积分变换第二章拉氏变换

1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，
A( s ) st A( sk )e sk t Res e , sk B( sk ) B( s)
即：f (t )
k 1
n
A( sk )e , (t 0) B( sk )
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，


0
f (t )e st dt （s j是一复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定 的函数可写为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式
可记为 F(s)=£ [f(t)] 其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
则有，£ [ f (t ) ] = s 2 F (s) sf (0) f (0)
ct
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
的Laplace变换。

结论
定理： 若s ,s , …,sn是函数F(s)的所有奇点 （适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β 内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：
1 2
2 j j
1
j
st F ( s )e st ds Re s F ( s ) e , sk k 1 n
且有，f (t ) [k1e p1 t k2e p2t ...kne pnt ]u (t )
其中ki ( s pi ) F ( s )
s pi
2、 n m 但 B( s) 0 有一个k重根
A( s) F (s) ( s p1 ) k D( s)
c1k c11 c12 E ( s) ... k k 1 ( s p1 ) ( s p1 ) ( s p1 ) D(s )
st A( s ) st 1 d m 1 A ( s ) e m ( s s1 ) B ( s ) e (m 1)! lim Res m 1 s s1 ds B ( s ) s1
A( si )e 即：f (t ) i m 1 B( si ) 1 d lim m1 (m 1)! s s1 ds
一般地 :
n F ( n ) ( s) = (1)n £ [ t f (t )]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则：
1 f (t )dt ] F ( s ) s
£[ 0
t
t t 1 dt f ( t ) dt n F ( s) 另外，£ 0 0 s n

Laplace变换的性质
性质1（线性性质）：设， F1(s)= £ [f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)]
则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £ [f (t)]
相应地： f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换 （或象原函数），记为
1[F(s)] f(t)=£

结论
拉氏变换存在定理 若函数f(t)满足条件: 1，在t≥0任一有限区间上分段连续; 2，当t→+时， f(t)的增长速度不超过某一指 数函数，即，存在一常数M>0及 c ≥0使：
f (t ) Me , 0 t
t (2).g (t ) e f ( ) a
at
第三节 Laplace逆变换

Laplace 逆变换定义 前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数， 而f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函 数），记作：
性质5（延迟性质）：
若，F (s) = £ [f (t)]，又t<0时，f(t)=0,则对 于任一非负数实数τ，有：
£ [f ( t-τ)] = e s F ( s)
举例
例1 已知函数 f (t ) t m ,求f(t)的拉氏变换，其 中m为正整数。
例2 求函数 f (t ) t sin kt 及 f (t ) t cos kt 的拉氏 变换。
n
st 即：f (t ) Re s F ( s ) e , sk , (t 0) k 1

求Laplace逆变换的方法
三种方法求逆变换：
一、留数法 二、部分分式法 三、直接查表法
一、留数法
若函数F(s)=A(s)/B(s),其中A(s),B(s)是不可 约的多项式，B(s)的次数为n, A(s)的次数小 于n，则：
0
f (t )e dt （Re(s ) 0 ）
st
2. 若函数f(t) 在t=0处包含脉冲函数时，
则下式积分 F (s) f (t )e st dt （Re(s) 0）
0
0 中必须指明下限是 还是 0 。即：
£ +[f(t)] ≠ £ -[f(t)]
其中：
£-[f(t)]= 0
为了克服傅里叶变换的缺点
考虑两个函数u (t )和e t
对于任意函数(t )
(t ) u (t ) 积分区间(-,+)
(t ) e
t
衰减函数使(t )绝对可积
第一节 Laplace变换的概念

引入
函数(t )先乘以u (t )e ，再取Fourier变换
t
类似地，可得象函数的积分性质：
£[
f (t )] F (s)ds s t
f (t ) ds F ( s )ds 一般地，£ n s s t n
性质4（位移性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则，
£ [ eat f (t ) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)
更为一般地 ：
若，F (s) = £ [f (t)]
n n 1 n2 s F ( s ) s f (0) s f (0) 则有，£[ f (t )] = f ( n 1) (0)
(n)
类似地，可得象函数的微分性质： 若，F (s) = £ [f (t)]，则
F ( s) =-£ [ tf (t ) ]，Re(s)>c
1 F ( s) 1 e sT

