招生国统一考试数学理试题,解析试题1

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析〕
第I 卷
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

(1)复数
212i
i
+-的一共轭复数是 〔A 〕35i -
〔B 〕3
5
i 〔C 〕i -〔D 〕i 解析：
212i i
+-=
(2)(12)
,5i i i ++=一共轭复数为C 〔2〕以下函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 〔A 〕
3y x =(B)1y x =+〔C 〕21y x =-+(D)2
x
y -=
解析:由图像知选B
〔3〕执行右面的程序框图，假设输入的N 是6，那么输出的p 是 〔A 〕120 〔B 〕720 〔C 〕1440 〔D 〕5040 解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720
选B
〔4〕有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性一样，那么这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
〔A 〕
13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕34
解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，
所求的概率为p=
31
93
=选A 〔5〕角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，那么cos 2θ=
解析：由题知tan 2θ=,222222
cos sin 1tan 3
cos2cos sin 1tan 5
θθθθθθθ--===-++选B 〔A 〕45-
〔B 〕35-〔C 〕35〔D 〕4
5
〔6〕在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 那么相应的侧视图可以为
解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的局部与底面为
半径为r 的圆锥沿对称轴截出的局部构成的。

应选D
〔7〕设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB
为C 的实轴
长的2倍，那么C 的离心率为
〔A 〕
2〔B 3〔C 〕2〔D 〕3
解析：通径|AB|=2
22b a a
=得2222222b a a c a =⇒-=，选B
〔8〕5
12a x x x x ⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，那么该展开式中常数项为
〔A 〕-40〔B 〕-20〔C 〕20〔D 〕40
解析 1.令x=1得a=1.故原式=
5
11
()(2)x x x x
+-。

5
11
()(2)x x x x
+-的通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得
r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，假设第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提
出x ，选3个提出
1x ；假设第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1
x
，选3个提出x. 故常数项=
223
3223
35353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X
⋅⋅-
+⋅-⋅=-40+80=40 〔9
〕由曲线
y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为
〔A 〕
103〔B 〕4〔C 〕163
〔D 〕6 解析;
用定积分求解4
3
24
200
21162)(2)|323s x dx x x x =-+=-+=⎰，选C
〔10〕a 与b 均为单位向量，其夹角为θ
〔A 〕14,P P 〔B 〕13,P P 〔C 〕23,P P 〔D 〕24,P P
解析：
1a b +==>得，1
cos 2
θ>-
， 20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪
⎢⎣⎭。

由1a b -==>得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤
⇒∈ ⎥⎝⎦。

选A
〔11〕设函数
()sin()cos()(0,)
2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周期为
π
，且
()()f x f x -=，那么
〔A 〕
()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减〔B 〕()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减
〔C 〕
()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
〔D 〕
()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
解析
：
())
4
f x x π
ωϕ=++，所以
2
ω=，又f(x)为偶函数，
,4
2
4k k k z π
π
π
ϕπϕπ∴+
=
+⇒=
+∈
，())2
f x x x π
∴=+=，选A (12)函数
1
1y x
=
-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 〔A 〕2(B)4(C)6(D)8
解析：图像法求解。

1
1
y x =
-的对称中心是〔1,0〕也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，那么x=1右侧必有4个交点。

不妨把他们的横坐标由小到大设为
1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，那么182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D
第二卷
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分。

〔13〕假设变量,x y 满足约束条件329,
69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
那么2z x y =+的最小值为。

解析：画出区域图知，
当直线2z
x y =+过23
9x y x y +=⎧⎨-=⎩
的交点(4,-5)时，min 6z =-
〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x。

过1F 的
直线L 交C 于,A B 两点，且
2ABF 的周长为16，那么C 的方程为。

解析：由416c a a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
得
a=4.c=从而b=8,22
1168
x y ∴+=为所求。

〔15〕矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，
且6,AB BC ==,那么棱锥O ABCD
-的体积为。

解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,那么
=,
22=，1
623
O ABCD V -=⨯⨯=.
〔16〕在
ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为。

解析：
00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,
22sin sin sin BC AC
BC A A B
==⇒=
022sin 2sin(120)sin sin sin AB AC
AB C A A A C B
==⇒==-=+；
2AB BC ∴+=
5sin ))A A A A ϕϕ+=+=+，故最大值是
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

〔17〕〔本小题总分值是12分〕 等比数列
{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==
〔Ⅰ)求数列
{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕设31323log log ......log ,n
n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
解析：〔Ⅰ〕设数列{a n }的公比为q ，由2
3
269a a a =得32349a a =所以2
1
9
q =。

由条件可知a>0,故13
q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113
a =。

故数列{a n }的通项式为a n =
13n。

〔Ⅱ 〕31323n log log ...log n b a a a =+++
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 所以数列1{
}n b 的前n 项和为21
n
n -+
(18)(本小题总分值是12分)
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)假设PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

解析1：〔Ⅰ〕因为60,2DAB
AB AD ∠=︒=,由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2
+AD 2
=AB 2
，故BD ⊥AD;又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD.故PA ⊥BD
〔Ⅱ〕如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，那么
()1,0,0A ,()03,0
B ，,()1,
3,0
C -,()0,0,1P 。

