角平分线的性质课件

角平分线的性质
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
用符号语言表示为：
A D
因为∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
1
C P
2
所以PD=PE.
O
EB
【跟踪训练】
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路的距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20 000）
在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE（已知）
所以 Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 所以∠ QOD＝∠QOE 所以点Q在∠AOB的平分线上
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示为： 因为 QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． 所以点Q在∠AOB的平分线上．
2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1 ＭＮ的长
2
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
为什么OC是∠AOB的平分线?
【解析】连接MC,NC.由作法知:
在△OMC和△ONC中
A
OM=ON MC=NC
M
C
OC=OC O
所以△OMC≌△ONC(SSS)
N
B
所以∠AOC=∠BOC
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的
角，又该怎么办呢？
视察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
【解析】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
2.5 角平分线的性质
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的 角.你有什么办法？ 对折
A
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有
C 何关系？
OBΒιβλιοθήκη 1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握 角平分线的作法和角平分线的性质. 2.提高综合运用角平分线有关知识解决问题的能力；掌握简 单的角平分线在生产、生活中的应用.
A DC
B
【解析】选D.由于没有限制在何处选址,故要求的 地址共有四处, 即：A,B,C,D各一处.
2.（宁德·中考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不 添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个 条件是:_______________，并给予说明.
A
E F
B
D
c
【解析】方法一：添加条件：AE＝AF. 在△AED与△AFD中，
因为AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， 所以△AED≌△AFD（SAS）. 方法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA.
在△AED与△AFD中， 因为∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， 所以△AED≌△AFD（ASA）. 答案：AE=AF或∠EDA＝∠FDA，答案不唯一
3.已知:如图,在△ABC中,AD是
它的角平分线,且BD=CD,DE⊥
A
AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
试说明:EB=FC.
E
F
【解析】根据角平分线的性质得 B
DE=DF，再根据HL得
D
C
△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.
时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变 数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来 计算时间的人时间多59倍.
所以∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
因为PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
A
所以∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） D
在△OPD和△OPE中 ∠DOP=∠BOP （已证）
C P
∠ODP=∠OEP （已证）
O
OP=OP （已知）
EB
所以△OPD≌△OPE(AAS)
所以PD＝PE（全等三角形对应边相等）
即OC 是∠ＡＯＢ的平分线.
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕 为斜边），然后展开，视察两次折叠形成的三条折痕， 你能得出什么结论？
猜想:角平分线上的点，到角的两边的距离相等.
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E，试说明: PD=PE.
【解析】因为ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
1.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转
站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址
有( ) A.一处 C.三处
B.两处 D.四处
s
【解析】 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.
O
s
D C
反过来，在角的内部到一个角的两边的距离相等的 点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D,E为垂足，QD＝QE． 试说明：点Q在∠AOB的平分线上．
【解析】 因为 QD⊥OA，QE⊥OB 所以 ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
——雷巴柯夫
DC=BC（已知） CA=CA（公共边）
A
D
所以△ACD≌ △ACB（SSS）
所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
所以AC平分∠DAB（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样作一 个角的平分线？（不用角平分仪或量角 器）
尺规作角的平分线
画法：
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
A
【跟踪训练】
12
(1)因为∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
所以_D__C_=__D___
CD
B
(__角__平E__分__线__上_的__点__，__到__这__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等____)
(2)因为DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
所以_∠_1__=__∠_2___ (_角__的__内__部__到__角__的__两__边__距__离__相__等__的__点__在__角__的__平__分__线__上___)