2024-2025学年吉林省长春汽开区四校联考数学九年级第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】

2024-2025学年吉林省长春汽开区四校联考数学九年级第一学期开
学教学质量检测模拟试题
题号一
二
三
四
五
总分
得分批阅人
A 卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2、（4分）已知一组数据1，2，3，，它们的平均数是2，则这一组数据的方差为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
3、（4分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为X 甲=82分，X 乙=82分，S 甲2=245，S 乙2=190，那么成绩较为整齐的是()
A ．甲班
B ．乙班
C ．两班一样整齐
D ．无法确定
4、（4分）甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表：选手
甲
乙
丙
丁
方差（环2）
0.0350.0160.0220.025
则这四个人种成绩发挥最稳定的是（）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5、（4分）若等腰三角形的周长为18cm ，其中一边长为4cm ，则该等腰三角形的底边长为（）
A ．10
B ．7或10
C ．4
D ．7或4
6、（4分）已知y 是x 的一次函数，下表中列出了部分对应值：
x
-101y
1m
-1
则m 等于()
A ．－1
B ．0
C ．
12
D ．2
7、（4分）如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB ＝CD ．结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG 1
2
BC ；⑤四边形EFGH 的周长等于2AB ．其中正确的个数是(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8、（4分）已知直线y 1=kx+1（k ＜0）与直线y 2=mx （m ＞0）的交点坐标为（12，1
2
m ），则不等式组mx ﹣2＜kx+1＜mx 的解集为（）A ．x>
12
B ．
12<x<
32C ．x<
3
2
D ．0<x<
32
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）利用因式分解计算：2012-1992=_________；
10、（4分）如图∆DEF 是由∆ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________.
11、（4分）写出一个你熟悉的既是轴对称又是中心对称的图形名称______．
12、（4分）一件商品的进价是500元,标价为600元,打折销售后要保证获利不低于8%，则
此商品最少打___折.
13、（4分）直接写出计算结果：(2xy)∙(-3xy 3)2=_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：（1（2）已知1x =
+，1y =-，求2
2x y +的值.
15、（8分）如图，等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点P 在AC 上，将ABP ∆绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到CBQ ∆.
（1）求PCQ ∠的度数；（2）当4AB =，AP =
时，求PQ 的大小；
（3）当点P 在线段AC 上运动时（P 不与A ，C 重合），求证：2222PB PA PC =+.16、（8分）计算：
（1）3
⎛-÷ ⎝（2）31
2x -=，312
y =，求y x x y +的值.
17、（10分）如图，在ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，且DE BC =，过点A 作
AF CD ⊥于点F ，交DE 于点G ，连接G 、EF .
（1）若BE EG =，求证：AE 平分BAF ∠；
（2）若点E 是BC 边上的中点，求证：2AEF EFC
∠=∠18、（10分）在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的点，连接BP 、DP ．（1）求证：BP DP =；
（2）如果AB AP =，求ABP ∠的度数．
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，矩形ABCD 中，AB=8，点E 是AD 上的一点，有AE=4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G.若G 是CD 的中点，则BC 的长是___.
20、（4分）若直线y kx b =+与直线23y x =-平行，且与两坐标轴围成的面积为1，则这条直线的解析式是________________．
21、（4分）如图，把一张矩形的纸沿对角线BD 折叠，若AD=8，AB=6，则BE=__．
22、（4分）若a 是方程2210x x --=的解，则代数式2242019a a -+的值为____________.23、（4分）已知一次函数()2y m x m =++的图像经过点()1,8，那么这个一次函数在y 轴上的截距为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在CD 的延长线上，且PC PE =，PE 交AD 于点F ．
()1求证：PA PC =；()2求APE ∠的度数；
()3如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其它条件不变，当ABC 120
∠=，连接
AE ，试探究线段AE 与线段PC 的数量关系，并给予证明．
25、（10分）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
要求：(1)根据给出的ABC ∆和它的一条中位线DE ,在给出的图形上,请用尺规作出BC 边上的中线AF ,交DE 于点O ．不写作法,保留痕迹；(2)据此写出已知,求证和证明过程．
26、（12分）如图，直线y=﹣34x+3与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y=ax 2+3
4
x+c 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】
多边形内角和定理．
【分析】设这个多边形的边数为n ，由n 边形的内角和等于110°（n ﹣2），即可得方程110（n ﹣2）=1010，
解此方程即可求得答案：n=1．故选C ．2、D 【解析】
先根据平均数的定义确定出n 的值，再根据方差的计算公式计算即可．【详解】
解：∵数据1，2，3，n 的平均数是2，∴（1+2+3+n ）÷4=2，∴n=2，
∴这组数据的方差是：
故选择：D.
