2019-2020学年湖南省岳阳市县城关镇第一中学高二数学文期末试题含解析

2019-2020学年湖南省岳阳市县城关镇第一中学高二数
学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在实数集R中，已知集合和集合B={x||x﹣1|+|x+1|≥2}，则
A∩B=（）
A．{﹣2}∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）C．[2，+∞） D．{0}∪[2，+∞）
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由或x2﹣4=0，
∴x≥2，或x=﹣2
即A={﹣2}∪[2，+∞），
由|x﹣1|+|x+1|≥2，可得x∈R，
∴A∩B={﹣2}∪[2，+∞），
故选：A
2. 直线的夹角
是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. 已知△ABC的周长为20，且顶点 B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是（）
A （x≠0）B
（x≠0）
C（x≠0）D
（x≠0）
参考答案：
B
略
4. 已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）
A．B．C． D．3
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，c关系，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线双曲线M：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0），其中c=
∴一个焦点到一条渐近线的距离为d==，即7b2=2a2，
由此可得双曲线的离心率为e==．
故选：C．
5. 下列值等于的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
利用微积分基本定理逐个计算每个选项中的定积分，可得出正确选项.
【详解】由微积分基本定理可得，，
，，故选：D.
【点睛】本题考查定积分的计算，解题的关键就是利用微积分基本定理进行计算，考查计算能力，属于基础题.
6. 如右图是函数的导函数的图像，
下列说法错误的是（）
A. 是函数的极小值点
B .1是函数的极值点
C .在处切线的斜率大于零
D .在区间上单调递增
参考答案：
B
略
7. 空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的表面积为A．32+10
B．20+5
C．57
D．42
参考答案：
A
略
8. 已知两定点，，曲线上的点P到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )
A．a2 B．a2 C．2a2 D．2a2
参考答案：
C
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积．
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，
可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为
2a，
∴原平面图形的面积为a·2a=2a2
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．
10. 用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
C
【考点】用数学归纳法证明不等式．
【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．
【解答】解：用数学归纳法证明，
第一步应验证不等式为：；
故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. “若或，则”的逆否命题
是.
参考答案：
若，则且
12. 已知某一随机变量X的概率分布表如右图，且E(X)＝3，则V(X)＝
参考答案：
4.2
13. 已知二次函数，且，又，则的取值范围是*** ．
参考答案：
略
14. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是__________________.
参考答案：
略
15. 已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，则函数f(x)的单调减区间是__________．
参考答案：
，
【分析】
根据导数符号与原函数单调性之间的关系结合导函数的图象可得出函数的单调递减区间.
【详解】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数的单调递减区间为和.
故答案为：，.
【点睛】本题考查利用导函数的图象求原函数的单调区间，要结合导函数符号与原函数单调性之间的关系来解答，属于基础题.
16. 方程x+ y= 1表示的曲线是___________________。

参考答案：
x2– 2 y2 = 2（x > 2或x < – 2）
17. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则B（2，2，0），
D（0，0，0），
C（0，2，0），P（0，0，2），
E（0，1，1），
=（2，2，0），=（0，1，1），
设平面BDE的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，
得=（1，﹣1，1），
平面DEC的法向量=（0，0，1），
设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，
则cosθ==．
∴二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知直线l经过点P（4，﹣3），且与圆C：（x+1）2+（y+2）2=25相切，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】圆的切线方程．
【分析】当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，同时由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d=r列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，显然x=4满足题意，综上，得到满足题意的直线l的方程．
【解答】解：（1）若直线l的斜率存在，则可以设直线l的方程为y+3=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣3=0．
于是=5，解得k=．
故直线l的方程为x﹣y﹣4×﹣3=0，即12x﹣5y﹣63=0 …
（2）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=4，它与⊙C相切，满足条件．
因此，直线l的方程是x=4或12x﹣5y﹣63=0．…
19. （1）已知复数当实数取什么值时，复数是：
(1)零；(2)纯虚数；(3)
（2）设复数满足,且是纯虚数,求.
参考答案：
解：(1)m=1；(2)m=0；(3)m=2
（2）设复数满足,且是纯虚数,求.
解：
略
20. 已知函数f（x）对任意实数a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）成立．
（1）求f（0）与f（1）的值；
（2）求证：f（）=﹣f（x）；
（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均为常数），求f（36）的值．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）分别令a=b=0和a=b=1，即可求f（0）与f（1）的值；
（2）根据条件即可证明f（）=﹣f（x）；
（3）根据抽象函数的关系进行转化即可求f（36）的值．
【解答】解：（1）∵f（ab）=f（a）+f（b），
∴令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令a=b=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
即f（1）=0；
证明：（2）∵?x=1，
∴f（）+f（x）=f（?x）=f（1）=0，
则f（）=﹣f（x）；
（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均为常数），
则f（2）+f（3）=f（2×3）=f（6），
即f（6）=p+q，
则f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2p+2q．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．注意条件之间的转化和应用．
21. 在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来
的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．
参考答案：
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．
【分析】（Ⅰ）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长．
（Ⅱ）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大小，进一步把函数关系式变性成正
弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x﹣），最后利用整体思想求出函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．
则：S=．
解得：c=2．
a2=b2+c2﹣2bccosA
则：a=．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，
所以：，
解得：sinB=1，
由于0＜B＜π
则：，C=．
f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx）=2sin（x﹣），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x﹣），
令：（k∈Z）
解得：
则函数g（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）
22. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当点P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
参考答案：
（1）由题意知，圆M的半径，设，
∵PA是圆M的一条切线，∴，
∴，解得，
∴或
．
…………4分
（2）设，∵，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为，
（也可由圆的直径式方程，得圆的方程为）
即，
由，解得或，∴圆过定点，
．…………9分
（3）因为圆N方程为，
即，圆M：，即，②-①得：圆M方程与圆N公共弦AB所在的直线方程为：，
点M到直线AB的距离，
相交弦长，
当时，有最小值
．
…………15分。