最新河北省石家庄市鹿泉一中等名校高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年河北省石家庄市鹿泉一中等名校高一下学期
期末数学试题
一、单选题
1．在平面坐标系中，»,AB »,CD
»,EF ¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若sin tan cos ααα<<，则P 所在的圆弧最有可能的是（ ）
A ．»A
B B ．»CD
C ．»EF
D ．¼GH
【答案】A
【解析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案． 【详解】
若P 在AB 段,正弦小于正切,正切有可能小于余弦;
若P 在CD 段，正切最大，则cos α<sin α<tan α；
若P 在EF 段，正切，余弦为负值，正弦为正，tan α<cos α<sin α； 若P 在GH 段，正切为正值，正弦和余弦为负值，cos α<sin α<tan α. ∴P 所在的圆弧最有可能的是»AB . 故选：A . 【点睛】
本题任意角的三角函数的应用，根据角的大小判断角的正弦、余弦、正切值的正负及大小，为基础题.
2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，660S =，则等差数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
【答案】B
【解析】利用等差数列的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出等差数列{a n }的公差． 【详解】
∵n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，
4524a a +=，660S =，
∴1113424
65
6602a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
， 解得d =2,a 1=5，
∴等差数列{}n a 的公差为2. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列的公差，此类问题根据题意设公差和首项为d 、a 1，列出方程组解出即可，属于基础题.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．54
B ．54185+
C ．90
D ．81
【答案】A
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，进而得
到答案． 【详解】
由三视图可知，该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱， 四棱柱的底面是边长为3的正方形，四棱柱的高为6， 则该多面体的体积为33654⨯⨯=. 故选：A . 【点睛】
本题考查三视图知识及几何体体积的计算，根据三视图判断几何体的形状，再由几何体体积公式求解，属于简单题.
4．在ABC V 中，2BD DC =u u u r u u u r
，则AD =u u u r （ ）
A ．1233
AB AC -u u u
r u u u r
B ．1233AB A
C +u u u
r u u u r
C ．2133AB AC -u u u
r u u u r
D ．2133
AB AC +u u u
r u u u r
【答案】B
【解析】根据向量的三角形法则进行转化求解即可． 【详解】 ∵2BD DC =u u u r
u u u r
， ∴23
AD AB A D BC B B ==++u u u u u r u u u r u u u r u r u u u r
，
又BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r
则1233
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
故选：B 【点睛】
本题考查向量加减混合运算及其几何意义，灵活应用向量运算的三角形法则即可求解，属于基础题.
5
．已知向量(
()
1
a b ==r r ，，，则a r 与b r
夹角的大小为( ) A ．
6
π
B ．
2
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】D 【解析】。

分别求出a r ，b r ，a b ⋅r r ，利用cos ||||
a b a b θ⋅=⋅r r r r
即可得出答案. 【详解】
设a r 与b r
的夹角为θ
||2,||2a b ====r r
1((1a b ⋅=⨯+⨯=-r
r
cos ||||a b a b θ⋅∴===⋅r r r r
[0,]θπ∈Q
56
π
θ\=
故选：D 【点睛】
本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题. 6．若将函数2cos 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象向左平移
1
4
个最小周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2cos 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．2cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ C ．2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．2cos 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】B
【解析】首先判断函数的周期，再利用“左加右减自变量，上加下减常数项”解题． 【详解】
函数()2cos 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为22
T π
π=
=, 函数()f x 的图象向左平移1
4个最小正周期即平移4
π个单位后， 所得图象对应的函数为
2cos 22cos 2463y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦,
即2cos 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选：B .
【点睛】
本题考查函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换，根据“左加右减”进行平移变换即可，对横坐标进行平移变换注意系数ω即可，属于基础题.
7．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-，
联立70
310
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩，解得5,2A （）.
由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题. 8．设函数()sin (0)3f x wx w π⎛⎫
=+> ⎪
⎝
⎭，若()4f x f π⎛≤⎫
⎪⎝⎭
对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为（ ） A ．
1
2
B ．
23
C ．
34
D ．1
【答案】B 【解析】()4f x f π⎛≤⎫
⎪
⎝⎭
对任意的实数x 都成立，说明三角函数f （x ）在4x π=时取最
大值，利用这个信息求ω的值． 【详解】 由题意，当4
x π
=时，()f x 取到最大值，
所以2()4
3
2
k k Z π
π
π
ωπ⋅
+
=+
∈，
解得2
8()3
k k Z ω=+∈， 因为0>ω，
所以当0k =时，ω取到最小值23
. 故选：B . 【点睛】
本题考查正弦函数的图象及性质，三角函数的单调区间、对称轴、对称中心、最值等为常考题，本题属于基础题.
