高三数学下学期第三次月考试题含解析 试题

南开中学滨海生态城2021届高三数学下学期第三次月考试题〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔每一小题5分，一共45分〕
1.集合{}
35M x x =-<≤，{
5N x x =<-或者}5x >，那么M N ⋃=〔 〕 A. {
5x x <-或者}3x >- B. {}
55x x -<< C. {}
35x x -<< D. {
3x x <-或者}5x >
【答案】A 【解析】
【详解】由并集的定义可得{
5M N x x ⋃=<-或者}3x >-. 应选A. 2.假设1
tan 3
θ= ，那么cos2θ=( ) A. 45-
B. 15
-
C.
15
D.
45
【答案】D 【解析】
222
2
22cos cos2cos cos sin sin sin θθ
θθθθθ
-=-=
+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2
21
1149cos2115
19
tan tan θθθ-
-=
==++ 应选D.
3.数列{}n a 满足：()
*
11,0,n n a a n N R λλλ+=-∈≠∈，假设数列{}1n a -是等比数列，那么λ的值是
〔 〕 A. 1 B. 2
C.
12
D. 1-
【答案】B 【解析】
【分析】
根据等比数列的定义，可知112
11
n n n n a a q a a λ+--==--，根据式子恒成立，可知对应项系数一样，从而求得
结果.
【详解】数列{}1n a -为等比数列 112
11
n n n n a a q a a λ+--⇒==--
即：2n n a qa q λ-=-
上式恒成立，可知：2q
q λ=⎧⎨-=-⎩
2λ⇒=
此题正确选项：B
【点睛】此题考察利用等比数列的定义求解参数问题，关键是可以通过对应项系数一样求解出结果. 4.偶函数()f x 在[0,2]
上递增，那么1
22
1(1),log ,log 4a f b f c f ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝
⎭⎝⎭
大小为( ) A. c a b >> B. a c b >> C. b a c >>
D. c b a >>
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性、单调性，结合对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】()1
12
211log 2log 242b f f f ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 由于()f x 为偶函数，那么
1
2
2211log log 2222c f f f f -⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 由于()f x 在[]0,2上递增，1
122
<<，所以b a c >>. 应选：C
【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性，考察对数函数的性质，属于根底题. 5.以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的选项是 A. 函数()f x 在区间20,
3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增
B. 直线8
x π=
需是函数()y f x =图象的一条对称轴
C. 点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心 D. 将函数()y f x =图象向左平移需8
π
个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简函数得到())4
f x x π
=-，再逐项判断正误得到答案.
【详解】()sin 2cos 2)4
f x x x x π
=-=
-
A 选项，132(,)4413
220,x x ππππ⎛⎫
∈⇒ ⎪
⎝
⎭
-∈-函数先增后减，错误 B 选项，208
4
x x π
π
=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，24
4
4
x x π
π
π
=
⇒-
=
，不是对称中心，错误
D 选项，图象向左平移需8
π
个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确
故答案选D
【点睛】此题考察了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考察学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.
6.圆22
:(1)1C x y -+=的圆心到直线:0(0)l x y a a -+=>的间隔
，那么a 的值是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
利用点到直线的间隔 公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意0a >，
圆的圆心为()1,0，到直线l 的间隔
1a =
=
=⇒=. 应选：B
【点睛】本小题主要考察点到直线的间隔 公式，考察根据圆的HY 方程求圆心，属于根底题.
7.过双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，假设B
为线段FA 的中点，且OB FA ⊥〔O 为坐标原点〕，那么双曲线的离心率为〔 〕
C. 2
【答案】C 【解析】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为b
y x a
=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥
∴OA OF c ==，那么AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠
由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒
∴
tan 60b
a
=︒=，即223b a =.
∴双曲线的离心率为22c
a
e a
a a
==
== 应选C.
点睛：此题考察了椭圆和双曲线的定义和性质，考察了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．
8.在平行四边形ABCD 中，2,4,60AD CD ABC ︒
==∠=，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 与AF 交于H ，那么AH DE ⋅的值 A. 16 B. 12
C.
