线性代数期末试卷补考(09-10年)

东华大学 2009--2010 学年第一学期线性代数试卷B 卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

教师 班号 姓名 学号 考试教室
一1. 设2
1
5
4
301200011311
=
D , i j A 是D 中元素i j a 的代数余子式, 则4142A A += .
2. 已知321,,ααα线性相关, 3α不能由12,αα线性表示, 则12,αα线性__________.
3. 设1121α⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
, 12
111αα⎛⎫ ⎪
+=- ⎪ ⎪⎝⎭
, 其中12αα，
是非齐次线性方程组b Ax =的解, A 为32⨯矩阵, 且()2R A =, 则线性方程组b Ax =的通解为 .
4. 设1
213
254
1A x -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝
⎭
是不可逆矩阵, 则x =____________. 5. 列向量⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=2135
212
b
a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，
b ＝ . 6. 设矩阵B A ，满足E B AB 45-=,且⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=20
0021
021
B ，则A = . 7. 已知实二次型32212
32
22
132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=正定,则常数a 的 取值范围为________________.
8. 若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 .
9. 设A 为n 阶实矩阵，且1-=A A T ，0||<A ，则行列式 =+||E A . 10.设实对称矩阵33)(⨯=j i a A 满足03=+E A ，则二次型 Ax x f T = 经正交变换
y Q x =可化为标准形=f .
二、单项选择题（每小题3分, 共15分） 1. 下列矩阵不一定为方阵的是（ ）
A . 对称矩阵;
B . 可逆矩阵;
C . n 阶矩阵的转置矩阵;
D . 线性方程组的系数矩阵. 2. 设向量组m ααα,,,21 的秩为r , 则（ ）.
A . m r <；
B . m r ≤；
C . m r >；
D . m r ≥.
3. 设n 阶矩阵A 满足A A =2, 则A 的特征值为（ ）.
A . 0；
B . 1；
C . 1±；
D . 0或1.
4. 已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=96
342
321k A ，0)(33≠=⨯j i b B ，且0=AB ，则 A . 当6=k 时，必有秩()1R B =； B . 当6=k 时，必有秩()2R B =； C . 当6≠k 时，必有秩()1R B =； D . 当6≠k 时，必有秩()2R B =. 5. 设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则 A . A A A n 1||)(-**=； B . A A A n 1||)(+**=； C . A A A n 2
|
|)(-*
*
=； D .A A A n 2
|
|)(+**=.
三、(7分) 求方程0)(=x f 的根，其中 2
1
2
3
112362543122)(2
2
--+-----=
x x x f .
四、(7分)设321ααα，，是n 维非零实向量，2211ααβk k +=，21k k ，为使得0≠β的任意常数。

以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。

(1) 若3α与1α正交，且3α与2α也正交，则3α与β正交。

(2) 若3α与1α线性无关，且3α与2α也线性无关，则3α与β线性无关。

五、(12分)已知非齐次线性方程组 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++-=-++-=+++1
315341
432143214321bx x x ax x x x x x x x x ，其系数矩阵A 的
秩()2R A =，试求：常数b a ，的值，以及该方程组的通解。

六、(7分)设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：
(1) 矩阵A 可逆, 并求1A -; (2) 矩阵E A 2-与E A +不同时可逆.
七、(12分)设二次型3231212
322
21222x x x ax x x x ax x f +++++=，已知秩()2R f =。

试求：（1）a 的值； （2）正交变换y Q x =化二次型f 为标准型。