9．已知圆2
2
:5O x y +=，直线:cos sin 102l x y πθθθ⎛
⎫+=<< ⎪⎝
⎭．设圆O 上到直线
l 的距离等于2的点的个数为k ，则k =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】找出圆O 的圆心坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式求出圆心O 到直线l 的距离d ，根据d 与r 的大小关系及r -d 的值，即可作出判断． 【详解】
由圆的方程得到圆心O (0,0),半径r =，
∵圆心O 到直线l 的距离1d =
=<
且r −d 1<2，
∴圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为2，即k =2. 故选：B . 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式求出圆心O 到直线l 的距离
d ，根据d 与r 的大小关系可判断直线与圆的位置，考查计算和几何应用能力，属于基
础题.
10．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（ ） A ．(24,36) B ．(28,42) C ．(32,49) D ．(36,24)
【答案】C
【解析】由等差数列求和公式及进行简单的合情推理可得：2019为第1010个正奇数，设2019在第n 组中，则有()2
11010n -<，21010n ≥，解得：n =32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数，得解． 【详解】
由已知有第n 组有2n -1个连续的奇数， 则前n 组共有
()2121=2
n n n +-个连续的奇数，
又2019为第1010个正奇数， 设2019在第n 组中，
则有()2
11010n -<，21010n ≥， 解得：n =32，
又前31组共有961个奇数，
则2019为第32组的第1010-961=49个数， 即2019=（32，49）， 故选：C ． 【点睛】
本题考查归纳推理，解题的关键是根据等差数列求和公式分析出规律，再结合数列的性质求解，属于中等题.
11．已知向量12e e u r u u r
，满足12121
0e e e e ==⋅=u r u u r u r u u r ，.O 为坐标原点，)
12OQ e e =+u u u r u r u u r .曲线{}
12|cos sin 002C P OP r e r e r θθθπ==+>≤<u u u r u r u u r
，，
，区域{}
12P PQ Ω=≤≤u u u v
.若C ΩI 是两段分离的曲线，则( )
A ．35r <<
B ．35r <≤
C ．35r ≤<
D ．35r ≤≤
【答案】A
【解析】不妨设12(1,0),(0,1)e e ==u r u u r
，由)
12OQ e e =+u u u r u r u u r 得出点Q 的坐标，根据题
意得出曲线C 表示一个以O 为圆心，r 为半径的圆，区域Ω表示以Q 为圆心，内径为1，外径为2的圆环，再由C ΩI 是两段分离的曲线，结合圆与圆的位置关系得出r 的取值. 【详解】
不妨设12(1,0),(0,1)e e ==u r u u r
则()()
122222,22OQ e e =+=u u u r u r u u r
，所以(22,22)Q
()12cos sin cos ,sin OP r e r e r r θθθθ=+=u u u r u r u u r
，则曲线C 表示一个以O 为圆心，r 为半径
的圆
因为区域{}
12P PQ Ω=≤≤u u u v
，所以区域Ω表示以Q 为圆心，内径为1，外径为2的
圆环
由于C ΩI 是两段分离的曲线，则该两段曲线分别为上图中的»»,AB EF 要使得»»,AB EF 是分离的曲线，则»AE 所在的圆与圆O 相交于不同的两点
所以11OQ r OQ -<<+，即35r << 故选：A 【点睛】
本题主要考查了集合的应用以及由圆与圆的位置关系确定参数的范围，属于中档题. 12．设点M 是直线20x y +-=上的一个动点，M 的横坐标为0x ，若在圆2
2
:2O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）
A ．22⎡⎢⎣⎦
B ．[0,1]
C ．2]
D ．[0,2]
【答案】D
【解析】由题意画出图形，根据直线与圆的位置关系可得相切，设切点为P ,数形结合找出M 点满足|MP |≤|OP |的范围,从而得到答案． 【详解】
由题意可知直线与圆相切，如图，
设直线x +y −2=0与圆22
:2O x y +=相切于点P ，
要使在圆2
2
:2O x y +=上存在点N ,使得45OMN ∠=︒，
使得OMP ∠最大值大于或等于45︒时一定存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 而当MN 与圆相切时45OMP ∠=︒，此时|MP |取得最大值， 则有|MP |≤|OP |才能满足题意， 图中只有在M 1、M 2之间才可满足， ∴0x 的取值范围是[0,2]. 故选：D . 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，根据数形结合思想，画图进行分析可得，属于中等题.