此题考查了平均数和方差的定义，平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．3、B 【解析】
∵S 甲2=245，S 乙2=190，∴S 甲2
S 乙2
∴成绩较为整齐的是乙班．故选B ．4、B 【解析】
方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
【详解】
解：∵S
甲2，=0.035，S
乙
2=0.016，S，丙2=0.022，S，丁2=0.025，∴S乙2最小．
∴这四个人种成绩发挥最稳定的是乙．
故选B．
5、C
【解析】
根据等腰三角形性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm为底时
【详解】
当4cm是等腰三角形的腰时，则底边长18-8=10cm，此时4,4,10不能组成三角形，应舍去；当4cm是等腰三角形的底时，则腰长为（18-4）÷2=7cm，此时4,7,7能组成三角形，所以此时腰长为7，底边长为4，故选C
本题考查等腰三角形的性质与三角形三边的关系，本题关键在于分情况计算出之后需要利用三角形等边关系判断
6、B
【解析】
由于一次函数过点（-1，1）、（1，-1），则可利用待定系数法确定一次函数解析式，然后把（0，m）代入解析式即可求出m的值．
【详解】
设一次函数解析式为y=kx+b，
把(−1,1)、(1,−1)代入
1 -1 k b
k b
+=-⎧
⎨
+=⎩
解得
1
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
所以一次函数解析式为y=−x，
把(0,m)代入得m=0.
故答案为：B.
此题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于运用一次函数图象上点的坐标特征求
解m.
7、C
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．
【详解】
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=1
2CD，FG=
1
2AB，GH=
1
2CD，HE=
1
2AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，故②错误，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG；故①③正确，
∴四边形EFGH的周长=EF=FG=GH=HE=2AB，故⑤正确，
没有条件可证明EG=1
2BC，故④错误，
∴正确的结论有：①③⑤，共3个，
故选C.
本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
8、B
【解析】
由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜3
2；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞
1
2，进而
得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为1
2＜x＜
3
2．
【详解】
把（1
2，
1
2m）代入y1=kx+1，可得
1
2m=1
2k+1，
解得k=m﹣2，
∴y1=（m﹣2）x+1，
令y3=mx﹣2，则
当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1，
解得x＜3 2；
当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx，
解得x＞1 2，
∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为1
2＜x＜
3
2，
故选B．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、800
【解析】
分析：先利用平方差公式分解因式，然后计算即可求解.
详解：2012-1992=（201+199）（201-199）=800.
故答案为800.
点睛：本题考查了因式分解在进行有理数的乘法中的运用，涉及的是平方差公式的运用，使运算简便．
10、（0，1）．
【解析】
试题分析：根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
试题解析：如图，
连接AD 、BE ，作线段AD 、BE 的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．考点:坐标与图形变化-旋转．11、矩形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】既是中心对称图形又是轴对称图形的名称：矩形（答案不唯一）．故答案为：矩形本题考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12、九【解析】打折销售后要保证获利不低于8%，因而可以得到不等关系为：利润率≥8%，设可以打x 折，
根据不等关系就可以列出不等式．
【详解】
解：设可以打x 折．
那么（600×10x -500）÷500≥8%
解得x≥1．
故答案为1．本题考查一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．13、1837x y .【解析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可.【详解】（2xy ）•（-3xy 3）2=(2×9)•（x•x 2）•（y•y 6）=18x 3y 7.本题考查了单项式与单项式相乘．熟练掌握运算法则是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）4+（2）8.【解析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；（2）根据x 、y 的值即可求得所求式子的值.【详解】（1）解：原式=4=4=；（2）解：原式))22
11=+3131=+++-
8=.
