中考复习二次函数与三角形综合问题

2 2
y
∴C点与M点坐标分别是(0,－3a),
(1,－4a)
S△ACB=
1 ×4×3a=6a 2
-1 A C
D
O
3 B
x
∴S△ACM=S△AOC+S梯形OCMD－S△ADM
M
1 1 1 = 2×1×3a+ 2 ×(3a+4a) ×1－ 2 ×2×4a
=a S ACM a 1 ∴ S ACB 6a 6
（3）Ｄ为直线ＡＢ与这个二次函数图象对称轴 的交点，在线段ＡＢ上是否存在一点Ｐ，使得四 边形ＤＣＥＰ是平行四边形？若存在，求出Ｐ点 坐标，不存在说明理由．

提高：有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐
角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为 12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形 纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平 行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形 纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）． （1）当x=0时，S=_____________； 当x = 10时，S =______________； （2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式； （3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式； （4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写 出最大值．
3、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次 函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若 △AOP的面积为6.(1)求二次函数的解析式.
解;由已知,A(4,0),B(0,4)得直线AB的解 析式为 y=-x+4, 作PE⊥OA于E, 则 0.5OA×PE=6, 可得PE=3 当y=3时,3=-x+4, ∴ X=1, ∴ P(1,3) ∵P在抛物线上, ∴把x=1,y=3代入y=ax2 ,得a=3, ∴ y=3x2
y B P
E
O
A
（2）如果D为抛物线上一点，使△AOD面积 是△AOP的面积的4倍,求D点坐标。
y B P O A x
Y 已知：抛物线与x轴的交点坐标为A(-1,0)和 B（3，0）,顶点为C,若∠ACB=90度. C
问1：C点的坐标是多少？ 问2：在抛物线的解析式 中， b 2 4ac
B(3,0) X
A(-1,0)
Y
C
2. 若题设中的A、B两点的坐标未 知，而已知∠ACB=90度，你能求 出 b 2 4ac吗？
A
D
B X
3. 从上面的探索中我们看到解析式中 的△与∠ACB有关，那么如果△ACB 是等边三角形，则△是多少？
Y
A
B X C
2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半 轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点 C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛 物线解析式。 解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴 OA=4，∴点A（4，0） y OB=1， ∴点B（-1，0） 又 ∵ ∠ACB=90° B O ∴OC2=OA· OB=4 C ∴OC=2，点C（0，-2）
C C F G C C
F A E B 图14—1
A
x
D
E 图14—2
B
A 备选图一
B
A 备选图二
B
(D)
已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2， 图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过 点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
(-1,0)
A O
2
B(3,0)
S△ COP=_______
4
(1,4)
P
S△ PAB=_______(Leabharlann ,3) C3 21
(-1,0)
A
B O
2
(3,0)
S△ PCB=_______
D E E (0,3) C
4 3 2
(1,4)
P
S△ ACP=_______
(-1,0) F F
A
1
B O
2
(3,0)
抛物线与坐标轴交点 构成的三角形问题
--------思考与探索
例 1: 已知抛物线 y= － x2+2x+3 与 x 轴交
于A,B两点，其中A点位于B点的左侧， 与y轴交于C点，顶点为P，
(1,4)
4
P
S△ AOC=______________ S△ BOC=_______
(0,3) C
3 2
1
A x
三. 图形问题
1在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P 从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移 动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/ 秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C 两点后就停止移动，回答下列问题： D C （1）运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2 Q （2）设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围； B A P t为何值时S最小？求出S的最小值。
在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0）， B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B两点 的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物 线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变， 请你求出这个比值。 （2004绍兴中考题）
y
A
-1
O C
3
B
x
M
解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3),
即y=ax －2ax－3a,即y=a(x－1) －4a
2、已知二次函数的图象的顶点坐标为Ｃ（１，
０），直线 y=x+m与该二次函数的图象交于Ａ、Ｂ 两点， 其中Ａ（３，４），Ｂ在y轴上， （１）求m的值及这个二次函数的关系式． （２）Ｐ为线段ＡＢ上的一个动点，（与Ａ,Ｂ不重合） 解 :1) ∵Ａ（３，４）在直线上，∴４＝３＋m， 过Ｐ作Ｘ轴的垂线与这个二次函数图象相交于Ｅ点， ∴ m=1 ∴y=x ＋1. 设线段ＰＥ的长为 h，点Ｐ的横坐标为x，求h与x之间 2 , ∵顶点（１，０），设二次函数为 y=a(x-1) 的函数关系式和x的取值范围． ∵Ａ（３，４） 在抛物线上，∴４＝a(3-1) 2 （２）∵ Py=(x-1) 点的横坐标为Ｘ， P在直线y=x+1上, 2 ∴a=1 ∴ 则P的纵坐标为（Ｘ＋１），PE⊥X轴, ∴ E的横坐标为x, Ｅ在抛物线上， ∴Ｅ的纵坐标为（Ｘ－１）２, ∵ h=PE, ∴ ｈ＝ｘ＋１－（Ｘ－１）２ 即ｈ＝－ｘ２＋３ｘ （０＜Ｘ＜３）