二、填空题
13．已知sin 2sin αα=，0,2a π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则tan α=________． 3【解析】由二倍角求得α，则tan α可求． 【详解】
由sin 2α=sin α，得2sin αcos α=sin α， ∵0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
, ∴sin α≠0,则12cos α=,即3
πα=. ∴3tan α=
3【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题. 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =-，则n a =_______. 【答案】12n -
【解析】由n S 和n a 的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式. 【详解】
当1n =时，111211S a a =-⇒=
当2n ≥时，()111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-
即1
2n
n a a -= 则数列{}n a 是首项为11a =，公比为2的等比数列
11122n n n a a --∴=⋅=
故答案为：12n - 【点睛】
本题主要考查了已知n S 求n a ，属于基础题.
15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则9a c +的最小值为________． 【答案】32
【解析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】
如图所示， 则△ABC 的面积为111
120260260222
acsin a sin c sin ︒=⋅︒+⋅︒， 即ac =2a +2c ， 得
22
1a c
+=， 得()221829920c a a c a c a c a c ⎛⎫
+=++⎝=++⎪⎭18220=32c a a c
≥⋅，
当且仅当
182c a
a c
=，即3c =a 时取等号； ∴9a c +的最小值为32. 故答案为：32. 【点睛】
本题考查三角形中的几何计算，属于中等题.
16．在直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(1,1)时，OP uuu r
的坐标为________．
【答案】(1sin1,1cos1)--
【解析】设滚动后圆的圆心为C ，切点为A ，连接CP ．过C 作与x 轴正方向平行的射线，交圆C 于B （2，1），设∠BCP =θ，则根据圆的参数方程，得P 的坐标为（1+cos θ，1+sin
θ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（1，1），算出312π
θ=
+，结合三角函数的诱导公式，化简可得P 的坐标为(1sin1,1cos1)--，即为向量OP uuu r
的坐标．
【详解】
设滚动后的圆的圆心为C ，切点为(1,0)A ，连接CP ，
过C 作与x 轴正方向平行的射线，交圆C 于(2,1)B ，设BCP θ∠=， ∵C 的方程为2
2
(1)(1)1x y -+-=，
∴根据圆的参数方程，得P 的坐标为(1cos ,1sin )θθ++， ∵单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，圆滚动到圆心位于(1,1)，
1ACP ∴∠=，可得312
π
θ=
-， 可得3cos cos 1sin12πθ⎛⎫=-=-
⎪⎝⎭，3sin sin 1cos12πθ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
， 代入上面所得的式子，得到P 的坐标为(1sin1,1cos1)--，
所以OP uuu r
的坐标是(1sin1,1cos1)--.
故答案为：(1sin1,1cos1)--. 【点睛】
本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.
三、解答题
17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，且
(1)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．
（1）求A ；
（2）求ABC V 面积的最大值.
【答案】（1）3
A π
=
；（2）
4
【解析】（1）由题目条件a =1，可以将（1+b ）（sinA -sinB ）=（c -b ）sinC 中的1换成
a ，达到齐次化的目的，再用正余弦定理解决；
（2）已知∠A ，要求△ABC 的面积，可用公式1
2
ABC S bc sin A =⋅V ，因此把问题转化为求bc 的最大值． 【详解】
（1）因为（1+b ）（sinA -sinB ）=（c -b ）sinC ， 由正弦定理得：（1+b ）（a -b ）=（c -b ）c ∴（a +b ）（a -b ）=（c -b ）c ，得b 2+c 2-a 2=bc
由余弦定理得：2221
=22
b c a cosA bc +-=，
所以3
A π
=
．
（2）因为b 2
+c 2
-a 2
=bc ，
所以bc =b 2+c 2-1≥2bc -1，可得bc ≤1；
所以1 2ABC S bc sin A =
⋅=≤
V ， 当且仅当b =c =1时，取等号．
∴ABC V
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形及面积问题，解决三角形面积最值问题常常结合均值不等式求解，属于中等题.