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法.
15、（1）90PCQ ∠=︒；（1）PQ =（3）见解析.
【解析】（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°;（1）利用勾股定理得出AC 的长，再利用旋转的性质得出AP=CQ ，求得PC 的长度，进而利用勾股定理得出PQ 的长；（3）先证明△PBQ 也是等腰直角三角形，从而得到PQ 1=1PB 1=PA 1+PC 1．【详解】（1）∵△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ ，∴ABP CQB ∆≅∆，∴45A ACB BCQ ∠=∠=∠=︒，∴90PCQ ACB BCQ ∠=∠+∠=︒.（1）当4AB =时，有AC =，AP CQ ==PC =，∴PQ ==.（3）由（1）可得ABP CBQ ∠=∠，AP CQ =，PB BQ =，90ABP PBC CPQ PBC ∠+∠=∠+∠=︒，∴BPQ ∆是等腰直角三角形，PCQ ∆是直角三角形.∴PQ =，∵AP CQ =，∴22222PQ PC CQ PA PC =+=+，
故有2222PB PA PC =+.
考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，得出旋转前后对应线段之间关系是解题关键．
16、(1)1
4+;（2）4.
【解析】
（1）运用二次根式运算法则，直接计算即可；
（2）首先转化代数式，然后代入即可得解.
【详解】
（1）
原式=3
÷
-÷+÷
311
22
=⨯+
1
4
=
（2）
22
y x x y
x y xy
+
+=
22
3131
22
+
⎝⎭⎝⎭
4=
此题主要考查二次根式的运算，熟练运用，即可解题.
17、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形，DE BC
=，易证得AEB AEG
∠=∠，又由
BE GEAE
=，可证得ABE AGE
∆≅∆，即可证得AE平分BAF
∠；
（2）延长AE，交DC的延长线于点M，易证得ABE MCE
∆≅∆，又由AF CD
⊥，可得EF是Rt AFM
∆的斜边上的中线，继而证得结论．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
//
AD BC
∴，AD BC
=，
DAE AEB
∴∠=∠，
DE BC
=，
AD DE
∴=，
DAE AED
∴∠=∠，
AEB AED ∴∠=∠，在ABE ∆和AGE ∆中，BE EG AEB AEG AE AE =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()ABE AGE SAS ∴∆≅∆，BAE GAE ∴∠=∠，AE ∴平分BAF ∠；（2）如图，延长AE ，交DC 的延长线于点M ，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，M BAE ∴∠=∠，点E 是BC 边上的中点，BE CE ∴=，在ABE ∆和MCE ∆中，BAE M
AEB MEC BE CE
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ABE MCE AAS ∴∆≅∆，
AE ME ∴=，
AF CD ⊥，
90AFM ∴∠=︒
12EF AE EM AM ∴===，M EFC ∴∠=∠，2AEF M EFC EFC ∴∠=∠+∠=∠．此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．18、(1)详见解析；（2）67.5ABP ∠=︒【解析】（1）证明△ABP ≌△ADP ，可得BP=DP ；（2）证得∠ABP=∠APB ，由∠BAP=45°可得出∠ABP=67.5°．【详解】证明：（1）四边形ABC 是正方形，AD AB ∴=，45DAP BAP ∠=∠=︒，在ABP ∆和ADP ∆中AB AD BAP DAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABP ADP SAS ∴∆≅∆，BP DP ∴=，（2）AB AP =，ABP APB ∴∠=∠，又45BAP ∠=︒，67.5ABP ∴∠=︒．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用图形的性质证明
问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、7
【解析】
根据线段中点的定义可得CG=DG ，然后利用“角边角”证明△DEG 和△CFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF ，EG=FG ，设DE=x ，表示出BF ，再利用勾股定理列式求EG ，
然后表示出EF ，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF ，然后列出方程求出x 的值，从而求出AD ，再根据矩形的对边相等可得BC=AD ．【详解】∵矩形ABCD 中，G
是CD 的中点，AB=8，
∴CG=DG=12×8=4，在△DEG 和△CFG 中，90D DCF CG DG DGE
CGF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DEG ≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF ，EG=FG ，设DE=x ，则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x ，在Rt △DEG 中16=+，∴EF=，∵FH 垂直平分BE ，∴BF=EF ，∴4+2x=，解得x=3，∴AD=AE+DE=4+3=7，∴BC=AD=7.故答案为：7.