165
D.
125
【答案】D 【解析】 【分析】
建立如下图的平面直角坐标系，求出1463,55H ⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
，从而可计算AH DE . 【详解】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图的直角坐标系，
那么()0,0B ，(2,23A ，()2,0C ，(4,23D ， 故(1,0)E ，(3F ， 所以:343AF y x =+2323
:33
DE y x =
-
， 由343
2323y x y y x ⎧=+⎪
⎨==-⎪⎩
可得14635H ⎛ ⎝⎭，
443,55AH ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，(3,23DE =--，
故122412
555
AH DE =-
+=，应选D. 【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：〔1〕利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；〔2〕利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；〔3〕利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；〔4〕靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或者边对应的向量．
9.函数()||f x lnx =，2
0,01,
()|42,1
x g x x x <⎧=⎨
--⎩假设关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，那么m 的取值范围是( ) A. []0,ln2 B. (]
2ln2,0-- C. ()2ln2,0--
D. []
0,2ln2+
【答案】B 【解析】
【分析】
设()()h x f x m =+，那么()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到，分析函数()h x 与()g x 的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进展求解即可．
【详解】
设()()h x f x m =+，
那么()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到， 当x=1时，h 〔1〕f =〔1〕1m ln m m +=+=， 所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为〔1，m 〕, 当x=1时，g(1)=0,
当x=2时，g 〔2〕2=-，所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为〔2，-2〕， 当x=2时，h 〔2〕2ln m =+，所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为〔2，ln2+m 〕, 要使方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解， 那么等价为()h x 与()g x 的图象有三个不同的交点，
那么满足(1)(1)(2)(2)h g h g ⎧⎨>⎩
，
即022m m ln ⎧⎨
+>-⎩得0
22
m m ln ⎧⎨>--⎩，
即220ln m --<，
即实数m 的取值范围是(22ln --，0]，
应选B ．
【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
二、填空题〔每一小题5分，一共30分〕 10.复数32i 1i
z -=-，i 为虚数单位，那么2
z =__________. 【答案】
132
【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.
【详解】()()()()32i 1i 32i 1i 1i 1i z -+-==--+ 5i
2
+=
, 2
25113442z ∴=+=，故答案为132.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 11.曲线()3
2
932
f x x x =+
-在点()()1,1f 处的切线斜率为_____________. 【答案】12 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，求得x=1时的导数值得答案． 【详解】由题意可得：()2
f'39x x x =+,
∴()f'13912=+= ∴曲线()3
2
932
f x x x =+
-在点()()1,1f 处的切线斜率为12， 故答案为12
【点睛】此题考察利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是根底题．
12.二项式
5
31x x
（-）的展开式中常数项为__________． 【答案】10-． 【解析】
试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为55523
26
1
5
5
(1)(1)r r
r r r
r r
r T
C x
C x
---+=-=-，令
55026
r -=，那么3r =，∴3
35
(1)10A C =-=-． 考点：二项式定理．
13.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该球的体积为，那么该正方体的外表积
为 . 【答案】24 【解析】
试题分析：设正方体的外接球的半径为R ,由：
3
4433
R ππ=，解得：3R ,设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的外表积为：266424a =⨯=，所以答案为24. 考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的外表积和体积公式.
14.首项与公比相等的等比数列{}n a 中，假设m ，n *∈N ，满足22
4m n a a a =，那么
21
m n
+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】
将22
4m n a a a =写成等比数列根本量1a 和
q
的形式，由1a q =可得28m n +=；从而利用
()2112128m n m n m n ⎛⎫
+=⋅++ ⎪⎝⎭
，根据根本不等式求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，那么首项1a q =
由224m n a a a =得：()
()2
2
11
3111m n a q a q
a q --⋅=
那么：28m n
q
q += 28m n ∴+=
()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭∴
*,m n N ∈ 40,0n m
m n
∴
>>
那么
44n m m n +≥=〔当且仅当
4n m m n =，即2n m =时取等号〕 ()min 2114418
m n ⎛⎫
∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 此题正确结果：1
【点睛】此题考察根本不等式求解和的最小值的问题，关键是可以根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列根本量得到,m n 满足的等式，从而配凑出符合根本不等式的形式，利用根本不等式求得结果. 15.函数()f x 满足，(),0
ln ,0kx k x f x x x +≤⎧=⎨>⎩
，其中0k ≥，假设函数()()1y f f x =+有4个零点，那么
实数k 的取值范围是___.