18．已知{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和为n S ，已知211n n n S b b ++=，求数列
{}n n a b ⋅的前n 项和n
T
．
【答案】（1）12n n a -=；（2）(21)21n n T n =-⋅+
【解析】（1）{a n }是递增的等比数列，公比设为q ，由等比数列的中项性质，结合等比数列的通项公式解方程可得所求；
（2）运用等差数列的求和公式和等差数列中项性质，求得b n =2n +1，再由数列的错位相减法求和，化简可得所求和． 【详解】
（1）∵{}n a 是递增的等比数列， ∴14a a <，14238a a a a ==，
又149a a +=，∴1a ，4a 是2980x x -+=的两根， ∴11a =，48a =，∴2q =，
12n n a -=.
（2）∵()
121211(21)(21)2
n n n n b b S n b +++++=
=+，
∴由已知得21n b n =+，
11223311n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++…
012212325272(21)2(21)n n n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-+⨯+
∴1221223252(23)2(21)2(21)n n n
n T n n n --=⨯+⨯+⋯+⨯-+⨯-+⨯+
∴
()
(
)1
12212123222222(21)32(21)2
12
n n n n n n T n n -----=+++⋯++-+=+⨯
-+-，
化简可得(21)21n
n T n =-⋅+.
【点睛】
本题考查数列的通项和求和，等差等比数列的通项通常是列方程组解首项及公差（比），数列求和常见的方法有：裂项相消和错位相减法，考查计算能力，属于中等题.
19．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭．
（1）求()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域． 【答案】（1）T π=；（2）11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
【解析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期； （2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域． 【详解】
(1) 1
()2cos 2sin 22f x x x x ⎫=--⎪⎪⎭
1sin 222x x =
sin 23x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
T π=；
(2) 4
4
x π
π
-≤≤
Q ，
∴52636
πππ-
≤-≤x ， ∴11sin 232
x π⎛
⎫
-≤-
≤ ⎪⎝
⎭， ()f x ∴的值域为11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题. 20．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）2n
n a =，n ∈N +；（2）211
222
n n T +=
-- 【解析】（1）设公比为q ，q >0，运用等比数列的通项公式，解方程即可得到所求； （2）11111
1
1=n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-==-，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． 【详解】
(1)数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，设公比为q ，q >0，
126a a +=，123a a a =.
即116a a q +=, 2
111a a q a q =，
解得12a q ==,
可得2n
n a =，n ∈N +；
(2) 11111
1
1=n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
=-， 前n 项和12231
111111
n n n T S S S S S S +=-+-+⋯+- 1111
1111=n n n S S a S T ++=
--， 由(1)可得a 1=2, ()12122212
n n n S +-==--，
即有211
222
n n T +=
--. 【点睛】
本题考查数列的通项和求和，数列求和的常用方法有:分组求和,错位相减求和,倒序相加求和等，本题解题关键是裂项的形式，本题属于中等题.
21．已知边长为2的等边ABC V ，O 是边AB 的中点，ABC V 以O 为旋转中心，逆时针旋转()02θθπ≤<得对应'''A B C V ，'BB 与'CC 所在直线交于M .
（1）任意旋转角θ，判断BM CM ⋅u u u u r u u u u r
是否是定值.若是，求此定值；若不是，说明理由. （2）求AM 的最小值.
【答案】（1）是，0；（2）31-.
【解析】（1）以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，得出,,,B B C C ''的坐标，计算得出''0BB CC ⋅=u u u r u u u u r ，进而得出0BM CM ⋅=u u u u r u u u u r
； （2）根据BM CM ⊥得出点M 的轨迹是以BC 为直径的圆，由圆的对称性得出AM 的最小值. 【详解】
（1）以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系
则()(()',1,0,03,'cos ,sin BOB B C B θθθ∠=，
'33sin 22C ππθθ⎫
⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，，即()
'33C θθ-，
())()
'cos 1sin '33cos 1BB CC sin θθθθ=-=--u u u r u u u u r ，，，
∴''0BB CC ⋅=u u u r u u u u r
设,BM BB CM CC λμ''==u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，则0BM CM BB CC λμ''⋅=⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r
所以BM CM ⋅u u u u r u u u u r
为定值，定值为0
（2）由（1）知BM CM ⊥，故M 在以BC 为直径的圆上
设BC 的中点N ，则3AN =，以BC 为直径的圆的半径1r = 由圆的对称性可知，AM 的最小值是31AN r -=-. 【点睛】
本题主要考查了计算向量的数量积以及圆对称性的应用，属于中档题.