T
0ห้องสมุดไป่ตู้
f (t )e st dt （Re( s) 0）
0t b t , 例3： 求周期性三角波 f (t ) 2b t , b t 2b
且 f (t 2b) f (t ) 的Laplace变换。
f(t)
b
p75
b
2b
m 1 st m A( s )e ( s s1 ) , (t 0) B( s )
n
si t
举例
F ( s) 1 s(s 1)2
例1
用留数的方法求 拉氏逆变换。
的
a F ( s) 2 (s a 2 )s 2
二、部分分式法
am s m am 1S m 1 ...a1s ao F ( s) ( n m) n n 1 bn s bn 1s ...b1s b0


f (t )e dt f (t )e dt
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) - f (t )e dt （Re(s) 0）
- st 0 ¥
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f( t)
1
p77
t
第二节 Laplace变换的性质
G ( ) (t )u (t )e


t jt
e
dt


0
f (t )e
( j ) t
dt
s j
F (s)
0
f (t )e dt
st
第一节 Laplace变换的概念

定义 设函数 f (t ) 当 t 0 时有定义，且积分
am ( s z1 )( s z 2 )...( s z m ) bn ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
A( s) B( s )
1、 n m 且 B(s) 0 无重根，则：
F ( s) k k1 k 2 ... n s p1 s p2 s pn
例3
sin kt 求函数f (t ) t
的拉氏变换。 p82
性质6（相似性质）： 若，F (s) = £ [f (t)],a为正整数，则，
1 s £ [ f (at ) ] = F ( ) a a
例4，若F (s) = £ [f (t)]，求下列函数g(t)的 拉氏变换。
(1).g (t ) f (at b)u(at b)(a, b为正整数)
k 1 p1t 1 t e 1 注意：其中 ( s p ) k (k 1)! 1
£
E (s) 其余的 D(s)
按情况1求解即可得到f(t).
2s 1 例 求 的原函数。 s( s 1) 解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开： 2s 1 A B s( s 1) s s 1 其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得： A B A( s 1) Bs ( A B) s A s s 1 s( s 1) s( s 1)
第二章 Laplace 变换
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念

引入
傅里叶变换的前提 绝对可积 在整个数轴上面有意义 工程上用到的函数的特点 非绝对可积 t<0，无意义
第一节 Laplace变换的概念

引入
此时 c11 F (s).(s p1 )
k s p1
，但求解取 c12 ,, c1k
却不能再用此法，否则分母将出现0。
其中
d k c12 ( s p ) F ( s ) 1 ds s p1
( i 1) 1 d k 一般地 c1i ( s p1 ) F (s) (i 2,...k ) i 1 (i 1)! ds s p1
3b
4b
t

拉氏变换中积分下限的讨论
1. 满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t) 在t=0处有界时，则下式积分
F ( s)
0
f (t )e st dt （Re(s) 0）
与下限是 0 还是 0无关。即：
£ +[f(t)]= £ -[f(t)] 其中，£+[f(t)]为：


1 L[u (t )] s
kt 例2： 求正弦函数 f (t ) e（ k为实数）
p69, p71
的Laplace变换。
例3: 求正弦函数余弦函数的laplace变换

周期函数的Laplace变换 一般地，以T为周期的函数f(t) ，当f(t) 在一个周期上是分段连续时，则f(t)的 拉 氏变换式为：
1[F(s)] f(t)=£
同时，我们定义f(t)为：
f (t ) 2 j 1
j
j
F ( s)e ds , t 0
st
（#)
上式（＃）就是从象函数F(s)求象原函数函 数f(t)的计算公式。右端的积分称为Laplace 反演积分。 注意到，右端积分为一复变函数的积分， 计算该积分时通常比较困难，但当F(s)满足 一定条件时，可以用留数的方法来计算这个 反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简 单。