设平面PAB 的法向量为n =〔x,y,z 〕，那么00
n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,
即
3030
x y y z -+=-=
因此可取n =(3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，那么0
m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可取m=〔0，-1，3-
〕427
cos ,727
m n -=
=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为27
7
-
〔19〕〔本小题总分值是12分〕
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大说明质量越好，且质量指标值大于或者等于102的产品为优质品，现用两种新配方〔分别称为A 配方和B 配方〕做试验，各消费了100件这种产品，并测量
z x
P
C
B
A D
y
了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
〔Ⅰ〕分别估计用A 配方，B 配方消费的产品的优质品率；
〔Ⅱ〕用B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为
从用B 配方消费的产品中任取一件，其利润记为X 〔单位：元〕，求X 的分布列及数学期望.〔以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率〕
解析：〔Ⅰ〕由试验结果知，用A 配方消费的产品中优质的平率为
228
=0.3100
+，所以用A 配方消费的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B 配方消费的产品中优质品的频率为
3210
0.42100
+= 〔Ⅱ〕用B 配方消费的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的频率
分别为0.04，,054,0.42，因此X 的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即X 的分布列为 X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4× 〔20〕〔本小题总分值是12
分〕
在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,-1)，B 点在直线y=-3上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA ⋅=⋅，
M 点的轨迹为曲线C 。

〔Ⅰ〕求C 的方程；
〔Ⅱ〕P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 间隔的最小值。

解析;(Ⅰ)设M(x,y),由得B(x,-3),A(0,-1).
所以MA =〔-x,-1-y 〕,MB =(0,-3-y),AB =(x,-2). 再由题意可知〔MA +MB 〕•
AB =0,即〔-x,-4-2y 〕•
(x,-2)=0.
所以曲线C 的方程式为y=
14
x 2
-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=
14x 2-2上一点，因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为
0001()2
y y x x x -=-，即2
000220x x y y x -+-=。

那么o 点到l
的间隔d
=
又
2
00124
y x =
-，所以 当2
0x =0时取等号，所以o 点到l 间隔的最小值为2. 〔21〕〔本小题总分值是12分〕
函数
ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

〔Ⅰ〕求a 、b 的值；
〔Ⅱ〕假设当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值范围。

解析：〔Ⅰ〕
22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x
α+-=
-+
由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,
1'(1),2
f f =⎧⎪
⎨=-⎪⎩即
1,
1,22
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知ln 1
f ()1x x x x
=
++，所以
22ln 1(1)(1)
()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，那么22
(1)(1)2'()k x x
h x x -++=。

(i)设0k ≤，由22
2
(1)(1)'()k x x h x x +--=
知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。

而(1)0h =故
当(0,1)x ∈时，()
0h x >，可得
2
1
()01h x x
>-； 当x ∈〔1，+∞〕时，h 〔x 〕<0，可得
2
11x -h 〔x 〕>0
从而当x>0,且x ≠1时，f 〔x 〕-〔
1ln -x x +x k 〕>0，即f 〔x 〕>1ln -x x +x
k
. 2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且244(1)0k ∆=-->，对称
轴x=
1
11k >-.
当x ∈〔1，k -11〕时，〔k-1〕〔x 2
+1〕+2x>0,故'
h (x 〕>0,而h 〔1〕=0，故当x ∈〔1，
k
-11
〕
时，h 〔x 〕>0，可得
2
11
x -h 〔x 〕<0,与题设矛盾。

〔iii 〕设k ≥
212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'h 〔x 〕>0,而h 〔1〕=0，故当x ∈〔1，+∞〕时，h 〔x 〕>0，可得
2
11
x -h 〔x 〕<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为〔-∞，0]
点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进展求解。

假设求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。

即以参数为分类HY ，看是否符合题意。

求之答案。

此题用的便是后者。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假设多做，那么按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

〔22〕〔本小题总分值是10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边
AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。

AE 的
长为m ，AC 的长为n,AD ，AB 的长是关于x 的方程2140
x x mn -+=的两个根。

〔Ⅰ〕证明：C ，B ，D ，E 四点一共圆； 〔Ⅱ〕假设90A ∠=︒，且4,6m
n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径。

解析：〔I 〕连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯
即
AB
AE AC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点一共圆。

〔Ⅱ〕m=4,n=6时，方程x 2
-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故AD=2，AB=12.
取CE 的中点G,DB 的中点F ，分别过G,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线
相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点一共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.
由于∠A=900
，故GH ∥AB,HF ∥AC.HF=AG=5，DF=
2
1
(12-2)=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为5
2
(23)(本小题总分值是10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩〔α为参数〕 M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM
=,P 点的轨迹为曲线C 2
(Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=
与C 1的异于极点的交点为A ，与
C 2的异于极点的交点为B ，求
AB .
解析;〔I 〕设P(x,y),那么由条件知M(
,22
x y ).由于M 点在C 1上，所以
2cos ,222sin 2x y αα⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=+⎪⎪⎩⎭
即4cos 44sin x y αα=⎧⎫⎨⎬=+⎩⎭
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα
=⎧⎨=+⎩〔α为参数〕 〔Ⅱ〕曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3π
θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3π
ρ=， 射线3π
θ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3π
ρ=。

所以21||||AB ρρ-==
(24)(本小题总分值是10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

〔Ⅰ〕当1a
=时，求不等式()32f x x ≥+的解集； 〔Ⅱ〕假设不等式
()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值。

解析：〔Ⅰ〕当1a
=时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得3x
≥或者1x ≤-。

故不等式
()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或者1}x ≤-。

( Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤
此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或者30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩
即4
x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或者2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a
x x ≤- 由题设可得2a -=1-，故2a =。