此题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键在于综合运用勾股定理、全等三角形的性质解答即可.
20、y=1x±1.
【解析】
根据平行直线的解析式的k 值相等可得k=1，然后求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形
的面积公式列式计算即可求得直线解析式．【详解】解：∵直线y=kx+b 与直线y=1x-3平行，∴k=1，即y=1x+b 分别令x=0和y=0，得与y ，x 轴交点分别为（0，b ）和（-2b ，0）∴S=12×|b|×|-2b |=1，∴b=±1∴y=1x±1.故答案为：y=1x±1．本题考查两直线相交或平行问题，以及三角形面积问题，熟记平行直线的解析式的k 值相等是解题的关键．21、254【解析】试题解析：∵AD ∥BC ，∴∠EDB=∠CBD ，又∠EBD=∠CBD ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，又BC′=BC=AD ，∴EA=EC′，在Rt △EC′D 中，DE 2=EC′2+DC′2，即DE 2=（8-DE ）2+62，解得DE=254．22、1【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=a 代入已知方程，即可求得a 2-2a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【详解】
解：∵a 是方程x 2-2x-1=0的一个解，
∴a 2-2a=1，
则2a 2-4a+2019=2（a 2-2a ）+2019=2×1+2019=1；
故答案为：1．本题考查的是一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值．23、1【解析】先将()1,8代入()2y m x m =++中求出m 的值，然后令0x =求出y 的值即可．【详解】∵一次函数()2y m x m =++的图像经过点()1,8，∴(12)8m m ++=，解得2m =，∴()22226y x x =++=+．令0x =，则6y =，∴一次函数在y 轴上的截距为1．故答案为：1．本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，能够求出一次函数的解析式是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、() 1证明见解析()2证明见解析()3AE PC =，【解析】()1由正方形性质知BA BC =、45ABP CBP ∠=∠=，结合BP BP =可证ABP ≌CBP ，据此得出答案；
()2由()1知PAD PCD ∠=∠，由PE PC =知PCD PED ∠=∠，从而得出PAD PED ∠=∠，根据PFA DFE ∠=∠可得90APF EDF ∠=∠=；
()3先证ADP ≌CDP 得PA PC =、PAD PCD ∠=∠，由PE PC =知PE PA =、PCD PED ∠=∠，进一步得出PED PAD ∠=∠，同理得出60APF EDF ∠=∠=，据此知PAE 是等边三角形，从而得出答案．
【详解】
解：()1四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=、ABP CBP 45∠∠==，在ABP 和CBP 中BA BC ABP CBP BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABP ∴≌()CBP SAS ，PA PC ∴=；()2ABP ≌CBP ，BAP BCP ∠∠∴=，DAB DCB 90∠∠==，PAD PCD ∠∠∴=，PE PC =，PCD PED ∠∠∴=，PAD PED ∠∠∴=，PFA DFE ∠∠=，APF EDF 90∠∠∴==；()3AE PC =，四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=、ADP CDP ∠∠=，
又DP DP =，ADP ∴≌()CDP SAS ，PA PC ∴=，PAD PCD ∠∠=，又PE PC =，PE PA ∴=，PCD PED ∠∠=，PED PAD ∠∠∴=，
PFA DFE ∠∠=，
APF EDF 180ADC 60∠∠∠∴==-=，PAE ∴是等边三角形，
AE PA PC ∴==，即AE PC =．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．
25、(1)作线段BC 的中段线
,BC 的中点为F ,连结AF 即可,见解析；(2)见解析.【解析】
（1）作BC 的垂直平分线得到BC 的中点F ，从而得到BC 边上的中线AF ；
（2）写出已知、求证，连接DF 、EF ，如图，先证明EF 为AB 边的中位线，利用三角形中位线性质得到EF ∥AD ，EF=AD ，则可判断四边形ADFE 为平行四边形，从而得到DE 与AF 互相平分．【详解】
解：(1)作线段BC 的中段线,BC 的中点为F ,连结AF 即可。

(2)已知：D E F 、、分别为ABC ∆三边AB AC BC 、、的中点,AF 与DE 交于点O 。

求证：AC 与DE 互相平分。

证明：连结DF EF 、,
D F 、分别为AB BC 、的中点,
有1
,2
DF AC DF AC =∕∕,又E 为AC 中点,
所以,,DF AE DF AE =∕∕,四边形ADFE 为平行四边形,
所以,AC 与DE 互相平分.
