现代控制理论状态变量及状态空间PPT课件

uAA R11 R11ixix121200 11uuuu1212
[例]试列出在外力f作用
下，以质块 M1, M2 的 位移 y为1, 输y2出的状态
空间表达式。
k1
yv11 k 2
M1
B1
B2
yv
2
2
f
M2
解：质量块受力图如下：
M1 y1
k1 y1
k2(y2y1)
M1
M2
B1 y1
B2(y2y1)
x1 x3 x2 x4
状态方程
x3
k1 k2 M1
x1
k2 M1
x2
B1 B2 M1
x3
B2 M1
x4
x4
k2 M2
x1
k2 M2
x2
B2 M2
x3
B2 M2
1 x4 M2
f
输出方程
y1 y2
x1 x2
写成矩阵形式：
x Ax bu y Cx du
0
x
0 k1
k2
解： n 3 ,a 2 9 ,a 1 8 ,a 0 0
b 3 0 ,b 2 1 ,b 1 4 ,b 0 1
x1 0 1 0x1 0 x20 0 1 x20u x3 0 8 9x3 1
x1
y 1
4
1
x
2
x3
1.5 状态矢量的线性变换
P：非奇异线性变换矩阵
单输入 单输出
系统
x Axbu y cx du
特征值，非零向量 x称为 A的对应于 的特征 向量。
xAx (A)x0 (IA)x0
方阵 的 n次多项式 f()IA为 A的特征
多项式。IA 0为 A的特征方程。
IA 0 的解为特征根。
(IA) x0 的解为特征向量。
例：求
A
1 0
1 1
的特征值和特征向量。
解：
IA1
0
1
10
( 1 )( 1 ) 0 1 1 , 2 1
f
M2 y2
依据牛顿定律，有：
M M 2 1y y1 2 B B 1 2y (1y 2 k1y y 1 1) kk22 ((yy22 yy11 )) B f2(y 2y 1)
M M 2 1y y1 2 B B 1 2y (1y 2 k1y y 1 1) kk22 ((yy22 yy11 )) B f2(y 2y 1)
含有零点的环节
zp
二、由系统控制机理建立状态空间表达式
状态变量的选取原则
▪选择系统储能元件的输出物理量； ▪选择系统输出及其各阶导数；
状态变量不唯一 状态变量的选取不同，状态空间表达式也不同！
[例]
电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输
入量，uA为输出量的状态空间表达式。
L1 uA L2
状态变量、输入变量、参数
3)根据系统微分方程，列出m个代数方程。
输出变量、状态变量、输入变量、参数
1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（2） 即由系统运动方程或者传递函数建立状态空间表达式
对于给定的系统运动方程或传递函数，寻求 对应的状态空间描述而不改变系统的输入-输出 特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空 间实现。
线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu y cx du
可实现的条件：
mn
当系统传递函数中 mn时，即
W (s)bsnn sn ab n n1 s1sn n11 ab 1s1s ab 00
应用长除法有
W (s)bnsn n a 1s n n 1 s1n 1 1s a1 s 0 a0 bnD N((s s))
试写出其状态空间表达式并绘模拟图。 解：选择状态变量： x1y,x2y,x3y
x1y6,x2y 6,x3y 6
x1y,x2y,x3y
2、传递函数中有零点时的实现
微分方程形式（微分方程含有输入的导数项）：
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) b 1 u b 0 u
状态
变量
选取
x
x1
x
2
Hale Waihona Puke x x3 4y1 y1
y
2
y y
1 2
y
2
v v
1 2
位移
输入 u f
输出
y
y1 y2
x1
x
2
依据牛顿定律： M M 2 1y y1 2 B B 1 2y (1y 2 k1y y 1 1) kk22 ((yy22 yy11 )) B f2(y 2y 1)
x2
x3
xn1 xn xn a0x1 a1x2 an1xn b0u
3.）系统结构图：
y x1
u
b0
x n
xn
x n1
x2
an1
x1 y x1
an2
a1 a0
例 考虑系统
y5y8y6y3 u
试写出其状态空间表达式并绘模拟图。 解：选择状态变量： x1y,x2y,x3y
x1y,x2y,x3y
0
2 0p21 0
0 2 0p31
1
p3
0
1
1 0 1
P p 1 p 2 p 3
0
1
0
0 1 1
1 0 1
12,21,31 P 0
1
0
0 1 1
1 1 1
P1 0 1
0
0 1 1
3）求 A , B
2
AP1AP
1
1
2
bP1b
2
5
2 0 0 2 对角线标准型为： x 0 1 0x 2u
u2
di2
dt
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
1 L2
u2
uA i1R1 i2R1 u2 3）状态空间表达式为：
令 x1i1， x2i2
ixix1212LRLR21RL21RL1111
RRRL1RL111L11L2R2R22iix12x120L110L11 L12LL1112L11uuuu1212
(1IA)1p 0 0
1 2 p p1 12 1 0
p1
1
0
(2IA)2p 02
1 0 p p2 22 1 0
p2
1 2
一、A阵为任意形式
（1）A为任意形式的方阵，有n个互异实特征值1,2,,n
对应的特征向量 p1,p2，, 满,p足n：
A i pip i (i 1 ,2 , ,n )
输出方程
y x1
2.）化为向量矩阵形式：
x Ax bu y cx
状态方程
x1 0 1
0 x1 0
x2
0
1 x20u
xn a0 a1 an1xn b0