【答案】1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
先作函数()f x 图象，结合图象确定()1f m =-的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数
()()1y f f x =+有4个零点所需满足的条件.
【详解】先作函数()f x 图象，由图可得()1f m =-有两根，其中121
1,=m m e
<-， 因此1()f x m =必有两根,因此要使函数()()1y f
f x =+有4个零点，需2
()f x m =有两根,即
21k m k e
≥∴≥
，
【点睛】此题考察函数图象与函数零点，考察根本分析求解才能，属中档题. 三、解答题
16.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求
sin sin B
C
； (2)假设AD ＝1，DC ＝
2
2
，求BD 和AC 的长． 【答案】〔1〕1
2
；〔2〕1 【解析】
试题分析：〔1〕借助题设条件运用三角形的面积公式求解；〔2〕借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： 〔1〕
，1
sin 2
ACD S AC AD CAD ∆=
⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知
sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠.
〔2〕∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =
∴2BD =．
设AC x =，那么2AB x =，
在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，
2222
cos 222
AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅
222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅， ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，
∴22
3342222x x --=-，解得1x =， 即1AC =．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．
17.如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，
o 1,90,2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． 〔1〕证明：直线//CE 平面PAB ；
〔2〕点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕
105
【解析】 【详解】试题分析：〔1〕 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；〔2〕建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --10 试题解析：〔1〕取PA 中点F ，连结EF ，BF ．
因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,12
EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又
12
BC AD = 所以．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．
又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面
〔2〕
由得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如下图的空间直角坐标系A-xyz,那么
那么()000A ，，
，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =-，，,()100AB ，，=那么
()(1,13BM x y z PM x y z =-=-，，，， 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 0,cos sin45BM n =()222z 221x y z =-++
即〔x-1〕²+y²-z²=0
又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则
x ,1,33y z λλ=== 由①，②得()22x=1+x=1-22y=1y=166
z z ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩
舍去，
所以
M 1-,1⎛ ⎝⎭
，从而AM 1-,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设()000x ,y ,z m =是平面ABM 的法向量，那么
(
0000x 2y 0·AM 0·AB 0x 0m m ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩
即
所以可取(0,2)m =.于是·10,5
m n
cos m n m
n == 因此二面角M-AB-D 的余弦值为5
点睛:〔1〕求解此题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进展向量运算，要认真细心、准确计算．
〔2〕设m ，n 分别为平面α，β的法向量，那么二面角θ与<m ，n >互补或者相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=·m n m n ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
18.椭圆2
222+=1(>>0)x y a b a b
经过点(2,3P -离心率=3
e 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕经过椭圆左焦点F 的直线(不经过点P 且不与x 轴重合)与椭圆交于A B 、两点，与直线
l :3x =-交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为1233,,0
k k k k ≠（）.那么是否存在常数λ，使得向量m =123(,),(,1)k k n k λ+=一共线？假设存在求出λ的值；假设不存在，说明理由.
【答案】〔1〕22
162
x y +=；〔2〕2. 【解析】
【分析】
〔1〕根据椭圆()222
210x y a b a b +=>>经过点
P ⎛- ⎝⎭
，离心率e =，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；〔2〕直线AB 的方程为()2y k x =+， 代入椭圆方程整理得()
222231121260k x k x k +++-=，求得M 的坐标为()3,k --，求出
()1212121242324
x x k k k x x x x +++=-+++ ,利用韦达定理化简可得1232k k k +=，从而可得结果. 【详解】〔1
〕由2,3P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆上，∴224213a b +=.①
由e
得3
c a =，∴2223c a = 又222c a b =-，∴2
23a b .② ②代入①解得226,2a b ==.
