《空间向量及其运算》同步练习1(苏教版选修2-1)

高中苏教选修（2-1）3.1空间向量及其运算测试题
一、选择题
1．对空间任意两个向量的充要条件是（）
A．B．C．D．
答案：D
2．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（）A．
B．
C．
D．
答案：D
3．已知正方体中，点为底面的中心，若，则的值分别为（）
A．1，1 B．，1 C．，D．，
答案：C
4．已知两个非零向量不共线，如果，，，则（）
A．四点共面
B．四点不共面
C．四点可共面也可不共面
D．四点共线
答案：A
5．已知，，当取最小上值时，的值等于（）
A．19 B．C．D．
答案：C
6．在正方体中，分别是的中点，则直线与直线的位置关系是（）
A．平行B．相交C．异面不垂直D．异面垂直
答案：D
二、填空题
7．已知是平面内的一条直线，直线，直线的方向向量分别为，则．
答案：0
8．已知正方体棱长为1，则．
答案：2
9．若，三点共线，则
．
答案：0
10．已知，若，且，，则向量的坐标为．
答案：或
11．已知是空间两个向量，若，则与的夹角为．
答案：
12．在空间平移到，连结对应顶点，设，是中点，是的中点，则，．答案：，
三、解答题
13．已知向量，向量满足以下三个条件：
（2）；
（3）与向量垂直．
求向量．
解：设，由已知得
解得或
故或．
14．设及分别是异面直线上的三点，而分别是线段的中点．求证：四点共面．
证明：，，
，．
又，①
及分别共线，
，．
代入①式，得．
共面，四点共面．
15．如图所示，，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角的大小．
解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，则，
，
又由已知，得，
；
（2），，
，
故向量与的夹角为．
高中苏教选修（2-1）3.1空间向量及其运算测试题
一、选择题
1．为平面内的两个不相等向量，在直线上，，则“且”是“直线平面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
2．已知向量，若，则（）
A．B．
C．D．
答案：D
3．下列命题中假命题的个数是（）
①若是空间任意四点，则有；
②是共线的充要条件；
③若共线，则与所在直线平行；
④对空间任意点与不共线的三点，若（其中），则四点共面．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．空间四边形中，分别是的中点，点在线段上，且，设，则（）
A．
B．
C．
D．
答案：D
5．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．
答案：B
6．已知的顶点，则边上的高的长等于（）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
二、填空题
7．在平面内若一直线垂直于轴，则的单位方向向量可表示为在空间若一直线垂直于平面，则的单位方向向量可表示为．
答案：
8．已知平行六面体中，cm，cm，cm，，，则的长为．
答案：cm
9．长为4的向量与单位向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为
．
答案：
10．已知力，，，若共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功是．答案：
11．在空间四边形中，，，则．
答案：0
12．如图1，已知是异面直线，，，，，且，，则与所成的角是．
答案：
三、解答题
13．沿着正四面体的三条棱的方向有大小等于1，2和3的三个力，试求此三个力的合力的大小及此合力与三条棱夹角的余弦．
解：用分别代表棱上的三个单位向量，
则，则，
．
，即所求合力之大小为5．
且．
同理可得．
14．已知点为空间直角坐标系的原点，向量，且点在直线上运动，当取得最小值时，求的坐标．
解：点在直线上，
可设点的坐标为，其中为实参数，
则，．
．
当且仅当时，取最小值，
此时．
15．如图2，直三棱柱，底面中，，，棱，分别是的中点．
（1）求的长；
（2）求的值；
（3）求证：．
解：（１）以射线分别为轴建立坐标系（如图），
则，；
（2），
，，
；
（3），
，
，
．。