高中数学第1章三角函数1-4三角函数的图象与性质1-4-2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性课件新

2_π__
奇偶性
__奇__函__数___
__偶__函__数___
思考：函数y＝|sin x|，y＝|cos x|是周期函数吗？ [提示] 是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.
1．下列函数中，周期为π2的是( )
A．y＝sin
x 2
B．y＝sin 2x
C．y＝cos
x 4
D．y＝cos 4x
) B．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数
B [y＝2sin2x＋π2＝2cos 2x，它是周期为π的偶函数．]
3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)
＝
.
6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)， 所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]
合作 探究 释疑 难
三角函数的周期问题及简单应用 【例1】 求下列函数的周期： (1)y＝sin2x＋π4； (2)y＝|sin x|.
[解] (1)法一：(定义法)y＝sin2x＋π4 ＝sin2x＋π4＋2π＝sin2x＋π＋π4， 所以周期为π. 法二：(公式法)y＝sin2x＋π4中ω＝2，T＝2ωπ＝22π＝π.
(2)作图如下： 观察图象可知周期为π.
1．本例(2)中函数变成“y＝|cos x|”，图定义求下列函数的周期． (1)y＝cos 2x，x∈R； (2)y＝sin13x－π4，x∈R.
[解] (1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的 定义知，y＝cos 2x的周期为π.
(2)因为sin13x＋6π－4π ＝sin 13x＋2π－π4 ＝sin 13x－π4 ，由周期函数的定义知，y＝ sin13x－π4的周期为6π.
第一章 三角函数
§1 数列 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点) 3.掌握函数y＝sin x和y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶 性．(重点、易混点)
观察图象可知周期是π.
2．本例(2)中函数变成y＝sin |x|或y＝cos |x|，图象如何？ [解] 作图如下：
由图象可知y＝sin |x|不是周期函数，y＝cos |x|的图象与y＝cos x 图象相同，仍为周期函数，周期为2π.
求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝|2ωπ|. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝|ωπ |.
∴f(x)为奇函数．
③∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－π2，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数 式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
核心素养
1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培 养学生的数学抽象素养. 2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养.
自主 预习 探新 知
1. 函数的周期性 (1)周期函数
①对于函数f(x)，存在一个 非零常数T 条件 ②当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立． 法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．
思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立． 法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．
②由11－ ＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z
，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
(1)φφ＝kπ＋π2，k∈Z [因为y＝cos ωx为偶函数，y＝sin ωx 为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱 导公式后函数变成y＝2cos x或y＝－2cos x，只有φ＝kπ＋π2(k∈Z)．]
(2)[解] ①显然x∈R，f(x)＝cos12x，
∵f(－x)＝cos－12x＝cos12x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．
D [根据公式T＝2ωπ可知π2＝2ωπ，得ω＝4，故应选D.]
1．下列函数中，周期为π2的是( )
A．y＝sin
x 2
B．y＝sin 2x
C．y＝cos
x 4
D．y＝cos 4x
D [根据公式T＝2ωπ可知π2＝2ωπ，得ω＝4，故应选D.]
2．函数y＝2sin2x＋π2是( A．周期为π的奇函数 C．周期为2π的奇函数
三角函数奇偶性的判断
【例2】 (1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合
为
．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝sin－12x＋π2； ②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
思路点拨：(1) 结合y＝cos ωx为偶函数 → 利用诱导公式 → φ＝π2＋kπk∈Z (2)
(2)最小正周期 条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_正__数__ 结论 这个最小正数 叫做f(x)的_最__小__正__周__期____
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2_π__