∴椭圆C 的方程为22162
x y +=. 〔2〕假设存在常数λ，使得向量()()123,,,1m k k n k λ=+=一共线，
∴()12310k k k λ+⨯-⨯=，即123k k k λ+=.
由题意可设AB 的斜率为k ，
那么直线AB 的方程为()2y k x =+，③
代入椭圆方程22360x y +-=并整理，得()2222
31121260k x k x k +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，那么有
21221231
k x x k +=-+，212212631k x x k -=+.④ 在方程③中令3x =-得，M 的坐标为()3,k --.
从而11132y k x -
=+
，22232y k x -=+
，331k k k --==+-
∴(
)(
)12121212112233332222y y k x k x k k x x x x +++=+=+++++
()1212124224
x x k x x x x ++=+++ , ⑤
④代入⑤得2
2122222124312221262433343131
k k k k k k k k k k k -+⎛⎫++=-=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭-+++，
又30k k =≠，∴1232k k k +=. 故存在常数2λ=符合题意.
【点睛】此题主要考察待定系数法求椭圆的HY 方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，假设结论正确那么存在，假设结论不正确那么不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
19.单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a 与4a 的等差中项.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕假设12log n n n b a a =，1
n n i i S b ==∑.求n S 及使12500n n S n ++⋅->成立的最小正整数n 的值. 【答案】〔1〕2n n a =〔2〕见解析
【解析】
试题分析： 1? \*?GB2?=⑴由条件利用等差数列的性质和等比数列的通项公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列{}n a 的通项公式；
⑵求出n b 和n S 的表达式，对题目中的不等式进展变形即可解答；
解析：〔1〕设此等比数列首项为1a ，公比为q ，其中10a ≠，0q ≠，
由题意知：2311128a q a q a q ++=，()
3211122a q a q a q +=+，
得3211161560a q a q a q -+=， 即225202q q q -+=⇒=，12
q =
， ∵等比数列{}n a 单调递增，
∴12a =，22n n q a =⇒=.
〔2〕①2n n b n =-⋅，
∴123n n S b b b b =++++= ()231222322n n -⨯+⨯+⨯+
+⋅， 设231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，
那么234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+
+⋅， 得231121212122n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ()1122n n +=---，
∴()1122n n S n +=---，
②要使12500n n S n ++⋅->成立，
即()111222500n n n n ++---+⋅->，即226n >，
∵421626><，523226>>，且2x y =是单调递增函数，
∴满足条件的n 的最小值为5.
20.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.
〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕当1a =时，试判断()f x 零点的个数；
〔Ⅲ〕当1a =时，假设对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+
-<〔Z k ∈〕成立，求k 的
最大值. 【答案】〔1〕当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单增区间为1,a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭；〔2〕两个；〔3〕0. 【解析】
【分析】
〔1〕求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；〔2〕当1a =时，由〔1〕可知，()
f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭
，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；〔3〕当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，
()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<
++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果.
【详解】〔1〕()()2ln 0f x ax x x =-->，
∴()11'ax f x a x x -=-
=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，
()f x ∴在()0,∞+是单减函数.
当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a
=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：
由上表中可知，()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
是单增函数. 综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；
当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 〔2〕当1a =时，由〔1〕可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数；
又22110f e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110f =-<，()
2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()
210f f e ⋅<；
故()f x 在()0,∞+有两个零点.
〔3〕当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立
()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭
. 令()()3ln ln 1x F x x x x x =+
+>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x
---=-+===， 由〔2〕知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，
()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；
∴()()()000min 00
ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616
F --==>， ∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，
即00ln 2x x =-代入()*式，得
()()()00000min 000
23121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 而()713,0,11216⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭
，∴()()min 10,14F x ∈， 0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.
【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考察力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本局部的要求一定有三个层次：第一层次主要考察求导公式，求导法那么与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考察，包括解决应用问题，
将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。