全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心

∴ ∠ O2O1O3= ∠ KO1 O3=
1 1 2 1 2
∠ O2 O1 K=
1 2
( ∠ O2 O1S+ ∠ SO1K)
= (∠O2O1S+∠PO1O2 ) = ∠PO1S=∠A. 同理有∠O1O2O3 =∠
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B.故△O1O2O3∽△ABC.
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内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质： (1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角. (2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D， D 与顶点 B、 则 C、 内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心). (3)∠BIC=90º+ ∠A，∠CIA=90º + ∠B，∠AIB=90º+ ∠C.
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3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径， 其弦 AF、 相交于 Q， BE 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 9 0 －∠1)+( 9 0 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 1 8 0 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
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重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质： (1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算. (2)重心定理： 三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍. (3) S B G C
S CGA S AGB 1 3 S ABC
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练习4
思考练习 4.在△ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S. 证明以△APS ， BQP， CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. △ △ 分析 :设 O1,O2,O3 是△ APS,△ BQP,△ CSQ 的外心,作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外心性质 可知∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q =2∠C. ∴∠PO1 S+∠Q O2P+∠SO3Q =360°. 从而又知 ∠O1 PO2 +∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2Q O3 绕着 O3 点旋转到△KSO3 , 易判断△KSO1≌△O2 PO1 ,同时可得△O1O2O3≌△O1KO3 .
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)DC=2:1.
∴DG:GK=DE:EF GE∥MF. ∵OD 丄 AB,MF∥AB,∴OD 丄 MF OD 丄 GE. 但 OG 丄 DE G 又是△ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.
答案
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1 2 BOC ,B 1 2 AOC ,C 1 2 AOB
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如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心 有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就 可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径， 其弦 AF、 相交于 Q， BE 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
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思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆 与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D， 2 求证： A G G C G D .
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思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆 与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D， 2 求证： A G G C G D .
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垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点 .△ABC 的垂心一般用字 母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F， 则 A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、 D；A、B、D、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
分析：设小圆圆心为 O 1 ，⊙ O 1 与△ABC 的外接圆切于 D，连 A O 1 ， 显然 A O 1 ⊥PQ，且△ABC 为等腰三角形， 所以 A O 1 过△ABC 的外接圆，D 在 A O 1 的延 长线上，从而 O 为△ABC 的顶角∠BAC 的 平分线的点，下面只需证 OB 平分∠ABC. 为此，连接 OB、PD、QD，由对称性易知， OD 平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC， 故∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC， 由 P、B、D、O 四点共圆得∠PBO=∠PDO=
易知 AQ = ∴Q K=
r sin
.∵Q K·AQ =MQ·Q N， =
(2 R QN AQ
= sin
(2 R r ) .
由 Rt△EPQ 知 PQ = sin r . ∴PK=PQ +QK = sin r + sin ( 2 R r ) = sin 2 R . ∴PK=BK. 利用内心等量关系之逆定理， 即知 P 是△ABC 这内心.
思考练习 7.如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1， 求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等.
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7答案
思考练习 7.如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1， 求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等. 分析:过 A 作⊙O 和⊙O1 的直径 AP、AQ， 连接 PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90º. 故 P、B、Q 三点共线. 因 H 是△ABC 的垂心， 故 D、C、E、H 四点共圆， ∠AHE=∠C.而∠AHE=∠Q，∠C=∠P， 故∠P=∠Q，AP=AQ. 因此⊙O 与⊙O1 的半径相等。 说明： 由本题结论，可得垂心的另一个性质： 若 H 是△ABC 的垂心，则⊙ABH=⊙BCH=⊙CAH=⊙ABC.
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∠PDQ.
所以∠PBO= ∠ABC.于是 O 为△ABC 的内心.
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说明：本题还可证明 O 到△ABC 的三边距离相等.
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思考练习 6.已知⊙O 内接△ABC，⊙ Q 切 AB，AC 于 E，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点 P 是△ABC 之内心. 分析：在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例 8 的一种 特例，但它增加了条件 AB=AC.当 AB≠AC，怎样证明呢？ 如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q,BC 中点 K 都在∠BAC 平分线上.
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思考练习 8.设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形，H1，H2，H3，H4 依次为 △A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3 的垂心.求证：H1，H2， H3，H4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992 年全国高中联赛) 分析:连接 A2 H1，A1 H2，H1 H2，记圆半径为 R.
思考练习 2: AD， BE，CF 是△ ABC 的 三条中线， P 是任意一点.证明： 在△ PAD， PBE， PCF 中， △ △ 其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)
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外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质： (1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC. (2)∠A=
如果已知外心或通过分析挖掘出外心与外心有关的几何定理尤其是圆周角与圆心角关系定理就可以大显神通了
三角形的五心
引入
重心
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
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三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗? 练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点. 二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式. 2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线) 3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
由△A2 A3 A4 知

A2 H 1 s in A 2 A 3 H 1
=2R
A2 H1=2Rcos∠A3 A2 A4； 由△A1 A3 A4 得 A1 H2=2Rcos∠A3 A1 A4. 但∠A3 A2 A4=∠A3 A1 A4，故 A2 H1=A1 H2. 易证 A2 H1∥A1 A2，于是，A2 H1∥ A1 H2， = 故得 H1 H2 ∥A2 A1.设 H1 A1 与 H2 A2 的交点为 M，故 H1 H2 与 A1A2 = 关于 M 点成中心对称.同理，H2 H3 与 A2 A3，H3 H4 与 A3 A4，H4 H1 与 A4 A1 都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1 H2 H3 H4 与四边形 A1 A2 A3 A4 关于 M 点成中心对称，两者是全等四边形，H1 ，H2， H3 ，H4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q，Q 与 O 也关于 M 成中 心对称.由 O，M 两点， Q 点就不难确定了. 13
课外思考: 1.△ABC 的外心为 O， AB=AC， 是 AB 中点， 是△ACD D E 的重心.证明 OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点 F，E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G，G 必为△ABC 重心. 连 GE，MF，MF 交 DC 于 K. 易证：DG:GK= DC:(
2 2 2 1 1 1
思考练习 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内 切于△ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求 证：线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.
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5答案
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思考练习 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内 切于△ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求 证：线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.