输出方程
y 10 0 x
友矩阵
0 1
0 0
A
0
,
b,c1
0
0
1 0
a0 a1 an1
b0
系统矩阵
控制矩阵 输出矩阵
x1 x2
则状态空间表达式为：
x1 x2 x2 x3 x3 6x1 8x2 5x3 3u y x1
x1y,x2y,x3y
系统模拟图
u 3
x 3
x3
5
x1 x2 x2 x3 x3 6x1 8x2 5x3 3u
y x1
x 2
yx 1 x1
8 6
例1-6 系统
y 6 y 4y 1 7y 6 u
P
A p 1 p 2 p n 1 p 12 p 2 n p n
p1
P
1
p2 pn
2
P p 1 p 2 p n
n
xPx AP P P1AP
[例] 变换系统为对角标准型。
x1 2 1 1x1 7 x20 1 0x22u
x3 0 2 1x3 3 A i i p p i( i 1 ,2 , 3 ) (i I A ) p i 0
[解]:
2 1 1
1)求其特征值: IA 0 1 0 2110
2)确定非奇异矩阵P
0 2 1 12,21,31
0 1 1 p11
1IAp1 0
3
0
p2
1
0
0 2 1 p31
1
p1
0
0
3 1
2IAp2
0
0
1 p12 0 p22 0
0 2 2p32
0
p2
1
1
1 1 1 p11
3IAp3
0 0 1 5
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
状态变量选择原则： 使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。
以三阶微分方程为例
W (s)bnsn n a 1s n n 1 s1n 1 1sa1 s0 a0
令
1.28
或经等效变换有：
1.33 1.34
例：求以下系统的状态空间表达式
y 9 y 8 y u 4 u u
[解]：
+ _u1
i1 R1
+_u2 i2 R2
1) 选择状态变量
两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态 变量，且两者是独立的。
2）根据基尔霍夫电压定律，
L1 uA L2
列写2个回路的微分方程：
u1
L1
di1 dt
(i1
i2)R1
u2
左回路
+ _u1
i1 R1
(i1
i2)R1
u2
L2
di2 dt
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图
常用符号：
积分器
比例器 k i
加法器
注：有几个状态变量，就建几个积分器
P变换
x Axbu xPx y y cxdu
非奇异线性变换
A P 1 Ab P P 1 b , c ,cd P d ,
用途： 通过线性非奇异变换，可以使 AP1AP规范化， 且不改变系统的原有性质，是等价变换。
方阵的特征值与特征向量
设 A是 n阶方阵，如果数 和 n维非零向量 x
使关系式xAx成立，那么数 称为方阵A的
n阶SISO控制系统的时域模型为：
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) b 1 u b 0 u
系统的传递函数为：
W (s)bm ssnm ab n m 1 s1n sm 1 1 a1b s1 s a0 b0
注:负反馈时为－
D
u
x x
y
B
C
A
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（1）
建立状态空间描述的三个途径： 1、由系统框图（方块图）建立 2、由系统机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得
1.3.1 从系统框图出发建立状态空间
将系统每个环节变换成相应的模拟结构图，然后组合 起来，最终得到状态空间。
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
n 1 b n 1 a n 1b n
x A b x u ,y c x b n u
式中A、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需 增加一项 b n u
1、传递函数中没有零点时的实现
微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：
y (n ) a n 1 y (n 1 ) a 1 y a 0 y b 0 u
i2R2
右回路
+_u2 i2 R2
uA (i1 i2)R1 u2
di1
整理得：
dt di2
dt
R1 L1
i1
R1 L1
i2
1 L1
u1
1 L1
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
1 L2
u2
u2
uA i1R1 i2R1 u2
di1 dt
R1 L1
i1
R1 L1
i2
1 L1
u1
1 L1
系统的传递函数为： W (s)snan1sn1b 0a1sa0
W (s)snan1sn1b 0a1sa0
选择状态变量
x 1 y ,x 2 y , ,x n 1 y ( n 2 ) ,x n y ( n 1 )
x1 x2
x2
x3
状态方程
xn1 xn xn a0x1 a1x2 an1xn b0u
M1
k2 M1
1 0 0 y 0 1 0
0
0 k2 M1 k2 M2
0 0 x
1
0 B1 B2
M1 B2
M2
0
1 B2
M1 B2
M2
x
0
0
0 1 M2
f
[例1-4]
建立状态空间表达式的步骤
1)选取 n个状态变量；确定输入、输出变量； 2)根据系统微分方程列出 n个一阶微分方程；
W (s)bnsn n a 1s n n 1 s1n 1 1s a1 s 0 a0 bnD N((s s))
式中
b
n
是直接联系输入、输出量的前馈系数，
N D
( s )是严格有
(s)
理真分式，其系数用综合除法得
其状态空间描述为
0 b0 a0bn
1 b1 a1bn