2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练66

随堂巩固训练(66)
1. 如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n ≥2)的第2
个数是 n 2－n ＋22 . 解析：设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律，a 3－a 2＝2，a 4－
a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，累加得a n ＝n 2－n ＋22
. 2. 同样载质量的若干辆汽车运送一批货物，若同时投入运送，24小时可以全部送完这批货；若每隔相同的时间投入一辆车，而且每辆车投入运送后要工作到全部货物运完，已知最后所有的车辆都投入了运送，且第一辆车工作的时间是最后一辆车的5倍，这种运送方式持续的时间共为 40 小时.
解析：每辆车隔相同的时间投入使用，那么它们的工作时间t 1，t 2，…，t n 构成了一个等差数列，且有t 1＝5t n .因为全部同时投入运送时，24小时运完，那么每辆车的工作效率为
124n ，所以有124n ·t 1＋124n ·t 2＋…＋124n ·t n ＝1.由上面的分析可知⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝5t n ，124n （t 1＋t 2
＋…＋t n ）＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 1
＝5t n ，124n ·t 1＋t n 2·
n ＝1，得t 1＝40，所以这种运送方式共持续了40小时. 3. 为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…依此类推，到第十层恰好将大理石用完，共需大理石 2 046 块.
解析：设共用去大理石x 块，则各层用大理石块数分别为：
第一层：x 2＋1＝x ＋22；第二层：x －x ＋222＋1＝x ＋24；第三层：x －x ＋22－x ＋242＋1＝x ＋28
；…；第十层：x －x ＋22－x ＋24－…－x ＋2292＋1＝x ＋2210，组成首项为x ＋22，公比为12
，项数为10的等比数列，所以x ＝x ＋22＋x ＋24＋…＋x ＋2210，解得x ＝2 046. 4. 1991年，某内河可供船只航行的河段长1 000千米，但由于水资源的过度使用，造成河水断流，从1992年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二，则
到2000年，该内河可行驶的河段长度为 1 000×⎝⎛⎭⎫239
千米.
解析：设a 1＝1 000，a n ＝2a n －13
，则数列{a n }为等比数列，a n ＝1 000×⎝⎛⎭⎫23n －1，所以到2000年，该内河可行驶的河段长度为a 10＝1 000×⎝⎛⎭⎫239千米.
5. 一位个体户在一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%，每月需交所得税为该月所得金额(含利润)的10%，每月生活费和其他开支为3 000元，余额作为资金全部投入再营业.如此继续，到这一年底，这位个体户还清银行贷
款后，纯收入一共还有 69 886 元.(银行贷款的年利率为25%，精确到1元)
解析：设第n 个月底余额为a n ，由于a 1＝(1＋20%)×105－(1＋20%)×105×10%－3×103＝1.05×105，a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n (1＋20%)×10%－3×103＝1.08a n －3×103，则a n ＋1－
3.75×104＝1.08(a n －3.75×104).
设a n －3.75×104＝b n ，b 1＝6.75×104，则数列{b n }为等比数列，所以b n ＝b 1×1.08n －1，
a n ＝6.75×104×1.08n －1＋3.75×104，a 12≈1.948 86×105，还贷后纯收入为a 12－105×(1＋25%)
＝69 886(元).
6. 某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，则每年应还 3 255 元.(精确到1元)
解析：设贷款利率为r ，贷款金额为A 元，每年等额归还x 元，第n 年还清，所以贷款
A 元，到第n 年连本带利应还A(1＋r)n 元，则有数列模型：(1＋r)n A ＝x[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2
＋…＋(1＋r)＋1]，即(1＋r)n
A ＝x·（1＋r ）n －1r ，于是x ＝Ar （1＋r ）n
（1＋r ）n －1.将r ＝0.1，A ＝20 000，n ＝10代入得x ＝20 000×0.1×1.110
1.110－1
，所以x ≈3 255元，故每次应还3 255元. 7. 某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，则2000年底该城市人均住房面积为 5.48 平方米.(精确到0.01)
解析：1991年、1992年、…、2000年住房面积总数成等差数列{a n }，
a 1＝6×500＝3 000，d ＝30，
a 10＝3 000＋9×30＝3 270.