本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形中位线定理．
26、（1）233
384
y x x =-++；（2）点E 的坐标是（2，1）时，△BEC 的面积最大，最大面积是1；（1）P 的坐标是（﹣1，218-）、（5，21
8-）、（﹣1，158
）．
【解析】
解：（1）∵直线y=﹣
3
4
x+1与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标是（0，1），点C 的坐标是（4，0），∵抛物线y=ax 2+
3
4
x+c 经过B 、C 两点，∴316404
3
a c c ⎧
+⨯+=⎪
⎨⎪=⎩，解得383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y=﹣3
8
x 2+
3
4
x+1．（2）如图1，过点E 作y 轴的平行线EF 交直线BC 于点M ，EF 交x 轴于点F ，
，
∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴设点E 的坐标是（x ，﹣38
x 2+
3
4
x+1），则点M 的坐标是（x ，﹣
34x+1），∴EM=﹣38x 2+34x+1﹣（﹣34
x+1）=﹣38x 2+32x ，
∴S △BEC =S △BEM +S △MEC =
12EM OC =12×（﹣3
8x 2+32x ）×4=﹣34x 2+1x=﹣34
（x ﹣2）2+1，
∴当x=2时，即点E 的坐标是（2，1）时，△BEC 的面积最大，最大面积是
1．（1）在抛物线上存在点P
，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形．①如图2，
，
由（2），可得点M 的横坐标是2，∵点M 在直线y=﹣
34
x+1上，∴点M 的坐标是（2，3
2），
又∵点A 的坐标是（﹣2，0），∴2=
，∴AM 所在的直线的斜率是：3
0322(2)8
-=--；∵y=﹣38x 2+34x+1的对称轴是x=1，∴设点Q 的坐标是（1，m ），点P 的坐标是（x ，﹣3
8
x 2+
3
4
x+1），则222233
33
84183373(1)(3)844x x m x x x x m ⎧-++-⎪=⎪
-⎨⎪-+-++-=
⎪⎩，
解得3218x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或5
218x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
∵x ＜0，∴点P 的坐标是（﹣1，﹣
21
8
）．
②如图1，
，
由（2），可得点M 的横坐标是2，∵点M 在直线y=﹣
34
x+1上，∴点M 的坐标是（2，3
2），
又∵点A 的坐标是（﹣2，0），∴2=，
∴AM 所在的直线的斜率是：3
322(2)8
-=--；
∵y=﹣38
x 2+
3
4
x+1的对称轴是x=1，∴设点Q 的坐标是（1，m ），点P 的坐标是（x ，﹣38
x 2+
3
4
x+1），则222233
33
84183373(1)(3)844x x m x x x x m ⎧-++-⎪=⎪
-⎨
⎪-+-++-=
⎪⎩
，解得3218x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或5
218x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
∵x ＞0，∴点P 的坐标是（5，﹣21
8
）．③如图4，
，
由（2），可得点M 的横坐标是2，∵点M 在直线y=﹣
3
4
x+1上，∴点M 的坐标是（2，
32
），又∵点A 的坐标是（﹣2，0），∴732=，∵y=﹣3
8
x 2+
3
4
x+1的对称轴是x=1，∴设点Q 的坐标是（1，m ），点P 的坐标是（x ，﹣38
x 2+
3
4
x+1），则233
33084221(2)122
22x x m x x ⎧-++-⎪-=⎪
---⎨
⎪+-=⎪⎩解得1158x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，
∴点P 的坐标是（﹣1，
15
8
）．综上，可得在抛物线上存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标是（﹣1，﹣
218）、（5，﹣218）、（﹣1，158
）．本题考查二次函数综合题．。