湖南师大附中海口中学高三第一次模拟考试.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
湖南师大附中海口中学2016届高三第一次模拟考试
数 学（理科）
一．选择题(本大题共12小题每小题5分共60分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合2
{|}M x x x =>，4{|,}2
x
N y y x M ==∈，则M N =( )
A ．1{|0}2
x x << B ．1
{|1}2
x x << C ．{|01}x x << D ．{|12}x x << 2. 若i 为虚数单位，右图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1z
i
+的点是（ ）
A ．E
B .F
C . H
D . G
3. “a b a b -=+”是“0ab <”的 条件( )
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要
4．已知等差数列}{n a 满足2
3813220a a a -+=，且数列 {}n b 是等比数列，若88b a =，则412b b =( ).
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝3x ＋y 的最大值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N
B ．求数列12n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N
C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N
D ．求数列12n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前11项和()n *∈N
7. 在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且3,26,2a b B A ===，则c 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．35或
开始
0S =
2n = 1k =
10k ≤
输出S 结束
1S S n
=+
2n n =+
1k k =+
是
否
8. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ） A ．
1127 B ．1124 C ．1627 D ．924
9．已知函数()f x 的图像如图所示，'()()f x f x 是的导函数，则下列数值排序正确的（ ） A ．0'(2)'(3)(3)(2)f f f f <<<- B ．0'(3)'(2)(3)(2)f f f f <<<- C ．0'(3)(3)(2)'(2)f f f f <<-< D ．0(3)(2)'(2)'(3)f f f f <-<<
10. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ） A ．90种 B ．180种 C ．270种 D ．540种
11. 如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =， P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD ∆的面积为()f x .则()f x 的最大值为（ ）．
A ．22
B ． 2
C ．3
D ． 33
12．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的
点P ，使得△12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．12(,)33 B ．1(,1)2 C ．2(,1)3 D ．111(,)
(,1)322
二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置） 13. 已知向量a ，b ，其中2a =
，2b =，且()
a b a -⊥，则2=a b -_______2_______．
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 40
15. 若圆22
:(1)4C x y ++=，点(5,1)A --和点(35,)B a ，从点A
观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是_______851851a a >-<--或__________
16. 在平面直角坐标系中,若点P (x ,y )的坐标x ,y 均为整数,则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L .例如图中△
ABC 是格点三角形,对应的S ＝1,N ＝0,L ＝4.
(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ,N ,L 分别是 ;
(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ,其中a ,b ,c 为常数.若某格点多边形对应的N ＝71,L ＝18,则S ＝ (用数值作答).
三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在
答题卷．．．中指定的位置） 17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足()2
2
2cos a bc A b c -=+.
（Ⅰ）求角A 的大小.
（Ⅱ）若3a =，求△ABC 周长的取值范围
18.（本小题满分12分）
要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为23，笔试考试成绩每次合格的概率均为1
2
，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； （Ⅱ）求他恰好补考一次就获得证书的概率；
（Ⅲ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值
19.（本小题满分12分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BD 与AC 相交于点E ，F 为PC 中点，G 为AC 上一点
（Ⅰ）求证：BD FG ⊥；
（Ⅱ）确定G 在AC 上的位置，使得//FG 平面PBD ，并说明理由； （Ⅲ）当二面角B PC D --的大小为23
π
时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.
20.（本小题满分12分）
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足
112BF F F =，且AB ⊥AF 2．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）若过A 、B 、F 2三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若点P （m ，0）使得以
PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，求m 的取值范围．
21.（本小题满分12分） 已知函数3211(),32
a f x x x ax a x R -=
+--∈，其中0a > （Ⅰ）若函数()f x 在区间(2,0)-恰有两个零点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）当1a =时，设函数()f x 在区间[,3]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，
求函数()g t 在区间[3,1]--上的最小值
从以下22、23、24题任选一题作答，三题都写只按22题给分
22.（本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲
如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是⊙O 上的一点，点C 是弧AD 的中点，弦CE ⊥AB 于F ．GD 是⊙O 的切线，且与EC 的延长线相交于点AD ，连接AD ，交CE 于点P ．
（Ⅰ）证明：△ACD ∽△APC ； （Ⅱ）若GD =2+1，GC =1，求PE 的长
23．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线2cos :()sin x C y α
αα=⎧⎨
=⎩
为参数和定点()
0,3A ，
，12,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线2AF 的极坐标方程；
（Ⅱ）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于,M N 两点，求11MF NF -的值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x a x x =---+.
（Ⅰ）当a =6时，求不等式()3f x >的解集；
（Ⅱ）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数a 的取值范围.
参考答案
17、
18、解：设“听力第一次考试合格”为事件1A ，“听力补考合格”为事件2A ；“笔试第一次考试合格”为事件
1B “笔试补考合格”为事件2B ． ---------------1分
（1）不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立， 则1111211()()()323
P A B P A P B =⨯=
⨯=． 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
1
3
． -----------------3分 （2）恰好补考一次的事件是121112A A B A B B + 则P （121112A A B A B B +）=P （121A A B ） + P （112A B B ） =
121211332322⋅⋅+⋅⋅=1554=5
18
（3）由已知得，2,3,4ξ=，
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114
.3233399=⨯+⨯=+=
112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++
21121112143223223329=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+
12111211111
,
3322332218189
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=---------------10分
参加考试次数ξ的期望值
4418 234
9993 Eξ=⨯+⨯+⨯=
19、
20、解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵知F1为BF2的中点，
AB⊥AF2∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，
又a2=b2+c2∴a=2c 故椭圆的离心率…………………………（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是，，
Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r=a，所以，解得a=2，∴c=1，，所求椭圆方程为……………………………（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
则，y1+y2=k（x1+x2﹣2）………………（8分）
由于菱形对角线垂直，则
故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0 即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）=0，
………………（10分）
由已知条件知k≠0，∴
∴故m的取值范围是．………………（12分）
22、（Ⅰ）证明：∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，∴=
∵点C是弧AD的中点，
∴，
∴∠ACE=∠ADC，
∴∠CAP为公共角，
∴△ACD∽△APC；
（Ⅱ）解：连接DE，
∵GD是⊙O的切线，
∴∠GDX=∠CED，
∵，
∴∠GED=∠ADE=∠CDA，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GP=GD=+1，
∵GD2=GC•GE，
∴GE=3+2，
∴PE=GE﹣GP=2+。