1991年、1992年、…、2000年人口数成等比数列{b n }，
b 1＝500， q ＝1.01，b 10＝500×1.019≈546.8，
所以2000年底该城市人均住房面积为3 270546.8
≈5.98平方米.
8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连结等腰直
角三角形，等腰直角三角形边上再连结正方形，…，如此继续，若
共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为
22，则最小的正方形的边长为 132
. 解析：由题意得正方形的边长构成以22为首项，以22
为公比的等比数列，共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，n ＝10，所以最小的正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫2210－1＝132
. 9. 从盛有盐的质量分数为20%的2kg 盐水的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，
(1) 第5次倒出的1kg 盐水中含盐多少千克？
(2) 经6次倒出后，一共倒出多少千克盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？ 解析：(1) 由题意得每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，
则a 1＝0.2，a 2＝12
×0.2，a 3＝⎝⎛⎭⎫122×0.2. 所以a n ＝⎝⎛⎭
⎫12n －1×0.2， a 5＝⎝⎛⎭⎫125－1×0.2＝⎝⎛⎭⎫124×0.2＝0.012 5(kg ).
(2) 由(1)得数列{a n }是等比数列，且a 1＝0.2，q ＝12
， 所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝0.2×⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝0.393 75(kg ).
经过6次倒出后，还剩盐0.4－0.393 75＝0.006 25(kg )，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.006 25÷2＝0.312 5%.
10. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年(2004年)起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，
第n 年(今年为第一年)的利润为500⎝⎛⎭
⎫1＋12n 万元(n 为正整数). (1) 设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式；
(2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解析：(1) 依题设，A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n －10n 2；
B n ＝500[⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12n ]－600＝500n －5002n －100. (2) B n －A n ＝⎝⎛⎭⎫500n －5002n －100 －(490n －10n 2)＝10n 2＋10n －5002n －100＝10[n(n ＋1)－502n
－10]. 易得函数y ＝x(x ＋1)－502x －10在区间(0，＋∞)上为增函数， 当1≤n ≤3时，n(n ＋1)－ 502n －10≤12－508
－10<0； 当n ≥4时，n(n ＋1)－502n －10≥20－5016
－10>0， 所以当且仅当n ≥4时，B n >A n ，
故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.
(1) 用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；
(2) 若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).
解析：(1) 由题意得a 1＝2 000×(1＋50%)－d ＝3 000－d ，
a 2＝a 1×(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52
d ， a n ＋1＝a n ×(1＋50%)－d ＝32
a n －d. (2) 由(1)知a n ＝32
a n －1－d(n ≥2)， 即a n －2d ＝32
(a n －1－2d)， 所以{a n －2d}是以3 000－3d 为首项，32
为公比的等比数列，则a n ＝(3 000－3d)·⎝⎛⎭⎫32n －1＋2d.
由题意a m ＝⎝⎛⎭⎫32m －1
(3 000－3d)＋2d ＝4 000，
解得d ＝1 000（3m －2m ＋1）3m －2m
， 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m －2m ＋
1）3m －2m 时，经过m(m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.
12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向中国建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1 000人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还中国建设银行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还中国建设银行贷款.
(1) 若公寓收费标准定为每个学生每年800元，到哪一年可偿还中国建设银行全部贷款？
(2) 若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每个学生每年的最低收费标准是多少元(精确到1元)？(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4)
解析：(1) 设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓管理处每年收费总额为 1 000×800＝80(万元)，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有
62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1，
化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1，
所以1.05n ≥1.734 3.
两边取对数整理得
n ≥lg 1.734 3lg 1.05≈0.239 10.021 2
≈11.28， 所以取n ＝12(年)，
所以到2014年底可全部还清贷款.
(2) 设每个学生每年的最低收费标准为x 元，因到2010年公寓共使用了8年，
依题意有⎝⎛⎭
⎫1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500×(1＋5%)9， 化简得(0.1x －18)×1.058－11.05－1
≥500×1.059，
所以x ≥10⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋25×1.05×1.058
1.058－1≈10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫18＋25×1.05×1.477 41.477 4－1≈10×(18＋81.2)＝992(元)，
故每个学生每年的最低收费标准为992元.。