22．已知圆22:4O x y +=，直线:4l x =.圆O 与x 轴交于A B ，两点，P 是圆上不同于A B ，的一动点，AP BP ，所在直线分别与l 交于M N ，. （1）当30PAB ∠=︒时，求以MN 为直径的圆的方程； （2）证明：以MN 为直径的圆截x 轴所得弦长为定值. 【答案】（1）()2
2412x y -+=；（2）证明见解析.
【解析】（1）讨论点P 的位置，根据直线AP 的方程，直线BP 的方程分别与直线l 方程联立，得出,M N 的坐标，进而得出圆心坐标以及半径，即可得出该圆的方程； （2）讨论点P 的位置，根据直角三角形的边角关系得出,M N 的坐标，进而得出圆心坐标以及半径，再由圆的弦长公式化简即可证明. 【详解】
（1）由圆的方程可知，(2,0),(2,0)A B - ①当点P 在第一象限时，如下图所示
当30PAB ∠=︒时，3
3AP k =
，3BP k =-所以直线AP 的方程为3
2)y x =
+
由
3
(2) 4
y x
x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
，解得(4,23)
M
直线BP的方程为3(2)
y x
=--
由
3(2)
4
y x
x
⎧=--
⎪
⎨
=
⎪⎩
，解得(4,23)
N-
则MN的中点坐标为(4,0)，43
MN=
所以以MN为直径的圆的方程为22
(4)12
x y
-+=
②当点P在第四象限时，如下图所示
当30
PAB
∠=︒时，
3
3
AP
k=-，3
BP
k=
所以直线AP的方程为
3
2)
y x
=+
由
3
(2)
3
4
y x
x
⎧
=-+
⎪
⎨
⎪=
⎩
，解得(4,23)
M-
直线BP的方程为3(2)
y x
=-
由
3(2)
4
y x
x
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
，解得(4,23)
N
则MN的中点坐标为(4,0)，43
MN=
所以以MN为直径的圆的方程为22
(4)12
x y
-+=
综上，以MN为直径的圆的方程为22
(4)12
x y
-+=
（2）①当点P 在圆22:4O x y +=上半圆运动时，取直线MN 交x 轴于点E ，如下图所示
设,0,
2PAB πθθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝
⎭
，则2
NBE PBA π
θ∠=∠=
-
tan 6tan ME AE θθ=⋅=Q
(4,6tan )M θ∴
sin 2cos 22tan 22sin tan cos 2NE BE πθπθθπθθθ⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭=⋅-=⋅== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪
⎝⎭
Q
24,tan N θ⎛
⎫
∴-
⎪⎝⎭
则以MN 为直径的圆的圆心坐标为14,3tan tan θθ⎛
⎫
-
⎪
⎝⎭
，半径13tan tan r θθ=+ 所以以MN 为直径的圆截x 轴所得弦长为2
2123tan tan r θθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
22
11223tan 3tan 26tan 43tan tan tan θθθθθθ⎛
⎫⎛⎫=+--=⋅= ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭ ②当点P 在圆2
2
:4O x y +=下半圆运动时，取直线MN 交x 轴于点E ，如下图所示
设,0,2PAB πθθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭
，则2NBE PBA πθ∠=∠=-
tan 6tan ME AE θθ=⋅=Q
(4,6tan )M θ∴-
sin 2cos 22tan 22sin tan cos 2NE BE πθπθθπθθθ⎛⎫
- ⎪
⎛⎫⎝⎭=⋅-=⋅== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭
Q
24,
tan N θ⎛
⎫∴ ⎪⎝⎭
则以MN 为直径的圆的圆心坐标为14,
3tan tan θθ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，半径13tan tan r θθ=+ 所以以MN 为直径的圆截x
轴所得弦长为
===综上，以MN 为直径的圆截x 轴所得弦长为定值. 【点睛】
本题主要考查了求圆的方程以及圆的弦长公式的应用，属于中档题.。