同的属性，不同类的对象具有不同的属性。

这些分类构成若干个新概念的外延，这些新概念就被称为从属于原来那个概念的种概念。

用来划分概念的那些属性，称为划分的标准。

然而根据分类的含义，无论是单层次还是多层次的分类，每一次的划分必须按同一标准进行，划分标准不同，划分的结果也不同。

对于初中数学而言，我大致总结了以下几种可以作为分类讨论的划分标准，供大家讨论。

1、数学概念和定义
例1、若|a|=3，|b|=5，则|a+b|=
分析：与绝对值相关的问题，一般要去掉绝对值号，这就要根据绝对值的概念进行分类。

解：当a 、b 同号时，|a+b|=8；当a 、b 异号时，|a+b|=2。

例2、矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是 （03上海中考第14题） 分析：“两圆相切”的问题在近两年（03、04）上海中考连续出现，考察的就是“两圆相切”包含内切和外切两种情况，然而得分率均低于50％，说明学生对于“两圆相切”这一概念掌握不深。

解：两圆外切时r 的取值范围是：1<r<8；两圆内切时r 的取值范围是：18<r<25，
∴圆A 的半径r 的取值范围是1<r<8或18<r<25
2、定理、公式的适用范围
例3、已知abc ≠0，且
p b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线y=px ＋p 一定通过第 象限； 分析：等比性质的适用范围是a ＋b ＋c ≠0，题目中并没有交代a ＋b ＋c 的具体性质，须按照适用否等比性质进行讨论。

解：当a ＋b ＋c ≠0，p ＝2，y ＝2x ＋2，经过第一、二、三象限；
当a ＋b ＋c ＝0，p ＝－1，y ＝-x-1，经过第二、三、四象限； ∴直线y=px ＋p 一定通过第二、三象限
3、问题中待定参数的变化
例4、关于x 的方程(m-4)x 2-(2m-1)x+m=0，当m 为何值时，方程有实根？
分析：方程有实根，即方程有两个实根或一个实根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次系数须分类讨论。

解：Ⅰ）当m-4＝0，即m ＝4时，原方程化为-7x+4=0，此时方程有且只有一个实数根；
Ⅱ）当m-4≠0，即m ≠4时，原方程为一元二次方程，其中 0)4(4)]12([2
≥⋅----=∆m m m ，即m ≥12
1
-且m ≠4时，方程有两个实根。

综上所述，方程有实数根的条件是m ≥12
1-
4、几何量之间的位置关系
例5、平面上A 、B 两点到直线k 距离分别是32-与32+，则线段中点C 到直线k 的距离是 ；
分析：点A 、点B 与直线k 的位置关系有两种情形：A 、B 点在直线k 的同侧或异侧。

BN ⊥k 于N ，且AM 解：Ⅰ）如图，当点A 、B 两点在直线k 的同侧时，设AM ⊥k 于M ，
＝32-，BM ＝32+，C 是AB 的中点，CP ⊥k 于P ，则CP 是梯
形AMNB 的中位
线，∴22
=+=
BN
AM CP Ⅱ）如图，当A 、B 两点在直线k 的异侧时，过B 作BR ⊥AM R ，延长PC 交
BR 于Q ，则AM ∥CQ ∥BN 。

∵AC ＝BC ，∴RQ ＝BQ ，∴PQ ＝BN ＝32+， CQ=
2)(2
1
21=+=BN AM AR ，∴CP=PQ-CQ=3 ∴线段中点C 到直线k 的距离是2或3
5、特殊三角形和四边形的特殊边角
例6、已知抛物线4)3
4
3(2
++
-=x m mx y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点。

如果△ABC 是等腰三角形，求m 的值
分析：题目告知了△ABC 是等腰三角形，但并没有说明哪两条边对应相等时，就应该考虑到AB=AC 、AB=BC 、AC=BC 三种情况，并分别给予讨论。

类似的情况还有告知是直角三角形但没有说明哪个是直角；告知是平行四边形但没有说明哪一组是对边等等 解：令04)343(2
=++
-x m mx ，则(mx-34)(x-3)=0，x 1=m
34 x 2=3 可知A(3,0)、B(
m 34,0)、C(0,4)，得AC ＝5、AB ＝m 343-、BC ＝22
)34(4m
+ Ⅰ）当AC ＝BC ，A 、B 两点关于y 轴对称，即二次函数关于y 轴对称，∴m ＝9
4
- Ⅱ）当AC ＝AB ，则m
34
3-
＝5，m ＝61或32-
Ⅲ）当BC ＝AB ，则22
)34(4m
+＝m 34
3-
，m ＝78- 综上所述：m 等于94-.or.61.or.32-.or.7
8
-。

6、全等三角形和相似三角形的对应边
例7、如图，直线22
1
+=
x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9（02上海中考）
（1）求点P 的坐标；
（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图像上，且点R 在直线PB 的右侧。

作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标。

解：（1）点P 的坐标为（2,3）
分析：求△BRT 与△AOC 相似，就要首先观察这两个三角形的性质，都是直角三角形，但哪两条边为对应边并没有说明，所以就应按对应边的不同进行讨论。

解：（2）可知点R 的坐标为（b,
b 6） ① 当△RTB ∽△AOC 时，
CO BT AO RT
=，解方程，得b ＝3或b ＝－1（舍去） ② 当△RTB ∽△COA 时，
AO
BT CO
RT
=，解方程，得b ＝113+或b ＝131-（舍去） 综上所述，点R 坐标为（3,2）或)2
1
13,131(-+
学习数学，很重要的一个方面，就是掌握一系列的数学方法，而分类讨论的思想就是其中一枝，也是近几年中考的一个热点。

学生应该在学中思考，在思考中总结，这样才能真正地做到融会贯通。

参考书目：《生活 数学 社会—初中数学应用问题集》
2004-7-10。