高中数学选修2-1课时作业5：3.2 立体几何中的向量方法(二)

3.2立体几何中的向量方法（二）
——空间向量与垂直关系
1．直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )
A ．l ⊥α
B ．l ∥α
C ．l 与α相交但不垂直
D ．l ∥α或l ⊂α
[解析]选D.∵a ·u ＝－3＋4－1＝0，∴a ⊥u ，∴l ∥α或l ⊂α.
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(2,1，－1)，v ＝(3,2,8)，则( )
A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α，β相交不垂直
D ．以上均不正确
[解析]选B.∵u ·v ＝6＋2－8＝0，∴u ⊥v .故α⊥β.
3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
[解析]选C.因为α∥β，所以它们的法向量必共线，即1－2＝2－4＝－2k
，∴k ＝4，故选C. 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )
A ．AC
B ．BD
C ．A 1
D D ．AA 1
[解析]
选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则CE →＝⎝⎛⎭⎫12
，－12，1， BD →＝(－1，－1,0)．∵CE →·BD →＝0，∴CE →⊥BD →，从而CE ⊥BD .
5．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )
A ．－3或1
B ．3或－1
C ．－3
D ．1
[解析]选A.|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，
∴y ＝－1－12
x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3. 6．平面α，β的法向量分别为m ＝(1,2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k 等于________．
[解析]由α⊥β知，m·n ＝0.∴－2－8－2k ＝0，解得k ＝－5.
[答案]－5
7．已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为__________．
[解析]设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由题意可得：AB →＝(－1,1,0)
，BC →＝(1,0，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋y ＝0，x －z ＝0.令x ＝1，得y ＝z ＝1.∴n ＝(1,1,1)． [答案](1,1,1)([答案]不唯一)
8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，
AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．
[解析]由于AP →·AB →＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，
AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．
[答案]①②③
9.如下图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．
(1)指出直线MN 的一个以A 为起点的方向向量，
(2)若∠PDA ＝45°，求证MN →为平面PCD 的一个法向量．
解：(1)取PD 的中点E ，连接NE 、AE ，∵N 是PC 的中点，∴NE 12DC .又DC AB ， AM ＝12AB ，∴AM 12CD ，∴NE AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∴AE →为直线MN 的一个以A 为起点的方向向量．
(2)在Rt △P AD 中，∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD ，又MN ∥AE ，∴MN ⊥PD . ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，
∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，又MN ∥AE ，∴CD ⊥MN ，又∵CD ∩PD 于D ，
∴MN ⊥平面PCD .∴MN →为平面PCD 的一个法向量．
10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：
(1)AD 1∥平面BDC 1；
(2)A 1C ⊥平面BDC 1.
证明：以D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz .
设正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0，1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，
C 1(0,1,1)，∴A
D 1→＝(－1,0,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，
则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ，z ·1，1，0＝0，x ，y ，z ·0，1，1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)．
(1)n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n ⊥AD 1→.又AD 1⊄平面BDC 1，∴AD 1∥平面BDC 1.
(2)∵n ＝(1，－1,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)，知A 1C →＝－n ，即n ∥A 1C →.∴A 1C ⊥平面BDC 1.
能力提升
1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )
A ．AC
B ．BD
C ．A 1
D D ．A 1A
[解析]选B.
建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.
则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0，0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，
∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12
，－12，1，AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)， A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．∵CE →·BD →＝0，∴CE ⊥BD .
2．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝
⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.
[解析]由已知得，AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74
)， 由于a 是平面α的一个法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，即⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0－2x －y －74z ＝0，解得
⎩⎨⎧ x ＝23y z ＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23
y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． [答案]2∶3∶(－4)
3．如下图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.
求证：平面ADE ⊥平面ABE .
证明：取BE 的中点O ，连接OC ，又AB ⊥平面BCE ，∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如下图所示．
则由已知条件有C (1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)．
设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，
n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3，∴n ＝(0,1，－3)，又AB ⊥平面BCE ，OC ⊂平面BCE ∴AB ⊥OC ，∵BE ⊥OC ，AB ∩BE 于点B ，∴OC ⊥平面ABE ，
∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)．∵n·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，
∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE .
4.已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点．
(1)求证：BM ∥平面P AD ；
(2)在平面P AD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD .
解：(1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，CD ⊥AD .
∴以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz (如图所示)．
由于PD ＝CD ＝DA ＝2AB ＝2，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，M (0,1,1)， ∴BM →＝(－2,0,1)，DC →＝(0,2,0)，∵DC →⊥平面P AD ，
∴DC →是平面P AD 的法向量，又∵DC →·BM →＝0，∴BM →∥平面P AD .∴BM ∥平面P AD .
(2)设N (x,0，z )是平面P AD 内一点，
则MN →＝(x ，－1，z －1)，DP →＝(0,0,2)，DB →＝(2,1,0)，
若MN ⊥平面PBD ，则⎩⎪⎨⎪⎧ MN →·DP →＝0MN →·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2z －1＝02x －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12z ＝1. ∴在平面P AD 内存在点N ⎝⎛⎭⎫12，0，1，使MN ⊥平面PBD .。